а) Решите уравнение: $\sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{2}\cos x=\sin 2x-1$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]$.

а) По формуле синуса суммы углов: $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha$ $\sqrt{2}\left(\sin 2x\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}\cos 2x\right)+\sqrt{2}\cos x=\sin 2x-1\\ \sqrt{2}\left(\sin 2x\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x\right)+\sqrt{2}\cos x=\sin 2x-1\\ \sin 2x+\cos 2x+\sqrt{2}\cos x=\sin 2x-1$ По формуле косинуса двойного угла: $\cos 2x=2\cos^2x-1$ $2\cos^2x-1+\sqrt{2}\cos x=-1\\ 2\cos^2x+\sqrt{2}\cos x=0\Leftrightarrow\cos x(2\cos x+\sqrt{2})=0\\ \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \cos x=0\\ \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\frac{\pi }{2} +\pi k\\ x=\pm \frac{3\pi }{4} +2\pi k \end{array} \right. ,k\in Z$ б) Отберем корни на промежутке $\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]$ с помощью тригонометрической окружности Нам подходят корни: $-\frac{5\pi}{2}\\ -\frac{5\pi}{2}+\pi=-\frac{3\pi}{2}\\ -\pi-\frac{\pi}{4}=-\frac{5\pi}{4}$ Ответ: а) {$\frac{\pi}{2}+\pi k;\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi k:k\in Z$}, б) $-\frac{5\pi}{2};-\frac{3\pi}{2};-\frac{5\pi}{4}$.

а) Решите уравнение: $3\cos 2x-5\sin x+1=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]$.

а) По формуле косинуса двойного угла: $\cos 2x=1-2\sin^2x$. $3(1-2\sin^2x)-5\sin x+1=0\\ 6\sin^2x+5\sin x-4=0\Leftrightarrow \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \sin x=\frac{1}{2}\\ \sin x=-\frac{4}{3} \end{array} \right.$ $\sin x=-\frac{4}{3}$ - не имеет решений, так как $\sin x\in [-1;1]$ $\sin x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} x=\frac{\pi }{6} +2\pi k\\ x=\frac{5\pi }{6} +2\pi k \end{array} \right. ,k\in Z$ б) Отберем корни на промежутке $\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]$ с помощью тригонометрической окружности Нам подходит корень: $2\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{13\pi}{6}$ Ответ: а) {$\frac{\pi}{6}+2\pi k;\frac{5\pi}{6}+2\pi k:k\in Z$}, б) $\frac{13\pi}{6}$.

а) Решите уравнение $\sin x\cdot\cos 2x+\sin x=\sqrt{3}\cos^2x$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{7\pi}{2};\frac{9\pi}{2}\right]$.

а) $\sin x(1-2\sin^2x)+\sin x=\sqrt{3}\cos^2x\\ \sin x-2\sin^3x+\sin x=\sqrt{3}(1-\sin^2x)\\ 2\sin x(1-\sin^2x)=\sqrt{3}(1-\sin^2x)\\ (1-\sin^2x)(2\sin x-\sqrt{3})=0\\ \left[ \begin{array}{l} \sin^2 x = 1 \\ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right. \\ \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z} \end{array} \right.$ б) С помощью тригонометрической окружности отберем корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{7\pi}{2};\frac{9\pi}{2}\right]$. Нам подойдут: $4\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{13\pi}{3}\\ \frac{9\pi}{2}\\ \frac{7\pi}{2}$ Ответ: а) $x=\frac{\pi }{2} +\pi n$, $n\in Z$; $x=\frac{\pi }{3} +2\pi n$, $n\in Z$; $x=\frac{2\pi }{3} +2\pi n$, $n\in Z$; б) $\frac{13\pi}{3}$; $\frac{9\pi}{2}$; $\frac{7\pi}{2}$

а) Решите уравнение $\dfrac{\log_{2}^2 \left(\sin x\right)+\log_{2}\left(\sin x\right)}{2\cos x +\sqrt{3}}=0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$.

а) Ограничения: $\sin x>0$ – 1-я и 2-я четверти. $\cos x\ne -\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow x\ne\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k,k\in Z\\ \log^2_2(\sin x)+\log_2(\sin x)=0\\ \log_2(\sin x)(1+\log_2(\sin x))=0\\ \log_2(\sin x)=0~или~\log_2(\sin x)=-1\\ \sin x=1~или~\sin x=\frac{1}{2}\\ x=\frac{\pi}{2}+2\pi k~или~x=\frac{\pi}{6}+2\pi k~или~x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,k\in Z$ C учетом ограничений подходят только $x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$, $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$. б) С помощью тригонометрической окружности отберем корни, принадлежащие отрезку $\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$. Нам подойдут $\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{6}$. Ответ: а) $\frac{\pi}{2}+2\pi k$, $\frac{\pi}{6}+2\pi k$, б) $\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{6}$.

а) Решите уравнение $4^{\sin x}+4^{\sin (x+\pi)}=\frac{5}{2}$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]$.

а) По формуле приведения: $\sin(x+\pi)=-\sin x$ $4^{\sin x}+4^{-\sin x}=\frac{5}{2}$ Замена: $4^{\sin x}=t,t>0$ $t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}\\ \frac{2t^2+2-5t}{2t}=0\Leftrightarrow \displaystyle \begin{cases} \left[ \begin{array}{l l} t=2\\ t=\frac{1}{2} \end{array} \right.\\ t\neq 0 \end{cases}\\ \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} t=2\\ t=\frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} 4^{\sin x} =4^{\frac{1}{2}}\\ 4^{\sin x} =4^{-\frac{1}{2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} \sin x=\frac{1}{2}\\ \sin x=-\frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\frac{\pi }{6} +2\pi k\\ x=\frac{5\pi }{6} +2\pi k\\ x=-\frac{\pi }{6} +2\pi k\\ x=-\frac{5\pi }{6} +2\pi k \end{array} \right. ,k\in Z\Leftrightarrow \\ \displaystyle \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{6} +\pi k,k\in Z$ б) Отберем корни на промежутке $\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]$ с помощью тригонометрической окружности Нам подходят корни: $3\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{17\pi}{6}\\ 3\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{19\pi}{6}\\ 4\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{23\pi}{6}$ Ответ: а) {$\pm\frac{\pi}{6}+\pi k:k\in Z$}, б) $\frac{17\pi}{6};\frac{19\pi}{6};\frac{23\pi}{6}$.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 159 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 169642 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение: $\sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{2}\cos x=\sin 2x-1$ .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]$ .
id 169662 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение: $3\cos 2x-5\sin x+1=0$ .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]$ .
id 169672 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение $\sin x\cdot\cos 2x+\sin x=\sqrt{3}\cos^2x$ .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{7\pi}{2};\frac{9\pi}{2}\right]$ .
id 169682 балла
Логарифмические уравнения, сводящиеся к тригонометрическим
а) Решите уравнение $\dfrac{\log_{2}^2 \left(\sin x\right)+\log_{2}\left(\sin x\right)}{2\cos x +\sqrt{3}}=0$ .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$ .
id 169692 балла
Показательные уравнения, сводящиеся к тригонометрическим
а) Решите уравнение $4^{\sin x}+4^{\sin (x+\pi)}=\frac{5}{2}$ .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]$ .