В июле \(2025\) года планируется взять кредит в банке на \(8\) лет. Условия его возврата таковы: — в январе \(2026\), \(2027\), \(2028\) и \(2029\) годов долг возрастает на \(20\%\) по сравнению с концом предыдущего года; — в январе \(2030\), \(2031\), \(2032\) и \(2033\) годов долг возрастает на \(18\%\) по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — к июлю \(2033\) года кредит должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит \(1125\) тысяч рублей?

Обозначим сумму долга за \(S\), так как мы знаем, что долг должен в июле каждого года меньше на одну и ту же величину, которая равна \(\frac{S}{8}\). Рассмотрим, как будет выглядеть долг в июле каждого года: \(2025\) | \(2026\) | \(2027\) | \(2028\) | \(2029\) | \(2030\) | \(2031\) | \(2032\) | \(2033\) \(S\) | \(\dfrac{7S}{8}\) | \(\dfrac{6S}{8}\) | \(\dfrac{5S}{8}\) | \(\dfrac{4S}{8}\) | \(\dfrac{3S}{8}\) | \(\dfrac{2S}{8}\) | \(\dfrac{S}{8}\) | \(0\) За время погашения долга мы выплатим банку сумму кредита и все проценты, УЧТЕМ, что первые \(4\) года проценты был равен \(20\), остальные \(4\) года - \(18\), посчитаем все наши выплаты: \(S+S\cdot\dfrac{20}{100}+\dfrac{7S}{8}\cdot\dfrac{20}{100}+\dfrac{6S}{8}\cdot\dfrac{20}{100}+\dfrac{5S}{8}\cdot\dfrac{20}{100}+\dfrac{4S}{8}\cdot\dfrac{18}{100}+\dfrac{3S}{8}\cdot\dfrac{18}{100}+\dfrac{2S}{8}\cdot\dfrac{18}{100}+\dfrac{S}{8}\cdot\dfrac{18}{100}=\\ =S+\dfrac{1}{5}S\left(1+\dfrac{7}{8}+\dfrac{6}{8}+\dfrac{5}{8}\right)+\dfrac{9}{50}S\left(\dfrac{4}{8}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{1}{8}\right)=S\left(1+\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{26}{8}+\dfrac{9}{50}\cdot\dfrac{10}{8}\right)=\\ =S\left(1+\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{26}{8}+\dfrac{9}{5}\cdot\dfrac{1}{8}\right)=\dfrac{75}{40}S=\dfrac{15}{8}S\) При этом нам известно, что сумма выплат составила \(1125\) тысяч рублей, тогда: \(\frac{15}{8}S=1125\Rightarrow S=\frac{1125\cdot 8}{15}=75\cdot 8=600~тысяч~рублей\) Ответ: \(600\) тысяч рублей

На доске написано \(11\) различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно \(5\), а среднее арифметическое шести наибольших равно \(15\). а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться \(3\)? б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться \(9\)? в) Пусть \(B -\) шестое по величине число, а \(S -\) среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения \(S-B\).

а) Нет, так как если 3 является наименьшим, то среднее арифметическое наименьших 6 чисел: \(\frac{3+4+5+6+7+8}{6} =5,535\) б) Нет, \(C=99\) сумма всех чисел. Пусть \(a_{6} =x\), \(E\) - сумма первых 5 чисел, \(F\) - последних 5 чисел \(E+x=30\\ F+x=90\\ E+F+2x=120\\ E+F+x=99\) \(x=21\) - невозможно, так как тогда \(\dfrac{E + 21}{6} = 5 \Rightarrow E+21 = 30 \Rightarrow E = 9\) Возьмем первые \(5\) по величине натуральных чисел, тогда: \(E_{min} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 6 + 9 > 9\), противоречие в )\(S-B\) - наибольшее \(11\cdot S\) - сумма всех чисел \(E+F+B=11\cdot S\\ E+F+2B=120\\ B=120-11\cdot S\) Тогда: \(S-B=S-120+11\cdot S=12\cdot S-120\) Будет наибольшим, когда \(S\) будет наибольшим Выразим \(S\): \(B=120-11\cdot S\\ S=\frac{120-B}{11}\) Подставим в \(S-B\): \(S-B=\frac{120-12\cdot B}{11}\) Чтобы \(S-B\) было наибольшим, нужно \(B\) - наименьшее. Пусть \(B=6\) (шестое по величине натуральное число). Тогда \(1+2+3+4+5+6<30\). Получили противоречие (сумма первых 6 должна быть 30). Пусть \(B=7\). Тогда \(2+3+4+5+6+7<30\). Получили противоречие (сумма первых 6 должна быть 30). Пусть \(B=8\). Тогда \(1+3+5+6+7+8= 30\) и \(8+9+10+11+12+40=90\). Противоречий нет \(B=8\) - наименьшее, тогда: \(S-B=\frac{120-96}{11} =\frac{24}{11}\) Ответ: а) Нет; б) Нет; в) \(\frac{24}{11}\).

