а) Решите уравнение: \(\sin x+2\sin( 2x+\frac{\pi }{6}) =\sqrt{3}\sin 2x+1\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([ -\frac{7\pi }{2} ;-2\pi ]\).

а) Используем формулу синуса суммы: \(\sin x+2(\sin 2x\cdot \cos \frac{\pi}{6}+\cos 2x\cdot \sin\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}\sin 2x+1\\ \sin x+\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{3} \sin 2x+1\\ \sin x + \cos 2x=1\\ \sin x +1-2\sin^2x-1=0\\ 2\sin^2x-\sin x=0\\ \sin x(2\sin x-1)=0\\ \sin x=0~или~2\sin x-1=0\\ \sin x=\frac{1}{2}\\ x=\pi k,k\in Z\\ x=\frac{\pi}{6}+2\pi l,l\in Z\\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi m,m\in Z\) б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку \([-\frac{7\pi}{2};-2\pi]\): Нам подходят числа: \(-3\pi -\frac{\pi}{6}=-\frac{19\pi}{6}\); \(-3\pi;\,-2\pi\). Ответ: а) \(x=\pi k,k\in Z,x=\frac{\pi}{6}+2\pi l,l\in Z, x=\frac{5\pi}{6}+2\pi m,m\in Z\); б) \(-\frac{19\pi}{6},-3\pi , -2\pi\).

а) Решите уравнение: \(8\sin^{2} x-2\sqrt{3}\cos\left(\frac{\pi }{2} -x\right) -9=0\). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([ -\frac{5\pi }{2} ;-\pi ]\).

а) \(8\sin^2x-2\sqrt{3}\cos (\frac{\pi}{2}-x)-9=0\) Используем формулу приведения: \(8\sin^2x-2\sqrt{3}\sin x-9=0\\ \sin x=t, t\in[-1;1]\\ 8t^2-2\sqrt{3}t-9=0\\ D=12+4\cdot 8\cdot 9=300\) \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} t_{1} =\frac{2\sqrt{3} +10\sqrt{3}}{16} =\frac{12\sqrt{3}}{16} =\frac{3\sqrt{3}}{4} >1-не\ подходит\\ t_{2} =\frac{2\sqrt{3} -10\sqrt{3}}{16} =\frac{-8\sqrt{3}}{16} =-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right.\) \(\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} x=-\frac{\pi }{3} +2\pi n,n\in Z\\ x=-\frac{2\pi }{3} +2\pi k,k\in Z \end{array} \right.\) б) Чтобы отобрать корни, лежащие на заданном отрезке, воспользуемся тригонометрической окружностью. Нам подходит число: \(-\frac{5\pi}{2}+\frac{\pi}{6}=-\frac{7\pi}{3}\) Ответ: а) \({-\frac{\pi}{3}+2\pi n,n\in Z, -\frac{2\pi}{3}+2\pi k,k\in Z}\); б) \(-\frac{7\pi}{3}\).

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 26 месяцев. Условия возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на \(3\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 25-й долг должен быть на \(20\) тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — к 15-му числу 26-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какой долг будет 15-го числа 25-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит \(1407\) тысяч рублей?

Сумма выплат \(=\) основной долг \(+\) начисленные проценты. Составим мат. модель: \(1470=S+S\cdot\frac{3}{100}+(S-20)\frac{3}{100}+(S-40)\frac{3}{100}+…+(S-25\cdot 20)\frac{3}{100}\) где \(S\) – сумма долга, \(S\cdot\frac{3}{100}\) – сумма процентов в первый месяц \((S-20)\cdot\frac{3}{100}\) – сумма процентов во второй месяц и т.п. \((S-25\cdot 20)\frac{3}{100}\) – сумма процентов в последний месяц \(1470=S+\frac{3}{100}(S+(S-20)+(S-40)+…+(S-25\cdot 20))\) Заметим, что в скобках заключена арифметическая прогрессия, где \(a_{1} = S, a_{n} = S - 25 \cdot 20, n = 26 \Rightarrow\) \(1470=S+\frac{3}{100}(\frac{S+S-500}{2}\cdot 26)\\ 1470=S+\frac{3}{100}(S-250)\cdot 26\\ 1602=1,78S\\ S=900\) Долг в последнем месяце: \(900-20\cdot 25=400~тысяч~рублей\) Ответ: 400

В июле \(2020\) года планируется взять кредит в банке на сумму \(147 000\) рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами, то есть за два года.

\(S\) - сумма, взятая в кредит \(S=147000\) руб \(r=10\) (увеличение долга в \(%\)) \(n=2\) \(n\) - количество лет \(X\) - платеж Начисление \(\%\) в первый год: \(147000\cdot 1,1\) Выплата первого платежа: \(147000\cdot 1,1-x\) Начисление \(\%\) во \(2\) год: \((147000\cdot 1,1-x)1,1\) Выплата второго платежа: \((147000\cdot 1,1-x)1,1-x\) Составим математическую модель: \((147000\cdot 1,1-x)1,1-x=0\\ 147000\cdot 1,1\cdot 1,1-x\cdot 1,1-x=0\\ 177870-2,1x=0\\ 2,1x=177870\\ x=84700~руб\) Тогда две выплаты: \(84700+84700=169400~руб.\) Значит, \(169400\) руб. будет выплачено банку. Ответ: 169400

В июле клиент планирует взять кредит в банке на сумму \(28\) млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на \(25\%\) по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планирует клиент взять кредит, если наибольший годовой платёж составит \(9\) млн. рублей?

\(S=28\) млн. руб. \(r=25\) (увеличение долга в \(\%\)) \(n\) - количество лет \(x\) - наибольший годовой платеж \(x=9\) млн. руб. Так как долг уменьшается каждый год на одну и туже сумму, тогда долг уменьшался на: \(\frac{S}{n}=\frac{28}{n}\) Каждый платеж составляет выпаривание начисленных процентов и \(\frac{28}{n}\) млн. руб. Тогда наибольший годовой платеж составит: \(9=28\cdot 0,25+\frac{28}{n}\\ 9=7+\frac{28}{n}\\ 2=\frac{28}{n}\\ n=14\) Тогда клиент планирует взять кредит на \(14\) лет. Ответ: 14.