Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике Задание №18 Планиметрическая задача

Дана трапеция $ABCD$ с боковой стороной $AB$, которая перпендикулярна основаниям. Из точки $A$ на сторону $CD$ опущен перпендикуляр $AH$. На стороне $AB$ взята точка $E$ так, что прямые $CE$ И $CD$ перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые $BH$ и $ED$ параллельны.
б) Найдите отношение $BH$ и $ED$, если $\angle BCD=135^\circ$.

В трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность с центром $O$.
а) Докажите, что $\sin\angle AOD=\sin\angle BOC$
б) Найдите площадь трапеции, если $\angle BAD=90^\circ$, а основания равны $5$ и $7$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая окружность проходит через центр $O$ большей. Диаметр $BC$ большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке $M$, отличной от $A$. Лучи $AO$ и $AM$ вторично пересекают большую окружность в точках $P$ и $Q$ соответственно. Точка $C$ лежит на дуге $AQ$ большей окружности, не содержащей точку $P$.
а) Докажите, что прямые $PQ$ и $BC$ параллельны.
б) Известно, что $\sin\angle{AOC}=\frac{\sqrt{15}}{4}$. Прямые $PC$ и $AQ$ пересекаются в точке $K$. Найдите отношение $QK:KA$.

Прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ вписан в окружность. Биссектриса угла $A$ пересекает описанную окружность в точке $A_{1}$, биссектриса угла $B$ пересекает описанную окружность в точке $B_{1}$, биссектриса угла $C$ пересекает описанную окружность в точке $C_{1}$.
а) Докажите, что угол $A_{1} BB_{1} =45^{\circ }$.
б) Известно, что $AB=2\sqrt{3}$, $\angle A=60^{\circ }$. Найдите $B_{1} C_{1}$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $B_1C_1=5$, $\angle A=30^\circ$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в пять раз меньше площади четырехугольника $BCB_1C_1$.

К окружности с диаметром $AB=10$ проведена касательная $BC$ так, что $BC=5$. Прямая $AC$ вторично пересекает окружность в точке $D$. Точка $E$ диаметрально противоположна точке $D$. Прямые $E$ и $BC$ пересекаются в точке $F$.
а) Докажите, что $BD^{2} =CD\cdot BE$.
б) Найдите площадь треугольника $FBE$.

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $B$ и $С$, пересекает отрезки $BM$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ (отличных от концов отрезков).
а)  Докажите, что точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
б)  Найдите $QN$, если отрезки $DP$ и $PC$ перпендикулярны, $AB  =  21$, $BC  =  4$, $CD  =  20$, $AD  =  17$.

В остроугольном треугольнике $ABC$, $\angle A=60^{\circ }$. Высоты $BN$ и $CM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точка $O$ - центр окружности, описанной около $\angle ABC$.
а) Докажите, что $AH=AO$.
б) Найдите площадь треугольника ${AHO}$ если $BC=6\sqrt{3}$, $\angle ABC=45^{\circ }$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$  - середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно. Биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $MN$ в точке $L$.
а)  Докажите, что треугольники $AML$ и $BLC$ подобны.
б)  Найдите отношение площадей этих треугольников, если $\cos\angle BAC=\frac{7}{25}$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $C$. Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая $AC$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $D$. Прямая $BC$ вторично пересекает большую окружность в точке $E$. 
а) Докажите, что $AE$ параллельно $BD$.
б) Найдите $AC$, если радиусы окружностей равны $8$ и $15$.

В прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом при вершине $A$ расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания $AD$, вторая - боковых сторон, меньшего основания $BC$ и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание $AD$ в точке $P$. Докажите, что $\dfrac{AP}{PD}=\sin \angle D$.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны $3$ и $1$.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R=10$. Известно, что $AB=BC=CD=6$.

а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.

б) Найдите $AD$.

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. На катете $AC$ взята точка $M$. Окружность с центром $O$ и диаметром $CM$ касается гипотенузы в точке $N$.

а) Докажите, что прямые $MN$ и $BO$ параллельны.

