Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Из квадратного листа картона со стороной $18$ см вырезают по углам одинаковые квадраты со стороной $x$ см и загибают края, получая коробку без крышки. Объём коробки равен $V(x)=x(18-2x)^2$, где $0<x<9$. При каком $x$ объём коробки будет наибольшим? Ответ дайте в сантиметрах.

Для ограждения прямоугольного участка, примыкающего одной стороной к прямой стене, имеется $60$ м забора. Ограждают только три стороны участка. Найдите наибольшую возможную площадь участка. Ответ дайте в квадратных метрах.

Расход топлива автомобиля на фиксированный участок пути в зависимости от средней скорости $v>0$ км/ч моделируется функцией $q(v)=0{,}02v+\dfrac{50}{v}$. При какой скорости расход топлива будет наименьшим? Ответ дайте в км/ч.

Автомобиль движется со скоростью $v$ м/с. Время реакции водителя равно $1$ с, после чего автомобиль тормозит с постоянным по модулю ускорением $10$ м/с$^2$. Полный остановочный путь равен $D(v)=v+\dfrac{v^2}{20}$ метров. Какова наибольшая начальная скорость автомобиля, при которой остановочный путь не превышает $40$ м? Ответ дайте в км/ч.

Точечный источник излучения мощностью $P=400\pi$ Вт создаёт на расстоянии $r$ м интенсивность $I=\dfrac{P}{4\pi r^2}$. По нормам безопасности интенсивность не должна превышать $1$ Вт/м$^2$. Найдите минимальное допустимое расстояние до источника. Ответ дайте в метрах.

Предмет и экран находятся на расстоянии $100$ см друг от друга. Между ними устанавливают тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием $F=16$ см так, чтобы на экране получилось резкое изображение предмета. Для расстояний $a$ от предмета до линзы и $b$ от линзы до экрана выполняются условия $a+b=100$ и $\dfrac{1}{F}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$. Найдите меньшее из возможных значений $a$. Ответ дайте в сантиметрах.

Цилиндрическая банка с крышкой должна иметь объём $250\pi$ см$^3$. Радиус основания равен $r>0$ см, высота — $h$ см. Объём и площадь полной поверхности задаются формулами $V=\pi r^2h$ и $S=2\pi r^2+2\pi rh$. При каком радиусе $r$ расход материала, пропорциональный площади $S$, будет наименьшим? Ответ дайте в сантиметрах.

В последовательной электрической цепи с сопротивлением $R$, индуктивностью $L=1$ Гн и ёмкостью $C=0{,}01$ Ф амплитуда силы тока при угловой частоте $\omega>0$ определяется формулой $I(\omega)=\dfrac{U}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}$, где $U$ — постоянная амплитуда напряжения. При какой угловой частоте $\omega$ амплитуда тока будет максимальной? Ответ дайте в рад/с.

В модели движения тела без сопротивления воздуха дальность полёта при начальной скорости $v$ и угле броска $\alpha$, где $0^\circ<\alpha<90^\circ$, определяется формулой $L=\dfrac{v^2\sin2\alpha}{g}$. При каком угле $\alpha$ дальность полёта максимальна? Ответ дайте в градусах.

Полукруглое окно имеет радиус $5$ м. В него вписывают прямоугольную рекламную панель так, что нижняя сторона панели лежит на диаметре, а две верхние вершины — на дуге полукруга. Найдите наибольшую возможную площадь панели. Ответ дайте в квадратных метрах.

Источник постоянного тока имеет ЭДС $\varepsilon=48$ В и внутреннее сопротивление $r=2$ Ом. К источнику подключают нагрузку сопротивлением $R>0$ Ом. Мощность, выделяемая на нагрузке, равна $P(R)=\dfrac{\varepsilon^2R}{(R+r)^2}$. Найдите максимальную мощность, которая может выделяться на нагрузке. Ответ дайте в ваттах.

