В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 634,5 тысяч рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года, необходимо выплатить одним платежом часть долга; - выплаты в 2027 и 2028 годах должны быть по 100 тысяч рублей; - к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Найдите сумму всех платежей после погашения кредита.

В январе каждого года сумма долга увеличивается в \(1,1\) раз по сравнению с предыдущим годом. Пусть в последний год мы платим \(x\) тысяч рублей. С учетом того, что кредит был выплачен за три платежа, составим математическую модель задачи: \(1,1(1,1(1,1\cdot 634,5 − 100) − 100) −x = 0\\ 1,1^3\cdot 634,5−100\cdot 1,21−100\cdot 1,1−x=0\\ x=613,5195\) Тогда общая сумма выплат составит \(100+100+613,5195=813,5195\) тысяч рублей. Ответ: 813,5195

а) Решите уравнение: \(2\cos 2x+4\sqrt{3}\cos x-7=0\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]\).

а) По формуле косинуса двойного угла: \(\cos 2x=2\cos^2x-1\) \(2(2\cos^2x-1)+4\sqrt{3}\cos x-7=0\\ 4\cos^2x+4\sqrt{3}\cos x-9=0\\ \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \cos x=-\frac{3\sqrt{3}}{2}\\ \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right.\) \(\cos x=-\frac{3\sqrt{3}}{2}\) - не имеет решений, так как \(\cos x\in[-1;1]\) \(\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k,k\in Z\) б) Отберем корни на промежутке \(\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]\) с помощью тригонометрической окружности Нам подходит корень: \(4\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{23\pi}{6}\) Ответ: а) {\(\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k:k\in Z\)}, б) \(\frac{23\pi}{6}\).

а) Решите уравнение \(15^{\cos x}=3^{\cos x}\cdot 5^{\sin x}\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[5\pi;\frac{13\pi}{2}\right]\).

а) \(3^{\cos x}\cdot 5^{\cos x}=3^{\cos x}\cdot 5^{\sin x}\) Разделим уравнение на \(3^{\cos x}\), так как \(3^{\cos x}>0\) \(5^{\cos x}=5^{\sin x}\Leftrightarrow\sin x=\cos x\) Разделим уравнение на \(\cos x\), так как \(\cos x=0\) - не является решением этого уравнения \(\Leftrightarrow\cos x\ne 0\) \(tgx=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi k,k\in Z\) б) Отберем корни на промежутке \(\left[5\pi;\frac{13\pi}{2}\right]\) с помощью тригонометрической окружности Нам подходят корни: \(5\pi +\frac{\pi}{4}=\frac{21\pi}{4}\\ \frac{13\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{25\pi}{4}\) Ответ: а) {\(\frac{\pi}{4}+\pi k:k\in Z\)}, б) \(\frac{21\pi}{4};\frac{25\pi}{4}\).

а) Решите уравнение \(\log_4(2^{2x}-\sqrt{3}\cos x-\sin 2x)=x\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]\).

а) \(\log_4(2^{2x}-\sqrt{3}\cos x-\sin 2x)=\log_4(4^x)\\ 4^x-\sqrt{3}\cos x-\sin 2x=4^x\) Ограничениями можно пренебречь, так как \(4^x>0\), то и \(2^{2x}-\sqrt{3}\cos x-\sin 2x>0\) По формуле синуса двойного угла: \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) \(-\sqrt{3}\cos x-2\sin x\cos x=0\\ \displaystyle \cos x(\sqrt{3}+2\sin x) =0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} \cos x=0\\ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\frac{\pi }{2} +\pi k\\ x=-\frac{\pi }{3} +2\pi k\\ x=-\frac{2\pi }{3} +2\pi k \end{array} \right. ,k\in Z\Leftrightarrow\) б) Отберем корни на промежутке \(\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]\) с помощью тригонометрической окружности Нам подходят корни: \(-\frac{\pi}{2}\\ -\frac{\pi}{2}+\pi=\frac{\pi}{2}\\ \frac{3\pi}{2}\\ 0-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}\\ \pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}\) Ответ: а) {\(\frac{\pi}{2}+\pi k;-\frac{\pi}{3}+2\pi k;-\frac{2\pi}{3}+2\pi k:k\in Z\)}, б) \(-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2};\frac{4\pi}{3};\frac{3\pi}{2}\).

а) Решите уравнение \(2\sin 2x+2\sin (-x)-2\cos (-x)+1=0\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]\).

а) По формуле синуса двойного угла: \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) По формуле приведения: \(2\sin (-x)=-2\sin x~и~2\cos (-x)=2\cos x\) Тогда уравнение примет вид: \(2\cdot 2\sin x\cos x-2\sin x-2\cos x+1=0\) Применим метод группировки: \(2\sin x(2\cos x-1)-(2\cos x-1)=0\\ (2\sin x-1)(2\cos x-1)=0\\ \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} 2\sin x=1\\ 2\cos x=1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \sin x=\frac{1}{2}\\ \cos x=\frac{1}{2} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\frac{\pi }{6} +2\pi n,n\in Z\\ x=\frac{5\pi }{6} +2\pi n,n\in Z\\ x=\pm \frac{\pi }{3} +2\pi n,n\in Z \end{array} \right.\) б) С помощью единичной окружности отберем корни, которые \(\in \left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]\): \(-4\pi+\frac{\pi}{3}=-\frac{11\pi}{3}\\ -4\pi+\frac{\pi}{6}=-\frac{23\pi}{6}\\ -3\pi-\frac{\pi}{6}=-\frac{19\pi}{6}\) Нам подойдут корни: \(-\frac{11\pi}{3}\), \(-\frac{23\pi}{6}\), \(-\frac{19\pi}{6}\) Ответ: а) \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n, n\in Z\), \(x=\frac{\pi }{6} +2\pi n,n\in Z\), \(x=\frac{5\pi }{6} +2\pi n,n\in Z\), б) \(-\frac{11\pi}{3}\), \(-\frac{23\pi}{6}\), \(-\frac{19\pi}{6}\).