б) Найдите площадь четырехугольника $BOMN$, если $CN=4$ и $AM:MC=1:3$.

Две окружности касаются внешним образом в точке $K$. Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A$, а второй – в точке $B$. Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D$, прямая $AK$ пересекает вторую окружность в точке $C$.

а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

б) Найдите площадь треугольника $AKB$, если известно, что радиусы окружностей равны $4$ и $1$.

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$, пересекаются в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

а)  Докажите, что $AH  =  AO$.

б)  Найдите площадь треугольника $AHO$, если $BC=\sqrt{15}$, $\angle ABC=45^\circ$.

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$  — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$  — высота, $\angle{BAC} ={60}^{\circ}$, $\angle{BCA}={45}^{\circ}$.

а)  Докажите, что $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

б)  Найдите $A_1H$, если $BC=2\sqrt{3}$.

Точка $M$ - середина гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет $BC$ в точке $N$.

а) Докажите, что $\angle CAN=\angle CMN$.

б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $ANB$ и $CBM$, если $\tg\angle BAC=\frac{4}{3}$.

В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Известно, что около четырехугольника $AMNC$ можно описать окружность.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ — равнобедренный.

б) На стороне $AC$ отмечена точка $F$, такая что $\angle AFB=135^{\circ}$. Отрезок $BF$ пересекает отрезок $MN$ в точке $E$. Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $AMNC$, если $\angle ABC=120^{\circ}$ и $EF=6\sqrt{2}$.

В трапеции $ABCD$ угол $BAD$ прямой. Окружность, построенная на большем основании $AD$ как на диаметре, пересекает меньшее основание $BC$ в точке $C$ и $M$.

а) Докажите, что угол $BAM$ равен углу $CAD$.

б) Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Найдите площадь треугольника $AOB$, если $AB = 6$, а $BC = 4BM$.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R=8$. Известно, что $AB = BC = CD = 12$.

а)  Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.

б)  Найдите $AD$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $K$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $MN$ большей окружности касается меньшей в точке $C$. Хорды $KM$ и $KN$ пересекают меньшую окружность в точках $A$ и $B$ соответственно, а отрезки $KC$ и $AB$ пересекаются в точке $L$.
а) Докажите, что $CN:CM=LB:LA$.
б) Найдите $MN$, если $LB:LA=2:3$, а радиус малой окружности равен $\sqrt{23}$.

В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ — середина стороны $AD$. Прямая $BE$ пересекает диагональ $AC$ в точке $P$, при этом $BE\perp AC$. Известно, что $AB:BC=\sqrt7:4$.
а) Докажите, что $BP=AE$ параллельны.
б) Найдите $BC$, если площадь параллелограмма $ABCD$ равна $6\sqrt3$.

Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон соответственно $BC$, $AC$ и $AB$ остроугольного треугольника $ABC$.
а) Докажите, что отличная от $A_1$ точка пересечения окружностей, описанных около треугольников $A_1CB_1$ и $A_1BC_1$, лежит на окружности, описанной около треугольника $B_1AC_1$.
б) Известно, что $AB=AC=10$ и $BC=12$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры окружностей, описанных около треугольников $A_1CB_1$, $A_1BC_1$ и $B_1AC_1$.

В трапеции $ABCD$ точка $E$ — середина основания $AD$, точка $M$ — середина боковой стороны $AB$. Отрезки $CE$ и $DM$ пересекаются в точке $O$.
а) Докажите, что площади четырёхугольника $AMOE$ и треугольника $COD$ равны.
б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь четырёхугольника $AMOE$, если $BC=3$, $AD=4$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ точки $M$ и $N$ — середины катетов $AC$ и $BC$ соответственно, $CH$ — высота.
а) Докажите, что прямые $MH$ и $NH$ перпендикулярны.
б) Пусть $P$ — точка пересечения прямых $AC$ и $NH$, а $Q$ — точка пересечения прямых $BC$ и $MH$. Найдите площадь треугольника $PQM$, если $AH=12$ и $BH=3$.