Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Даны векторы $\vec{a}(5;-7)$ и $\vec{b}(14;1)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна $20\pi$, а высота равна $4$. Найдите диаметр основания.

В соревнованиях по толканию ядра учувствуют спортсмены из четырёх стран: $5$ из Чехии, $4$ из Словакии, $8$ из Австрии и $8$ из Швейцарии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Чехии.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна $0,25$. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна $0,15$. Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах.

Найдите корень уравнения $(x-1)^3=8$.

Найдите значение выражения $\log_7 12,25+\log_7 4$.

На рисунке изображен график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $-2,-1,1,4$. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 9000~км/ч^2$. Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$, где $l$ - пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $120~км/ч$.

По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно $85$ км/ч и $35$ км/ч. Длина пассажирского поезда равна $500$ метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

На рисунке изображен график функции вида $f(x)=\log_ax$. Найдите значение $f(16)$.

а) Решите уравнение $\dfrac{(\tg x+\sqrt{3})\log_{13}(2\sin^2x)}{\log_{31}(\sqrt{2}\cos x)}=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{5\pi}{2}\right]$.

Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями $AD=5$ и $BC=4$. Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $4:1$, точка $K$ — середина $DD_1$.
а) Доказать, что плоскость $MCK$ параллельна стороне $BD$.
б) Найти тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания, если $\angle BAD=60$, а $\angle CKM=90$.

Решите неравенство: $𝑥^{2}\log_{343}( 𝑥−1) \geq \log_{7}( 𝑥^{2} −2𝑥+1)$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$  - середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно. Биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $MN$ в точке $L$.
а)  Докажите, что треугольники $AML$ и $BLC$ подобны.
б)  Найдите отношение площадей этих треугольников, если $\cos\angle BAC=\frac{7}{25}$.

Найдите все значения $a$, для каждого из которых уравнение
$x^{10}+(a-2|x|)^5+x^2-2|x|+a=0$
имеет более трёх различных решений.

Тройку различных натуральных чисел назовём удачной, если любое число в ней хотя бы на $5$ больше, чем треть суммы других чисел. Например, $40, 45, 50$ - удачная тройка.
а) Сколько существует удачных троек, содержащих числа $50,60$ и ещё одно число, большее $60$?
б) Найдется ли удачная тройка, одно из чисел которой равно $15$?
в) Какое наибольшее количество чисел от $1$ до $100$ включительно можно расставить по кругу так, чтобы каждое число встречалось не более одного раза и любые три подряд идущих числа образовывали удачную тройку?

На окружности отмечены точки $A,B$ и $C$. Дуга окружности $AC$, не содержащая точку $B$, составляет $120^{\circ }$. Дуга окружности $BC$, не содержащая точку $A$, составляет $82^{\circ }$. Найдите вписанный угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$.

В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает $16$ см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в $2$ раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ дайте в сантиметрах.

В классе $16$ учащихся, среди них два друга – Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на $4$ равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе.

Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна $0,7$. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена (либо первым, либо вторым выстрелом).

Найдите корень уравнения $3^{\log_{27}(2x-9)}=3$.

Найдите значение выражения $\sqrt{2}\sin \dfrac{7\pi}{8}\cos \dfrac{7\pi}{8}$.

На рисунке изображен график функции $y=f'(x)$. На оси абсцисс отмечены шесть точек: $𝑥_{1}, 𝑥_{2}, 𝑥_{3}, 𝑥_{4}, 𝑥_{5}, 𝑥_{6}$. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции $𝑓( 𝑥)$?

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением: $T=T_0+bt+at^2$, где $t$ - время в минутах, $T_0=1450~K$, $a=-30~K/мин^2$, $b=180~K/мин$. Известно, что при температуре нагревателя свыше $1600~К$ прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Через сколько минут после начала работы нужно отключить прибор?