Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Дана трапеция $ABCD$ с боковой стороной $AB$, которая перпендикулярна основаниям. Из точки $A$ на сторону $CD$ опущен перпендикуляр $AH$. На стороне $AB$ взята точка $E$ так, что прямые $CE$ И $CD$ перпендикулярны.
а) Докажите, что прямые $BH$ и $ED$ параллельны.
б) Найдите отношение $BH$ и $ED$, если $\angle BCD=135^\circ$.

В трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана окружность с центром $O$.
а) Докажите, что $\sin\angle AOD=\sin\angle BOC$
б) Найдите площадь трапеции, если $\angle BAD=90^\circ$, а основания равны $5$ и $7$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая окружность проходит через центр $O$ большей. Диаметр $BC$ большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке $M$, отличной от $A$. Лучи $AO$ и $AM$ вторично пересекают большую окружность в точках $P$ и $Q$ соответственно. Точка $C$ лежит на дуге $AQ$ большей окружности, не содержащей точку $P$.
а) Докажите, что прямые $PQ$ и $BC$ параллельны.
б) Известно, что $\sin\angle{AOC}=\frac{\sqrt{15}}{4}$. Прямые $PC$ и $AQ$ пересекаются в точке $K$. Найдите отношение $QK:KA$.

Прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ вписан в окружность. Биссектриса угла $A$ пересекает описанную окружность в точке $A_{1}$, биссектриса угла $B$ пересекает описанную окружность в точке $B_{1}$, биссектриса угла $C$ пересекает описанную окружность в точке $C_{1}$.
а) Докажите, что угол $A_{1} BB_{1} =45^{\circ }$.
б) Известно, что $AB=2\sqrt{3}$, $\angle A=60^{\circ }$. Найдите $B_{1} C_{1}$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $B_1C_1=5$, $\angle A=30^\circ$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в пять раз меньше площади четырехугольника $BCB_1C_1$.