Высота тела над землёй через $t$ секунд после броска описывается формулой $h(t)=12+30t-5t^2$, где $h$ измеряется в метрах. Найдите наибольшую высоту, которой достигнет тело.

Предприятие выпускает $x$ единиц продукции в день. Выручка составляет $R(x)=150x$ условных денежных единиц, а затраты — $C(x)=x^2+30x+500$. При каком объёме выпуска прибыль предприятия будет наибольшей?

Из квадратного листа картона со стороной $24$ см вырезают по углам одинаковые квадраты со стороной $x$ см и загибают края, получая коробку без крышки. Объём коробки равен $V(x)=x(24-2x)^2$, где $0<x<12$. При каком $x$ объём коробки будет наибольшим? Ответ дайте в сантиметрах.

Для ограждения прямоугольного участка, примыкающего одной стороной к прямой стене, имеется $80$ м забора. Ограждают только три стороны участка. Найдите наибольшую возможную площадь участка. Ответ дайте в квадратных метрах.

Расход топлива автомобиля на фиксированный участок пути в зависимости от средней скорости $v>0$ км/ч задаётся функцией $q(v)=0{,}03v+\dfrac{48}{v}$. При какой скорости расход топлива будет наименьшим? Ответ дайте в км/ч.

Автомобиль движется со скоростью $v$ м/с. Время реакции водителя равно $1$ с, после чего автомобиль тормозит с постоянным по модулю ускорением $8$ м/с$^2$. Полный остановочный путь равен $D(v)=v+\dfrac{v^2}{16}$ метров. Какова наибольшая начальная скорость автомобиля, при которой остановочный путь не превышает $32$ м? Ответ дайте в км/ч.

Точечный источник излучения мощностью $P=900\pi$ Вт создаёт на расстоянии $r$ м интенсивность $I=\dfrac{P}{4\pi r^2}$. По нормам безопасности интенсивность не должна превышать $1$ Вт/м$^2$. Найдите минимальное допустимое расстояние до источника. Ответ дайте в метрах.

Цилиндрическая банка с крышкой должна иметь объём $432\pi$ см$^3$. Радиус основания равен $r>0$ см, высота — $h$ см. Объём и площадь полной поверхности задаются формулами $V=\pi r^2h$ и $S=2\pi r^2+2\pi rh$. При каком радиусе $r$ расход материала, пропорциональный площади $S$, будет наименьшим? Ответ дайте в сантиметрах.

В последовательной электрической цепи с сопротивлением $R$, индуктивностью $L=0{,}5$ Гн и ёмкостью $C=0{,}005$ Ф амплитуда силы тока при угловой частоте $\omega>0$ определяется формулой $I(\omega)=\dfrac{U}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}$, где $U$ — постоянная амплитуда напряжения. При какой угловой частоте $\omega$ амплитуда тока будет максимальной? Ответ дайте в рад/с.

В модели движения тела без сопротивления воздуха дальность полёта при начальной скорости $v$ и угле броска $\alpha$, где $10^\circ<\alpha<80^\circ$, определяется формулой $L=\dfrac{v^2\sin2\alpha}{g}$. При каком угле $\alpha$ дальность полёта максимальна? Ответ дайте в градусах.

Полукруглое окно имеет радиус $6$ м. В него вписывают прямоугольную рекламную панель так, что нижняя сторона панели лежит на диаметре, а две верхние вершины — на дуге полукруга. Найдите наибольшую возможную площадь панели. Ответ дайте в квадратных метрах.

Случайная величина $X$ принимает значения $-2$ и $2$ с вероятностями $0{,}25$ и $0{,}75$ соответственно. Найдите дисперсию $D(X)$.

Случайная величина $X$ принимает значения $1$ и $5$ с вероятностями $0{,}5$ и $0{,}5$ соответственно. Найдите дисперсию $D(X)$.

Случайная величина $X$ принимает значения $-1$ и $3$ с вероятностями $0{,}75$ и $0{,}25$ соответственно. Найдите дисперсию $D(X)$.