а) Решите уравнение: $4^{x^2-2x+1}+4^{x^2-2x}=20$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-1;2]$.

а) $4^{x^2-2x}\cdot 4+4^{x^2-2x}=20$ Замена $4^{x^2-2x=t}$ $4t+t=20\Leftrightarrow t=4$ Обратная замена: $4^{x^2-2x}=4^1\Leftrightarrow x^2-2x=1\Leftrightarrow x^2-2x-1=0\Leftrightarrow \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} x=1+\sqrt{2}\\ x=1-\sqrt{2} \end{array} \right.$ б) Отберем корни, которые принадлежат промежутку $[-1;2]$ Сравним $1+\sqrt{2}$ и $2$: вычтем из них $1\Leftrightarrow\sqrt{2}$ и $1$ или же $\sqrt{2}$ и $\sqrt{1}$, так как $2>1$, то $\sqrt{2}>\sqrt{1}$, значит $1+\sqrt{2}>2$, и корень $1+\sqrt{2}$ нам не подходит. Сравним $1-\sqrt{2}$ и $-1$: вычтем из них $1\Leftrightarrow -\sqrt{2}$ и $-2$ или же $-\sqrt{2}$ и $-\sqrt{4}$, так как $2 -\sqrt{4}\Leftrightarrow 1-\sqrt{2}>-1$ и $1-\sqrt{2}<2$, следовательно нам подходит только корень $1-\sqrt{2}$. Ответ: a) $1\pm\sqrt{2}$, б) $1-\sqrt{2}$.

а) Решите уравнение: $4^{x^2-1}-24\cdot 2^{x^2-3}+8=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{5}{3};2]$.

а) $\frac{2^{2x^2}}{4}-24\cdot\frac{2^{x^2}}{8}+8=0|\cdot 4$ Замена $2^{x^2}=t$ $t^2-12t+32=0\Leftrightarrow \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} t=8\\ t=4 \end{array} \right.$ Обратная замена: $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} 2^{{x}^{2}} =8\\2^{{x}^{2}} =4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} 2^{{x}^{2}} =2^{3}\\ 2^{{x}^{2}} =2^{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} x^{2} =3\\ x^{2} =2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\pm \sqrt{3}\\ x=\pm \sqrt{2} \end{array} \right.$ б) Отберем корни, которые принадлежат промежутку $[-\frac{5}{3};2]$ 1) $-\frac{5}{3} -\sqrt{\frac{25}{9}}$, значит $-\sqrt{2}>-\frac{5}{3}$ и $-\sqrt{2} \frac{25}{9}$, то $\sqrt{3}>\sqrt{\frac{25}{9}}\Leftrightarrow -\sqrt{3}< -\sqrt{\frac{25}{9}}$, значит $-\sqrt{3}< -\frac{5}{3}$. В итоге нам подходят корни $-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{3}$. Ответ: a) $-\sqrt{3};-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{3}$ б) $-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{3}$.

а) Решите уравнение: $2x\cos x-8\cos x-x+4=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right]$.

а) $2\cos x(x-4)-(x-4)=0\\ (2\cos x-1)(x-4)=0\Leftrightarrow \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \cos x=\frac{1}{2}\\ x=4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\pm \frac{\pi }{3} +2\pi k\\ x=4 \end{array} \right. ,k\in Z$ б) Отберем корни на промежутке $\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right]$ с помощью тригонометрической окружности $4>\pi$ Нам подходят корни: $-\frac{\pi}{3} \\ \frac{\pi}{3}$ Ответ: а) {$4$}$\cup${$\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k, k\in Z$}, б) $\frac{\pi}{3}$; $-\frac{\pi}{3}$.

Решите неравенство:$\log_7(2+\frac{2}{x})-\log_7(x+3)\leq\log_7\frac{6+x}{x^2}$.

