Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Организаторы лотереи выпустили $10\,000$ билетов. Выигрыши распределены следующим образом.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Выигрыш (в рублях)} & 100 & 1000 & 5000 & 10000 & 50000 \\ \hline \text{Число выигрышных билетов} & 500 & 100 & 50 & 10 & 1 \\ \hline \end{array}$

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

В июле $2030$ года планируется взять кредит $182\,000$ рублей в банке на три года.

Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг увеличивается на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами?

На заводе имеется генератор с ЭДС $\varepsilon = 50$В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки $R$ (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: $I = \dfrac{\varepsilon}{r + R}.$Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля - Ленца: $P = I^2 R.$Какова максимальная тепловая мощность $P$, которая может быть выделена нагрузкой?

Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой $A = k\theta_0 \cdot \dfrac{\tau^2}{\sqrt{\left(T^2 - \tau^2\right)^2 + n\tau^2 T^2}},$ где $k = 0,91$ - коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, $\theta_0 = 9^\circ$ - угол наибольшего волнового склона, $\tau$ - период волны (в секундах), $T = 14,7 \, \text{с}$ - период свободных качаний корабля на тихой воде, $n = 0,0792$ - коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.

В благотворительной лотерее было выпущено $20\,000$ билетов. Выигрыши распределены следующим образом.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Выигрыш (в рублях)} & 50 & 500 & 2000 & 10000 & 100000 \\ \hline \text{Число выигрышных билетов} & 800 & 200 & 80 & 15 & 5 \\ \hline \end{array}$

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

В рекламной акции магазина разыгрываются $5000$ призовых купонов. Выигрыши распределены следующим образом.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Выигрыш (в рублях)} & 100 & 300 & 1000 & 5000 & 25000 \\ \hline \text{Число выигрышных купонов} & 300 & 150 & 40 & 8 & 2 \\ \hline \end{array}$

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один купон». Ответ дайте в рублях.

На корпоративной лотерее компании выпущено $12000$ билетов. Выигрыши распределены следующим образом.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Выигрыш (в рублях)} & 100 & 1000 & 3000 & 15000 & 75000 \\ \hline \text{Число выигрышных билетов} & 600 & 120 & 40 & 12 & 3 \\ \hline \end{array}$

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

В школьной лотерее было напечатано $8000$ билетов. Выигрыши распределены следующим образом.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Выигрыш (в рублях)} & 20 & 100 & 500 & 2000 & 10000 \\ \hline \text{Число выигрышных билетов} & 400 & 250 & 80 & 20 & 5 \\ \hline \end{array}$

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой $A=k\theta_0\cdot\dfrac{\tau^2}{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}},$ где $k=0{,}85$ — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, $\theta_0=8^\circ$ — угол наибольшего волнового склона, $\tau$ — период волны (в секундах), $T=12$ с — период свободных качаний корабля на тихой воде, $n=0{,}72$ — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды.
При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.

Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой $A=k\theta_0\cdot\dfrac{\tau^2}{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2+n\tau^2T^2}},$ где $k=0{,}91$ — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, $\theta_0=9^\circ$ — угол наибольшего волнового склона, $\tau$ — период волны (в секундах), $T=16{,}8$ с — период свободных качаний корабля на тихой воде, $n=0{,}72$ — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды.
При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.

На заводе имеется генератор с ЭДС $\varepsilon=60$ В и внутренним сопротивлением $r=2$ Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки $R$ (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: $I=\dfrac{\varepsilon}{r+R}.$ Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: $P=I^2R.$
Какова максимальная тепловая мощность $P$, которая может быть выделена нагрузкой?

Организаторы лотереи выпустили $10\,000$ билетов. Выигрыши распределены так:

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 100 & 500 & 2000 & 10000 \\ \hline N & 1000 & 200 & 50 & 2 \\ \hline \end{array}$

В таблице $X$ — размер выигрыша одного билета в рублях, $N$— количество билетов с соответствующим размером выигрыша. Остальные билеты не выигрывают. Найдите математическое ожидание случайной величины $X$ — выигрыша на один билет. Ответ дайте в рублях.

Случайная величина $X$ задана законом распределения

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & -2 & 1 & 4 \\ \hline P & 0{,}2 & 0{,}5 & 0{,}3 \\ \hline \end{array}$.

Найдите математическое ожидание $M(X)$.

Страховая выплата $X$ по одному договору принимает значения $0$, $20000$ и $50000$ рублей с вероятностями $0{,}85$, $0{,}10$ и $0{,}05$ соответственно. Найдите математическое ожидание страховой выплаты. Ответ дайте в рублях.

Случайная величина $X$ принимает значения $-1$ и $1$ с вероятностями $0{,}25$ и $0{,}75$ соответственно. Найдите дисперсию $D(X)$.

Случайная величина $X$ имеет распределение Бернулли: $P(X=1)=0{,}36$, $P(X=0)=0{,}64$.

Найдите стандартное отклонение $\sigma(X)$.

Вероятность того, что изготовленная деталь имеет дефект, равна $0{,}3$. Случайная величина $X$ — число дефектных деталей среди $20$ независимо выбранных деталей. Найдите математическое ожидание $M(X)$.

Вероятность успешного прохождения одной независимой проверки равна $0{,}2$. Случайная величина $X$ — число успешных прохождений среди $25$ проверок. Найдите дисперсию $D(X)$.

Случайная величина $X$ равномерно распределена на отрезке $[2;8]$. Найдите её математическое ожидание.

Случайная величина $X$ равномерно распределена на отрезке $[-1;5]$. Найдите её дисперсию.

Случайная величина $X$ принимает значение $2$ с вероятностью $p$ и значение $8$ с вероятностью $1-p$. Известно, что $M(X)=5$. Найдите $p$.

Случайная величина $X$ задана законом распределения

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 1 & 3 & 5 \\ \hline P & 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \\ \hline \end{array}$.

Найдите дисперсию $D(X)$.

Источник постоянного тока имеет ЭДС $\varepsilon=60$ В и внутреннее сопротивление $r=3$ Ом. К источнику подключают нагрузку сопротивлением $R>0$ Ом. Мощность, выделяемая на нагрузке, равна $P(R)=\dfrac{\varepsilon^2R}{(R+r)^2}$. Найдите максимальную мощность, которая может выделяться на нагрузке. Ответ дайте в ваттах.

Высота тела над землёй через $t$ секунд после броска описывается формулой $h(t)=15+20t-5t^2$, где $h$ измеряется в метрах. Найдите наибольшую высоту, которой достигнет тело.

Предприятие выпускает $x$ единиц продукции в день. Выручка составляет $R(x)=100x$ условных денежных единиц, а затраты — $C(x)=x^2+20x+300$. При каком объёме выпуска прибыль предприятия будет наибольшей?