На доске написано \(n\) чисел \(a_{i}( i=1,2,\dotsc ,n)\). Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на \(r_{i}\%\). При этом либо \(r_{i} =2\%\), либо число \(a_{i}\) уменьшается на 2, то есть становится равным \(a_{i} -2\). Какие-то числа уменьшились на число 2, а какие-то - на 2 процента). а) Может ли среднее арифметическое чисел \(r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}\) быть равным 5? б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел \(r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}\) больше 2, при этом сумма чисел \(a_{1} ,a_{2} ,\dotsc ,a_{n}\) уменьшилась более чем на \(2n\)? в) Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел \(r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}\).

а) Нет, так как наибольший %, на который может быть уменьшено число \(\frac{2}{50} \cdot 100%=4%\). б) Да, например, взяли бы два числа 50 и 150, тогда: В итоге среднее арифметическое чисел \(r_{1} ,r_{2} ,\dotsc r_{n} =3\%\), при этом сумма чисел \(a_{1} ,a_{2} ,\dotsc ,a_{n}\) уменьшилась на \(5( >2n,n-2)\) в) Так как наибольший \(\%\), на который может быть уменьшено число равен \(\\4\%\), то нам нужно, как можно больше чисел по \(50\), из которых мы будем вычитать 2. Пусть \(k\) чисел уменьшим на 2, тогда \(30-k\) чисел уменьшаем на 2%. Так как сумма чисел уменьшилась на 40, то \(40\geqslant 2k+( 30-k) \cdot 1\) (\(2k\) - уменьшение \(k\) чисел на 2, \((30-k) \cdot 1\) - наименьшее уменьшение суммы \(30-k\) чисел, которые уменьшаются на 2%) \(40\geqslant 2k+( 30-k) \cdot 1\\ 10\geqslant k\) Пусть \(k=10\), тогда \(r_{1} ,r_{2} ,\dotsc r_{10} =4\%\), а \(r_{11} ,r_{12} ,\dotsc ,r_{30} =2\%\), среднее арифметическое: \(\frac{4\cdot 10+2\cdot 20}{30} =\frac{8}{3}\) Пример: Возьмем 30 чисел по 50, из первых 10 вычтем 2, из остальных 2% \(\Rightarrow r_{1} ,r_{2} ,\dotsc r_{10} =4\%\), а \(r_{11} ,r_{12} ,\dotsc ,r_{30} =2\%\), среднее арифметическое: \(\frac{4\cdot 10+2\cdot 20}{30} =\frac{8}{3}\) Ответ: а) Нет; б) Да; в) \(\frac{8}{3}\).

На доске написано несколько различных натуральных чисел, которые делятся на \(3\) и оканчиваются на \(4\). а) Может ли сумма составлять \(282\)? б) Может ли их сумма составлять \(390\)? в) Какое наибольшее количество чисел могло быть на доске, если их сумма равна \(2226\)?

а) Да, например числа \(24\), \(114\), \(144\). Все заканчиваются на \(4\) и делятся на \(3\). А сумма их \(24+114+144=282\). б) Так как у нас каждое из написанных чисел оканчивается на \(4\), а число \(390\) заканчивается на \(0\), то количество написанных чисел должно быть кратно \(5\). Возьмём самые наименьшие \(5\) чисел, которые заканчиваются на \(4\) и делятся на \(3\), это числа: \(24\), \(54\), \(84\), \(114\), \(144\). Их сумма равна \(420\), а это больше \(390\), значит, такое невозможно. в) Обозначим количество написанных чисел как \(n\). \(4\cdot n\) при делении на \(5\) должно давать остаток \(1\), так как у нас у числа \(2226\) на конце \(6\). Следовательно, количество чисел может быть равно \(4\), \(9\), \(14\), \(19\) и другие. Предположим, что у нас \(14\) чисел, тогда возьмём \(14\) первых минимальных возможных чисел: \(24, 54, 84, 114, 144, 174, 204, 234, 264, 294, 324, 354, 384, 414\). Их сумма будет равна \(\frac{24+414}{2}\cdot 14=438\cdot 7=3066>2226\), значит, нам не подходит последовательность из \(14\) чисел. Дальше проверим \(9\) чисел, возьмём первые \(8\) возможных, минимальных чисел, это числа: \(24, 54, 84, 114, 144, 174, 204, 234\). Их сумма равна \(1032\), от \(2226\) отнимаем \(1032\) и получаем \(1194\), данное число тоже возможно и подходит под условие, оно и будет являться девятым числом. Ответ: а) Да, б) Нет, в) 9.

Решите неравенство: \(\dfrac{4^x+7\cdot 2^x-48}{2^x-32}\leq 1\).

Преобразуем: \(\frac{2^{2x}+7\cdot 2^x-48}{2^x-32}-1\leq 0\) Замена: \(2^x=t\) \(\frac{t^2+7t-48}{t-32}-1\leq 0\\ \frac{t^2+7t-48-t+32}{t-32}\leq 0\\ \frac{t^2+6t-16}{t-32}\leq 0\\ \frac{(t+8)(t-2)}{t-32}\leq 0\) \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} t\leq -8\\ \begin{cases} t\geq 2\\ t 0\), тогда: \(\displaystyle \begin{cases} 2^{x} \geq 2^{1}\\ 2^{x} < 2^{5} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x\geq 1\\ x< 5 \end{cases}\) Ответ: \(x\in [1;5)\).

Решите неравенство: \(\dfrac{2^{x+1}-17\cdot 2^{2-x}}{2^x-2^{6-x}}\geq 1\).

Преобразуем: \(\frac{2\cdot 2^x-\frac{68}{2^x}}{2^x-\frac{64}{2^x}}\geq 1\\ \frac{2\cdot 2^x-16\cdot 2^2\frac{1}{2^x}}{2^x-2^6\cdot\frac{1}{2^x}}\geq 1\) Замена: \(2^x=t\) \(\frac{2t-\frac{68}{t}}{t-\frac{64}{t}}\geq 1\) Запишем в виде: \(\frac{2t^2-68}{t}:\frac{t^2-64}{t}\geq 1\\ \frac{2t^2-68}{t}\cdot\frac{t}{t^2-64}\geq 1\) Сократим на \(t\), т. к. \(t=2^x>0\) \(\frac{2t^2-68}{t^2-64}-1\geq 0\\ \frac{2t^2-68-t^2+64}{t^2-64}\geq 0\\ \frac{t^2-4}{t^2-64}\geq 0\\ \frac{(t-2)(t+2)}{(t-8)(t+8)}\geq 0\) \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} t 8 \end{array} \right.\) Т. к. \(t>0\), то: \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} 0 8 \end{array} \right.\) Вернемся к замене: \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} 2^{x} \leq 2^{1}\\ 2^{x} >2^{3} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x\leq 1\\ x >3 \end{array} \right.\) Ответ: \(x\in (-\infty;1]\cup (3;+\infty)\).

Решите неравенство: \(2^x-\dfrac{240}{2^x-1}\geq 0\).

Замена: \(2^x=t\) \(t-\dfrac{240}{t-1}\geq 0\\ \dfrac{t^2-t-240}{t-1}\geq 0\\ \dfrac{(t-16)(t+15)}{t-1}\geq 0\) \(\displaystyle \left[ \begin{gathered} \begin{cases} t \geq - 15 \\ t 0\), то: \(\left[ \begin{gathered} x< 0 \\ x\geq 4 \end{gathered} \right.\) Ответ: \(x\in (-\infty;0)\cup [4;+\infty)\).