Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №17 Прикладные задачи на оптимизацию

На заводе имеется генератор с ЭДС $\varepsilon = 50$В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки $R$ (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: $I = \dfrac{\varepsilon}{r + R}.$Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля - Ленца: $P = I^2 R.$Какова максимальная тепловая мощность $P$, которая может быть выделена нагрузкой?

Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой $A = k\theta_0 \cdot \dfrac{\tau^2}{\sqrt{\left(T^2 - \tau^2\right)^2 + n\tau^2 T^2}},$ где $k = 0,91$ - коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, $\theta_0 = 9^\circ$ - угол наибольшего волнового склона, $\tau$ - период волны (в секундах), $T = 14,7 \, \text{с}$ - период свободных качаний корабля на тихой воде, $n = 0,0792$ - коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.

Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой $A=k\theta_0\cdot\dfrac{\tau^2}{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}},$ где $k=0{,}85$ — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, $\theta_0=8^\circ$ — угол наибольшего волнового склона, $\tau$ — период волны (в секундах), $T=12$ с — период свободных качаний корабля на тихой воде, $n=0{,}72$ — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды.
При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.

Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой $A=k\theta_0\cdot\dfrac{\tau^2}{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}},$ где $k=0{,}91$ — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, $\theta_0=9^\circ$ — угол наибольшего волнового склона, $\tau$ — период волны (в секундах), $T=16{,}8$ с — период свободных качаний корабля на тихой воде, $n=0{,}72$ — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды.
При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.

На заводе имеется генератор с ЭДС $\varepsilon=60$ В и внутренним сопротивлением $r=2$ Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки $R$ (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: $I=\dfrac{\varepsilon}{r+R}.$ Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: $P=I^2R.$
Какова максимальная тепловая мощность $P$, которая может быть выделена нагрузкой?

Источник постоянного тока имеет ЭДС $\varepsilon=60$ В и внутреннее сопротивление $r=3$ Ом. К источнику подключают нагрузку сопротивлением $R>0$ Ом. Мощность, выделяемая на нагрузке, равна $P(R)=\dfrac{\varepsilon^2R}{(R+r)^2}$. Найдите максимальную мощность, которая может выделяться на нагрузке. Ответ дайте в ваттах.

Высота тела над землёй через $t$ секунд после броска описывается формулой $h(t)=15+20t-5t^2$, где $h$ измеряется в метрах. Найдите наибольшую высоту, которой достигнет тело.

Предприятие выпускает $x$ единиц продукции в день. Выручка составляет $R(x)=100x$ условных денежных единиц, а затраты — $C(x)=x^2+20x+300$. При каком объёме выпуска прибыль предприятия будет наибольшей?

Из квадратного листа картона со стороной $18$ см вырезают по углам одинаковые квадраты со стороной $x$ см и загибают края, получая коробку без крышки. Объём коробки равен $V(x)=x(18-2x)^2$, где $0<x<9$. При каком $x$ объём коробки будет наибольшим? Ответ дайте в сантиметрах.

Для ограждения прямоугольного участка, примыкающего одной стороной к прямой стене, имеется $60$ м забора. Ограждают только три стороны участка. Найдите наибольшую возможную площадь участка. Ответ дайте в квадратных метрах.

Расход топлива автомобиля на фиксированный участок пути в зависимости от средней скорости $v>0$ км/ч моделируется функцией $q(v)=0{,}02v+\dfrac{50}{v}$. При какой скорости расход топлива будет наименьшим? Ответ дайте в км/ч.

Автомобиль движется со скоростью $v$ м/с. Время реакции водителя равно $1$ с, после чего автомобиль тормозит с постоянным по модулю ускорением $10$ м/с$^2$. Полный остановочный путь равен $D(v)=v+\dfrac{v^2}{20}$ метров. Какова наибольшая начальная скорость автомобиля, при которой остановочный путь не превышает $40$ м? Ответ дайте в км/ч.

Точечный источник излучения мощностью $P=400\pi$ Вт создаёт на расстоянии $r$ м интенсивность $I=\dfrac{P}{4\pi r^2}$. По нормам безопасности интенсивность не должна превышать $1$ Вт/м$^2$. Найдите минимальное допустимое расстояние до источника. Ответ дайте в метрах.

