а) Решите уравнение \(\left(\frac{2}{5}\right)^{\cos x}+\left(\frac{5}{2}\right)^{\cos x}=2\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]\).

а) \(\left(\frac{2}{5}\right)^{\cos x}+\left(\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\right)^{\cos x}=2\\ \left(\frac{2}{5}\right)^{\cos x}+\left(\frac{2}{5}\right)^{-\cos x}=2\) Замена \(\left(\frac{2}{5}\right)^{\cos x}=t,t>0\) \(t+\frac{1}{t}=2\Leftrightarrow\frac{t^2+1-2t}{t}=0\Leftrightarrow\displaystyle \begin{cases} t=1\\ t\neq 0 \end{cases}\\ \left(\frac{2}{5}\right)^{\cos x}=1\Leftrightarrow\left(\frac{2}{5}\right)^{\cos x}=\left(\frac{2}{5}\right)^0\\ \cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k,k\in Z\) б) Отберем корни на промежутке \(\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]\) с помощью тригонометрической окружности Нам подходят корни: \(-\frac{3\pi}{2}\\ -\frac{3\pi}{2}-\pi=-\frac{5\pi}{2}\) Ответ: а) {\(\frac{\pi}{2}+\pi k:k\in Z\)}, б) \(-\frac{5\pi}{2};-\frac{3\pi}{2}\).

В основании пирамиды \(SABCD\) лежит параллелограмм \(ABCD\). На боковых рёбрах \(SA\), \(SC\) и \(SD\) отмечены точки \(K\), \(L\) и \(M\) соответственно так, что \(SK:KA=SL:LC=2:1\) и \(SM=MD\). а) Докажите, что плоскость \(KML\) содержит точку \(B\). б) Найдите объём пирамиды \(BAKMD\), если площадь параллелограмма \(ABCD\) равна \(18\), а высота пирамиды \(SABCD\) равна \(7\).

а) Построим сечение: Соединим точки \(M\), \(L\) и \(M\), \(K\), так как они лежат в одних плоскостях. Продлим \(ML\) до пересечения с \(DC\) в точке \(E\) и \(MK\) до пересечения с \(AD\) в точке \(T\). Соединим \(T\) и \(E\), так как они лежат в плоскости основания \(ABC\). По теореме Менелая для треугольника \(SAD\) и секущей \(KM\): \(\frac{SM}{MD}\cdot\frac{DT}{TA}\cdot\frac{AK}{KS}=1\) Подставляя известное отношение, получим: \(\frac{DT}{TA}\cdot\frac{1}{2}=1\\ \frac{DT}{TA}=\frac{2}{1}\) Аналогично, по теореме Менелая для \(SDC\) и секущей \(ML\): \(\frac{SM}{MD}\cdot\frac{DE}{EC}\cdot\frac{CL}{LS}=1\) Подставляя известное отношение, получим: \(\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{DE}{CE}=1\\ \frac{DE}{CE}=\frac{2}{1}\) \(\angle TAB=\angle ADC=\angle BCE\) как соответственные при \(AB||DC\), так как \(ABCD\) – параллелограмм \(\angle EBC=\angle ETD\) как соответственные при \(BC||AD\), так как \(ABCD\) – параллелограмм \(AT=AD=BC\) Значит, треугольники \(ATB\) и \(CBE\) равны по двум углам и равной стороне: \(\angle TBA+\angle CBE=180-\angle ABC\\ \angle TBA+\angle CBE+\angle ABC=180\) Значит, углы \(TBA\), \(CBE\) и \(ABC\) являются смежными и точка \(B\) лежит на прямой \(TE\). б) Объем всей пирамиды \(SABCD\) равен: \(V=\frac{1}{3}\cdot h\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot 18\cdot 7=42\) Объем всей пирамиды \(SABD\) равен половине всего объема и равен \(\frac{42}{2}=21\) Пусть \(h_B\) – высота из точки \(B\) на плоскость \(AKM\) \(V_{BAKMD}=\frac{1}{3}\cdot h_B\cdot S_{AKMD}\\ S_{SKM}=\frac{1}{2}SK\cdot SM\cdot \sin\angle KSM\) Так как \(SK=\frac{2}{3}AS\) и \(SM=\frac{2}{3}SD\), получим: \(S_{SKM}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}SA\cdot\frac{1}{2}SD\cdot\sin\angle KSM=\frac{1}{3}S_{ADS}\\ S_{AKMD}=S_{ADS}-S_{SKM}=\frac{2}{3}S_{ADS}\\ V_{BAKMD}=\frac{1}{3}\cdot h_B\cdot\frac{2}{3}S_{ADS}=\frac{2V_{BADS}}{3}=\frac{2}{3}\cdot 21=14\) Ответ: 14

Решите неравенство: \(x^2\log_{625}(x+2)\geq \log_5(x^2+4x+4)\).

Ограничения: \(\begin{cases} x+2>0,\\ x^2+4x+4>0 \end{cases}\) \(\begin{cases} x>-2,\\ (x+2)^2>0 \end{cases}\) Отсюда следует, что \(x>-2\). \(x^2\log_{5^4}(x+2)\geq \log_5(x+2)^2\\ Так ~как~x+2>0\\ \frac{x^2}{4}\log_5(x+2)\geq 2\log_5(x+2)\) \((\frac{x^2}{4}-2)\log_5(x+2)\geq 0\\ (x^2-8)\log_5(x+2)\geq 0\\ x\in (-2;-1]\cup [2\sqrt{2};+\infty)\) С учётом ограничения, \(x\in ( -2;-1] \cup [ 2\sqrt{2} ;+\infty )\). Ответ: \(x\in ( -2;-1] \cup [ 2\sqrt{2} ;+\infty )\).

Вклад в размере \(20\) млн. рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на \(10\%\) по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвертого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на \(x\) млн. рублей, где \(x\) - целое число. Найдите наибольшее значение \(x\), при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше \(17\) млн. рублей.

\(S\) - размер вклада (в млн. рублей) Пусть \(S=20\) - первоначальный вклад, \(r=10\) - процентная ставка. Значит, вклад увеличивается в: \((1+\frac{r}{100})=1+\frac{10}{100}=1,1~раз\) Составим математическую модель для изменения суммы вклада, учитывая, что первые два года вложений не было, а в 3 и 4 года вложили по \(10\) млн. рублей. Расчеты будем вести в млн. рублей. Денег у вкладчика стало: \(((S\cdot 1,1\cdot 1,1+x)1,1+x)1,1\) \(S+20\) - столько денег вложено вкладчиком, следовательно, начисления от банка равны: \(((S\cdot 1,1\cdot 1,1+x)1,1+x)1,1-S-2x\) Тогда: \(((S\cdot 1,1\cdot 1,1+x)1,1+x)1,1-S-2x<17\\ S\cdot 1,1^4+x\cdot 1,1^2+x\cdot 1,1-S-2x<17\\ x\cdot 1,1^2+x\cdot 1,1-2x<17+S-S\cdot 1,1^4\\ x(1,1^2+7,1-2)<17+S(1-1,1^4)\\ 0,31\cdot x<17-0,4641\cdot 20\\ x<\frac{17-0,4641\cdot 20}{0,31}\\ x<24\frac{278}{310}\) Наибольший \(x=24\). Ответ: 24