В июле \(2025\) года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на \(10\) лет. Условия его возврата таковы: − каждый январь долг увеличивается на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего года; − с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; − в июле \(2026\), \(2027\), \(2028\), \(2029\), \(2030\) годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года; − в \(2030\) долг составит \(800\) тыс. руб.; − в июле \(2031\), \(2032\), \(2033\), \(2034\), \(2035\) годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года; − к июлю \(2035\) года долг должен быть выплачен полностью. Найдите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна \(2090\) тысяч рублей.

Пусть: \(S\) — сумма кредита; \(x\) — сумма, на которую уменьшается долг с \(2026\)-го по \(2030\)-й год; \(y\) — сумма, на которую уменьшается долг с \(2031\)-го по \(2035\)-й год; \(\frac{10}{100}=0,1\) - коэффициент ежемесячного увеличения долга. Все расчёты будем вести в тыс. рублей. По условию за первые пять лет долг уменьшился с \(S\) тыс. рубл. (июль \(2025\)) до \(800\) тыс. рублей (июль \(2030\)), и уменьшался он ежегодно на одну и ту же сумму \(x\). Тогда: \(x=\frac{S-800}{5}\) За следующие пять лет долг уменьшился с \(800\) тыс. рублей (июль \(2030\)) до \(0\) (июль \(2035\)), и уменьшался он ежегодно на одну и ту же величину \(y\). Тогда: \(y=\frac{800}{5}=160~тыс.рублей\) Общая сумма выплат после полного погашения кредита будет состоять из суммы кредита \(S\) и суммы всех выплаченных процентов. Рассмотрим, как каждый январь начисляются проценты с учётом найденных значений \(x\) и \(y\): Год | Сумма начисленных \(\%\) | Долг \(2026\) | \(S\cdot 0,1\) | \(S-x=S-\frac{S-800}{5}=\frac{4S+800}{5}\) \(2027\) | \(\frac{4S+800}{5}\cdot 0,1\) | \(S-2x=S-2\cdot\frac{S-800}{5}=\frac{3S+1600}{5}\) \(2028\) | \(\frac{3S+1600}{5}\cdot 0,1\) | \(S-3x=S-3\cdot\frac{S-800}{5}=\frac{2S+2400}{5}\) \(2029\) | \(\frac{2S+2400}{5}\cdot 0,1\) | \(S-4x=S-4\cdot\frac{S-800}{5}=\frac{S+3200}{5}\) \(2030\) | \(\frac{S+3200}{5}\cdot 0,1\) | \(S-5x=S-5\cdot\frac{S-800}{5}=800\) \(2031\) | \(800\cdot 0,1=80\) | \(800-y=800-160=640\) \(2032\) | \(640\cdot 0,1=64\) | \(640-y=640-160=480\) \(2033\) | \(480\cdot 0,1=48\) | \(480-y=480-160=320\) \(2034\) | \(320\cdot 0,1=32\) | \(320-y=320-160=160\) \(2035\) | \(160\cdot 0,1=16\) | \(0\) Значит, общая сумма выплат после полного погашения кредита составит: \(S+0,1S+\frac{4S+800}{5}\cdot 0,1+\frac{3S+1600}{5}\cdot 0,1+\frac{2S+2400}{5}\cdot 0,1+\frac{S+3200}{5}\cdot 0,1+80+64+\\ +48+32+16=2090\\ S+0,1\cdot\left(S+\frac{4S+800}{5}+\frac{3S+1600}{5}+\frac{2S+2400}{5}+\frac{S+3200}{5}\right)+240=2090\\ S+0,1\cdot\left(\frac{5S+4S+800+3S+1600+2S+2400+S+3200}{5}\right)=1850\\ S+0,1\cdot\left(\frac{15S+8000}{5}\right)=1850\\ S+0,1\cdot (3S+1600)=1850\\ S+0,3S+160=1850\\ 1,3S=1690\\ S=1300\) Ответ: 1300 тыс. рублей

Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно \(t^2\) часов в неделю, то за эту неделю они производят \(2t\) единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно \(t^2\) часов в неделю, то за эту неделю они производят \(5t\) единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему \(500\) рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить \(580\) единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Пусть: \(x\) - количество единиц товара, произведенное на заводе в первом городе; \((580-x)\) - количество единиц товара, произведенное на заводе во втором городе. Время, необходимое для производства \(x\) единиц товара на заводе, расположенном в первом городе, составит: \(x=2t\Rightarrow t=\frac{x}{2}\Rightarrow t^2=\left(\frac{x}{2}\right)^2\) Время, необходимое для производства \((580-x)\) единиц товара на заводе, расположенном во втором городе, составит: \((580-x)=5t\Rightarrow t=\frac{580-x}{5}\Rightarrow t^2=\left(\frac{580-x}{5}\right)^2\) Тогда: Завод | Количество товара (шт.) | Количество рабочих часов в неделю | Затраты (рубл.) \(I\) | \(x\) | \(\left(\frac{x}{2}\right)^2\) | \(500\cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2\) \(II\) | \(580-x\) | \(\left(\frac{580-x}{5}\right)^2\) | \(500\cdot \left(\frac{580-x}{5}\right)^2\) Суммарные затраты по двум заводам составят: \(500\cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2+500\cdot \left(\frac{580-x}{5}\right)^2=f(x)\) Преобразуем полученную функцию: \(f(x)=500\cdot\left(\left(\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{580-x}{5}\right)^2\right)\\ f(x)=500\cdot\left(\frac{x^2}{4}+\frac{580^2-1160x+x^2}{25}\right)\\ f(x)=500\cdot\left(\frac{25x^2+4\cdot 580^2-4640x+4x^2}{100}\right)\\ f(x)=5\cdot (29x^2-4640x+4\cdot 580^2)\\ f(x)=145x^2-23200x+20\cdot 580^2\) Графиком зависимости затрат от количества продукции \(f(x)=145x^2-23200x+20\cdot 580^2\) является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, ее наименьшее значение будет в вершине \(x_B=\frac{-b}{2a}=\frac{23200}{2\cdot 145}=\frac{23200}{290}=80\). Этому соответствуют затраты на еженедельную оплату труда рабочих \(f(80)=145\cdot (80)^2-23200\cdot 80+20\cdot 580^2=928000-1856000+6728000=5800000\) Ответ: 5800000