Предмет и экран находятся на расстоянии $100$ см друг от друга. Между ними устанавливают тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием $F=16$ см так, чтобы на экране получилось резкое изображение предмета. Для расстояний $a$ от предмета до линзы и $b$ от линзы до экрана выполняются условия $a+b=100$ и $\dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$. Найдите меньшее из возможных значений $a$. Ответ дайте в сантиметрах.

Цилиндрическая банка с крышкой должна иметь объём $250\pi$ см$^3$. Радиус основания равен $r>0$ см, высота — $h$ см. Объём и площадь полной поверхности задаются формулами $V=\pi r^2h$ и $S=2\pi r^2+2\pi rh$. При каком радиусе $r$ расход материала, пропорциональный площади $S$, будет наименьшим? Ответ дайте в сантиметрах.

В последовательной электрической цепи с сопротивлением $R$, индуктивностью $L=1$ Гн и ёмкостью $C=0{,}01$ Ф амплитуда силы тока при угловой частоте $\omega>0$ определяется формулой $I(\omega)=\dfrac{U}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}$, где $U$ — постоянная амплитуда напряжения. При какой угловой частоте $\omega$ амплитуда тока будет максимальной? Ответ дайте в рад/с.

В модели движения тела без сопротивления воздуха дальность полёта при начальной скорости $v$ и угле броска $\alpha$, где $0^\circ<\alpha<90^\circ$, определяется формулой $L=\dfrac{v^2\sin2\alpha}{g}$. При каком угле $\alpha$ дальность полёта максимальна? Ответ дайте в градусах.

Полукруглое окно имеет радиус $5$ м. В него вписывают прямоугольную рекламную панель так, что нижняя сторона панели лежит на диаметре, а две верхние вершины — на дуге полукруга. Найдите наибольшую возможную площадь панели. Ответ дайте в квадратных метрах.

Источник постоянного тока имеет ЭДС $\varepsilon=48$ В и внутреннее сопротивление $r=2$ Ом. К источнику подключают нагрузку сопротивлением $R>0$ Ом. Мощность, выделяемая на нагрузке, равна $P(R)=\dfrac{\varepsilon^2R}{(R+r)^2}$. Найдите максимальную мощность, которая может выделяться на нагрузке. Ответ дайте в ваттах.

Высота тела над землёй через $t$ секунд после броска описывается формулой $h(t)=12+30t-5t^2$, где $h$ измеряется в метрах. Найдите наибольшую высоту, которой достигнет тело.

Предприятие выпускает $x$ единиц продукции в день. Выручка составляет $R(x)=150x$ условных денежных единиц, а затраты — $C(x)=x^2+30x+500$. При каком объёме выпуска прибыль предприятия будет наибольшей?

Из квадратного листа картона со стороной $24$ см вырезают по углам одинаковые квадраты со стороной $x$ см и загибают края, получая коробку без крышки. Объём коробки равен $V(x)=x(24-2x)^2$, где $0<x<12$. При каком $x$ объём коробки будет наибольшим? Ответ дайте в сантиметрах.

Для ограждения прямоугольного участка, примыкающего одной стороной к прямой стене, имеется $80$ м забора. Ограждают только три стороны участка. Найдите наибольшую возможную площадь участка. Ответ дайте в квадратных метрах.

Расход топлива автомобиля на фиксированный участок пути в зависимости от средней скорости $v>0$ км/ч задаётся функцией $q(v)=0{,}03v+\dfrac{48}{v}$. При какой скорости расход топлива будет наименьшим? Ответ дайте в км/ч.

Автомобиль движется со скоростью $v$ м/с. Время реакции водителя равно $1$ с, после чего автомобиль тормозит с постоянным по модулю ускорением $8$ м/с$^2$. Полный остановочный путь равен $D(v)=v+\dfrac{v^2}{16}$ метров. Какова наибольшая начальная скорость автомобиля, при которой остановочный путь не превышает $32$ м? Ответ дайте в км/ч.