$\log_{7}\left( 2+\frac{2}{x}\right) \leq \log_{7}\left(\frac{6+x}{x^{2}}\right) +\log_{7}( x+3)\\ \log_{7}\left( 2+\frac{2}{x}\right) \leq \log_{7}\left(\frac{( 6+x)( x+3)}{x^{2}}\right)$ Так как логарифм по основанию 7 монотонно возрастает, то равносильно: $2+\frac{2}{x}\leq\frac{(6+x)(x+3)}{x^2}$ Если $\displaystyle \begin{cases} 2+\frac{2}{x} >0\\ x+3 >0 \end{cases}$, то и $\frac{6+x}{x^2}>0$ $\begin{cases} \frac{2x+2}{x} > 0 \\[5pt] x > -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty) \\[2pt] x > -3 \end{cases}$ Получается $x\in (-3 ;-1)~\cup~( 0;+\infty )$ Переходим к неравенству: $2+\frac{2}{x}\leq\frac{(6+x)(x+3)}{x^2}\\ \frac{2x+2}{x}-\frac{(6+x)(x+3)}{x^2}\leq 0\\ \frac{2x^2+2x-6x-x^2-18-3x}{x^2}\leq 0\\ \frac{x^2-7x-18}{x^2}\leq 0\\ \frac{(x+2)(x-9)}{x^2}\leq 0$ $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \begin{cases} x\geq -2\\ x 0\\ x\leq 9 \end{cases} \end{array} \right.$ Учитывая ограничения, получаем ответ Ответ: $x\in [-2;-1)~\cup~(0;9]$

Решите неравенство: $45^x\cdot 27-27^{x+1}-12\cdot 15^x+12\cdot 9^x+5^x-3^x\leq 0$.

$(3^2\cdot 5)^x\cdot 27-27\cdot 27^x-12\cdot (3\cdot 5)^x+12\cdot 3^{2x}+5^x-3^x\leq 0\\ 3^{2x}\cdot 5^x\cdot 27-27\cdot 3^{3x}-12\cdot 3^x\cdot 5^x+12\cdot 3^{2x}+5^x-3^x\leq 0\\ 27\cdot 3^{2x}(5^x-3^x)-12\cdot 3^x(5^x-3^x)+5^x-3^x\leq 0\\ (5^x-3^x)(27\cdot 3^{2x}-12\cdot 3^x+1)\leq 0$ Введем функцию: $f(x)=(5^x-3^x)(27\cdot 3^{2x}-12\cdot 3^x+1)$ Найдем нули функции: $(5^x-3^x)(27\cdot 3^{2x}-12\cdot 3^x+1)=0$ $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5^{x} -3^{x} =0\\ 27\cdotp 3^{2x} -12\cdotp 3^{x} +1=0 \end{array} \right.$ Возьмем первое уравнение: $5^x-3^x=0~|~:3^{x} \\ (\frac{5}{3})^x-1=0\Rightarrow (\frac{5}{3})^x=1\Rightarrow x=0$ Возьмем второе уравнение: $27\cdot 3^{2x}-12\cdot 3^x+1=0$ Пусть $t=3^x$, тогда: $27t^2-12t+1=0\\ D=b^2-4ac=144-4\cdot 27=36=6^2\\ t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{12+6}{54}=\frac{1}{3}\\ t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{12-6}{54}=\frac{1}{9}$ Сделаем обратную замену: $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} 3^{x} =\frac{1}{3}\\ 3^{x} =\frac{1}{9} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=-1\\ x=-2 \end{array} \right.$ Получаем: $x\in (-\infty ;-2]\cup [-1;0]$. Ответ: $(-\infty ;-2]\cup [-1;0]$.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 154 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 161742 балла
Показательные уравнения (2 часть)
а) Решите уравнение: $4^{x^2-2x+1}+4^{x^2-2x}=20$ .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-1;2]$ .
id 161752 балла
Показательные уравнения (2 часть)
а) Решите уравнение: $4^{x^2-1}-24\cdot 2^{x^2-3}+8=0$ .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{5}{3};2]$ .
id 161762 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение: $2x\cos x-8\cos x-x+4=0$ .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right]$ .
id 161782 балла
Логарифмические неравенства
Решите неравенство: $\log_7(2+\frac{2}{x})-\log_7(x+3)\leq\log_7\frac{6+x}{x^2}$ .
id 161792 балла
Показательные неравенства
Решите неравенство: $45^x\cdot 27-27^{x+1}-12\cdot 15^x+12\cdot 9^x+5^x-3^x\leq 0$ .