В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы: — в январе каждого года долг увеличивается на \(30\%\) по сравнению с предыдущим годом; — с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом. Определите, на какую сумму будет взят кредит банке, если известно, что кредит будет выплачен тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат будет на \(78 030\) рублей больше суммы взятого кредита.

\(S\) - сумма, \(x\) - выплата, \(r=30\) \((( S\cdot 1,3-x) 1,3-x) 1,3-x=0\\ 3x-78300=S\\ ( S\cdot 1,3^{2} -1,3x-x) 1,3-x=0\\ S\cdot 1,3^{3} -1,3^{2} x-1,3x-x=0\\ S\cdot 1,3^{3} -x( 1,3^{2} +1,3+1) =0\\ S\cdot 1,3^{2} -3,99x=0\\ x=\frac{S+78300}{3} =\frac{s}{3} +26010\\ S\cdot 1,3^{3} -3,99(\frac{s}{3} +26010) =0\\ S\cdot 1,3^{3} -1,33S-26010\cdot 3,99=0\\ S=\frac{26010\cdot 3,99}{1,3^{3} -1,3} =119700\) Ответ: \(119700\)

а) Решите уравнение: \(2\cos^{3} x+\sqrt{3}\cos^{2} x+2\cos x+\sqrt{3} =0\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([ -2\pi ;-\frac{\pi }{2}]\).

а) Сгруппируем попарно слагаемые данного уравнения: \(\cos^2x(2\cos x+\sqrt{3})+2\cos x+\sqrt{3}=0\\ (2\cos x+\sqrt{3})(\cos^2x+1)=0\\ 2\cos x+\sqrt{3}=0~или~\cos^2x+1=0\\ \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2} \ или \cos^2x=-1(нет~корней)\\ x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi k,k\in Z\) б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку \([-2\pi;-\frac{\pi}{2}]\): Нам подойдут корни: \(-\pi -\frac{\pi}{6}=-\frac{7\pi}{6}\\ -\pi +\frac{\pi}{6}=-\frac{5\pi}{6}\) Ответ: а) \(\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi k,k\in Z\); б) \(-\frac{7\pi}{6},-\frac{5\pi}{6}\).

В правильной треугольной пирамиде \(𝑆𝐴𝐵𝐶\) сторона основания \(𝐴𝐵=5\), а боковое ребро \(𝑆𝐴=3\). На ребрах \(𝐴𝐵\) и \(𝑆𝐶\) отмечены точки \(𝐾\) и \(𝑀\) соответственно, причем \(𝐴𝐾:𝐾𝐵=𝑆𝑀:𝑀𝐶=1:4\). Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(𝐾𝑀\) и параллельна \(𝑆𝐴\). а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) делит ребро \(𝐴𝐶\) в отношении \(1:4\), считая от вершины \(𝐴\). б) Найдите расстояние между прямыми \(𝑆𝐴\) и \(𝐾𝑀\).

