Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Мебельная фабрика выпускает журнальные столики. Известно, что:

• $2\%$ всех произведенных столиков имеют дефект покрытия (царапины или сколы),

• среди столиков без дефекта покрытия ровно $5\%$ имеют дефект сборки (шатаются ножки или перекошена столешница).

Остальные столики являются полностью качественными (нет ни одного дефекта).

Найди вероятность того, что случайно выбранный столик, произведенный на этой фабрике, окажется полностью качественным (то есть без дефектов покрытия и без дефектов сборки).

Даны цилиндр и конус. Радиус основания конуса в $2$ раза больше радиуса цилиндра, а высота конуса в $3$ меньше высоты цилиндра. Найди отношение объёма цилиндра к объёму конуса.

Два оператора колл-центра обрабатывают входящие звонки. Первый оператор обрабатывает $144$ заявки на $3$ часа быстрее, чем второй такое же количество заявок. Известно, что первый оператор за час обрабатывает на $4$ заявки больше, чем второй. Сколько заявок за час обрабатывает первый оператор?

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = ax^2+bx+c$. Найди $f(5)$.

На рисунке изображен график функции $y=f(x)$, определенной на интервале $(-7; 5)$. Найдите количество корней уравнения $f'(x)=0$ на интервале $(-5;2)$.

Клиент берёт в банке кредит на два года на сумму $1\,375\,000$ рублей под годовую ставку $20\%$. Погашение кредита происходит ежегодными равными платежами. Проценты начисляются в конце каждого года на остаток долга. Найди сумму ежегодного платежа. Ответ дай в тыс.руб.

Реши уравнение $1+2 \sin \left( 2x + \dfrac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} \sin 2x -\cos x$.

Выбери верную запись всех корней уравнения.

1. $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$, $x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

2. $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$, $x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

3. $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$, $x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

4. $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$, $x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Определи количество корней уравнения $1+2 \sin \left( 2x + \dfrac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} \sin 2x -\cos x$ на промежутке $\left[-4\pi;-\dfrac{5\pi}{2} \right)$.

Определи область допустимых значений неравенства $\log_3 \left( (5 - x)(x^2 + 1{,}4) \right) \leq \log_3 \left( x^2 - 8x + 15 \right) + \log_3 (7 - x)$.

Выбери верный вариант ответа.

1. $x \in(-\infty; 5)$

2. $x \in(-\infty; 3)$

3. $x \in(-\infty; 3) \cup (5; 7)$

4. $x \in (-\infty; 3) \cup (5; +\infty)$

Найди наибольшее целое число, которое является решением неравенства $\log_3 \left( (5 - x)(x^2 + 1{,}4) \right) \leq \log_3 \left( x^2 - 8x + 15 \right) + \log_3 (7 - x)$.

Прочитай условие задачи и дополни решение.

На производстве используется нагревательный элемент, подключённый к источнику постоянного напряжения $U=120$ В. Инженер может изменять сопротивление нагревателя $R$ (в омах). Тепловая мощность, выделяемая в нагревателе, определяется формулой: $P=\dfrac{U^2R}{(R+r)^2}$, где $r=4$ Ом — внутреннее сопротивление источника. 
Какое максимальное значение тепловой мощности $P$ может быть получено при изменении сопротивления нагрузки $R$? 

Решение:
Подставим значения $U=120$ В и $r=4$ Ом в формулу тепловой мощности. Тогда функция зависимости мощности от сопротивления примет вид: $P(R)=\dfrac{14400R}{(R+4)^2}.$ Найдём производную $P'(R)$. 

Выбери верный вариант ответа.

1. $P'(R)=\dfrac{14400(R+4)^2}{(R+4)^4}$ 

2. $P'(R)=\dfrac{14400(4-R)}{(R+4)^3}$

3. $P'(R)=\dfrac{14400(R-4}{(R+4)^3}$

4. $P'(R)=\dfrac{14400}{(R+4)^2}$
   

На производстве необходимо настроить сопротивление нагревательного элемента так, чтобы количество выделяемого тепла было максимально возможным. Зависимость тепловой мощности от сопротивления нагревателя описывается функцией: $P=\dfrac{14400R}{(R+4)^2},$ где $R$ — сопротивление нагревательного элемента в омах. Определите максимальную тепловую мощность, которая может выделяться в нагревателе. Ответ дайте в ваттах.

Найди корни уравнения $\sqrt{4x+5}=-x$.
Запиши в поле ответа верное число. Если корней несколько, укажи их в порядке возрастания через запятую, пробел при этом не ставь.

Вероятность того, что при стрельбе по мишени спортсмен выбьет больше $8$ очков за одну попытку, равна $0{,}62$. Вероятность того, что он выбьет больше $6$ очков, равна $0{,}89$. Найдите вероятность того, что спортсмен выбьет ровно $7$ или $8$ очков.

Найди значение выражения $\dfrac{18}{25} \cdot \log_{27} \sqrt[3]{81}$.

Площадь параллелограмма $MNKP$ равна $6$. Точка $F$ лежит на стороне $MP$ так, что $MF:FP=1:2$. Найди площадь трапеции $FNKP$.

При стрельбе из лука начальная скорость полёта стрелы $v_0$ (в м/с) и дальность полёта $L$ (в метрах) связаны формулой: $L = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}$, где $g = 10$ м/с$^2$ — ускорение свободного падения, а $\alpha$ — угол вылета стрелы по отношению к горизонту (в градусах). Найди начальную скорость $v_0$, если $L = 26{,}45$ м, а $\alpha = 15^\circ$.

Векторы $\overrightarrow{a}(8; -5)$ и $\overrightarrow{b}(-4; k)$ перпендикулярны. Найди значение $k$.

Мебельная фабрика выпускает журнальные столики. Известно, что:

• $2\%$ всех произведенных столиков имеют дефект покрытия (царапины или сколы),

• среди столиков без дефекта покрытия ровно $5\%$ имеют дефект сборки (шатаются ножки или перекошена столешница).

Остальные столики являются полностью качественными (нет ни одного дефекта).

Найди вероятность того, что случайно выбранный столик, произведенный на этой фабрике, окажется полностью качественным (то есть без дефектов покрытия и без дефектов сборки).

Даны цилиндр и конус. Радиус основания конуса в $2$ раза больше радиуса цилиндра, а высота конуса в $3$ меньше высоты цилиндра. Найди отношение объёма цилиндра к объёму конуса.

Два оператора колл-центра обрабатывают входящие звонки. Первый оператор обрабатывает $144$ заявки на $3$ часа быстрее, чем второй такое же количество заявок. Известно, что первый оператор за час обрабатывает на $4$ заявки больше, чем второй. Сколько заявок за час обрабатывает первый оператор?

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = ax^2+bx+c$. Найди $f(5)$.

На рисунке изображен график функции $y=f(x)$, определенной на интервале $(-7; 5)$. Найдите количество корней уравнения $f'(x)=0$ на интервале $(-5;2)$.

Клиент берёт в банке кредит на два года на сумму $1\,375\,000$ рублей под годовую ставку $20\%$. Погашение кредита происходит ежегодными равными платежами. Проценты начисляются в конце каждого года на остаток долга. Найди сумму ежегодного платежа. Ответ дай в тыс.руб.

Реши уравнение $1+2 \sin \left( 2x + \dfrac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} \sin 2x -\cos x$.

Выбери верную запись всех корней уравнения.

1. $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$, $x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

2. $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$, $x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

3. $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$, $x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

4. $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$, $x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$