В июле \(2025\) года планируется взять кредит в банке на \(800\) тыс. руб. на \(10\) лет. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на \(30\%\) по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле каждого из годов \(2026\), \(2027\), \(2028\), \(2029\), \(2030\) долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года; — в июле каждого из годов \(2031\), \(2032\), \(2033\), \(2034\), \(2035\) долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года; — к июлю \(2035\) года кредит должен быть выплачен. Известно, что сумма выплат по кредиту составит \(1970\) тыс. руб. Найдите, сколько рублей составит долг в июле \(2030\) года.

Обозначим сумму долга за \(S\), пусть в первые \(5\) лет сумма долга равномерно уменьшалась на \(A\), оставшиеся \(5\) лет на \(B\), рассмотрим, как будет выглядеть долг: \(2025\) | \(2026\) | \(2027\) | \(2028\) | \(2029\) | \(2030\) \(S\) | \(S - A\) | \(S - 2A\) | \(S - 3A\) | \(S - 4A\) | \(S - 5A\) \(2031\) | \(2032\) | \(2033\) | \(2034\) | \(2035\) \(S - 5A - B\) | \(S - 5A -2B\) | \(S - 5A - 3B\) | \(S - 5A - 4B\) | \(S - 5A - 5B = 0\) Мы вводили \(A\) и \(B\), как выплаты на основную часть долга, то есть \(5A+5B=S\) (так же это заметно в \(2035\) году) Нам известно, что сумма выплат по кредиту составила \(1970\) тысяч рублей, из них \(1970-800=1170\) тысяч рублей это выплата процентов, найдем сумму процентов: \(0,3S + 0,3(S - A) + 0,3(S - 2A) + 0,3(S - 3A) + 0,3(S - 4A) + 0,3(S - 5A) + 0,3(S - 5A - B)+\\ +0,3(S - 5A - 2B)+0,3(S - 5A - 3B) + 0,3(S - 5A- 4B) = 0,3 ( 10S - 35A - 10B ) = 1170,\) упростим: \(10S - 35A- 10B = 3900\Rightarrow 4100 = 35A+ 10B,\) составим систему: \(\displaystyle \begin{cases} 5A+5B=800\\ 35A+10B=4100 \end{cases} \Rightarrow 25A+2\cdot 800=4100\Rightarrow 25A=2500\Rightarrow A=100,\) тогда \(B=60\). По таблице видно, что долг июля \(2023\) года равен: \(S - 5A= 800 - 500 = 300~тысяч~рублей\) Ответ необходимо дать в рублях: \(300000\). Ответ: 300000

а) Решите уравнение \((32^{\cos x})^{\sin x}=4\sqrt{2}\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{9\pi}{2};-3\pi\right]\).

а) \(2^{5\cos x\cdot\sin x}=2^{\frac{5}{2}}\\ 5\cos x\cdot\sin x=\frac{5}{2}\\ 2\cos x\cdot\sin x=1\\ \sin 2x=1\\ 2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z\\ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z\) б) С помощью числовой окружности отберём корни, которые принадлежат отрезку \(\left[-\frac{9\pi}{2};-3\pi\right]\). Получим значение \(-\frac{15\pi}{4}\). Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{4}+\pi n\), \(n\in Z\); б) \(-\frac{15\pi}{4}\)

15-го января планируется взять кредит в банке на сумму \(2,4\) млн рублей на \(24\) месяца. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на \(3\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Какую сумму нужно выплатить банку в первые 12 месяцев?

1) За первые 12 месяцев мы выплатим половину долга, так как долг уменьшается равномерно. \(\frac{2,4}{2}=1,2~млн.руб.\) 2) Мы выплатим \(\%\) за первые 12 месяцев. Составим мат. модель для выплаченных процентов в первые 12 месяцев. \(2,4\cdot\frac{3}{100}+2,3\cdot\frac{3}{100}+2,2\cdot\frac{3}{100}+…+1,3\cdot\frac{3}{100}\) Где \(\cdot 0,03–3\%\) от суммы долга; \(\frac{3}{100}\cdot (2,4+2,3+2,2+…+1,3)=\frac{3}{100}\cdot\left(\frac{2,4\cdot 1,3}{2}\cdot 12\right)=\frac{3\cdot 3,76}{100}=0,666~млн.руб.\) Сумма выплаты банку с учетом погашения основного долга: \(1,2+0,666=1,866~млн.руб.\) Ответ: 1,866 млн.руб.