а) Построим сечение плоскостью \(\alpha\): \(\alpha \parallel AS \Rightarrow\) \(\alpha\) пересекает плоскости, в которых лежит \(AS\), по прямой \(\parallel AS\) Тогда проведем \(ML \parallel AS\) в \((ASC)\) Аналогично проведем \(KN\) в \((ASB)\) Тогда \(MLKN \ -\) искомое сечение плоскостью \(\alpha\) По т. Фалеса для \(ML \parallel AS\) и \(\angle{ACS}\): \(\frac{CL}{LA} = \frac{CM}{MS} \\ \frac{CL}{LA} = \frac{4}{1}\) Что и требовалось доказать. б) \(𝐾𝐿𝑀𝑁||𝐴𝑆\) по условию, \(𝐾𝐿\in 𝐾𝐿𝑀𝑁\Rightarrow 𝑑( 𝐴𝑆;𝐾𝐿𝑀𝑁) \ -\) искомое Проведем высоту/биссектрису/медиану \(AP\) в \(\triangle{ABC}\) Тогда в \(\triangle{SBC} \ AP\) тоже будет высотой \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} BC \perp AP \\ BC \perp SP \end{array} \right. \Leftrightarrow BC \perp (ASP) \Rightarrow BC \perp AS\) . Проведем высоту \(PH\) в \(\triangle{ASP}\), тогда: \(PH \perp AS, \ KN \parallel AS \Rightarrow PH \perp LM\) . По обратной т. Фалеса: \(\frac{AK}{KB} = \frac{AL}{LC} = \frac{1}{4} \Rightarrow KL \parallel BC\) Тогда: \(\left\{ \begin{array}{l} BC \perp (ASP) \\ KL \parallel BC \\ PH \subset{ASP} \end{array} \right. \Rightarrow KL \perp PH\) . Получили, что: \(\left\{ \begin{array}{l} PH \perp KN \\ PH \perp KL \end{array} \right. \Rightarrow PH \perp (KLMN)\) . Тогда расстояние между \(AS\) и \((KLMN)\) = \(UH\), где \(U = PH \cap (KLMN)\). \(FE \subset (KLMN) \Rightarrow FE \parallel AS \Rightarrow \angle{SAP} = \angle{EFP}\) как соответственные \(\Rightarrow \triangle{APS} \sim \triangle{FEP}\) по двум углам \((\angle{APS} \ -\) общий\()\). В подобных треугольниках подобны соответственные элементы, следовательно: \(\Rightarrow \frac{PH}{PU} = \frac{PA}{PF}\) По т. Фалеса для \(KL \parallel BC\): \(\frac{AF}{FP} = \frac{AK}{KB} = \frac{1}{4}\). Пусть \(AF = x, \ FP = 4x, \ AP = 5x \Rightarrow\) \(\frac{PH}{PU} = \frac{5x}{4x} = \frac{5}{4} \Rightarrow UH = \frac{1}{5}PH\). Рассмотрим площадь треугольника \(ASP\): \(S_{ASP} = \frac{1}{2} \cdot AS \cdot PH = \frac{1}{2} \cdot AP \cdot SP \cdot \sin\angle{APS}\) \(\Rightarrow PH = \frac{AP\cdot SP \cdot \sin\angle{APS}}{AS}\) .\(AP = \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{AB\sqrt{3}}{2} = \dfrac{5\sqrt{3}}{2}\) как высота равностороннего треугольника. В треугольнике \(SBC\) по т. Пифагора: \(SP = \sqrt{SB^2 - BP^2} = \sqrt{9-\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}\) . Высота пирамиды \(SO\) попадает в точку пересечения медиан/биссектрис/высот, так как пирамида правильная, тогда \(OP= \dfrac{1}{3}AP = \dfrac{5\sqrt{3}}{6}\). В прямоугольном треугольнике \(SOP\): \(\cos\angle{APS} = \frac{OP}{SP} = \frac{5\sqrt{3} \cdot 2}{6 \cdot\sqrt{11}} = \frac{5\sqrt{3}}{3\sqrt{11}}\). Найдем синус угла по ОТТ: \(\sin\angle{APS} = \sqrt{1 - \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 11}} = \sqrt{1 - \frac{25}{33}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{33}}\). Окончательно получаем: \(UH = \frac{1}{5}PH = \frac{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{11} \cdot 2\sqrt{2}}{5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{33} \cdot 3} \Rightarrow UH = \frac{\sqrt{2}}{6}\). Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{6}\).