Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

На доске написано не менее двух трёхзначных чисел (не обязательно различных), в записи которых нет нулей. У каждого из этих чисел стёрли вторую цифру (так, например, число $827$ стало числом $87$).
а) Приведите пример такого набора чисел, что сумма полученных чисел в $16$ раз меньше суммы исходных.
б) Может ли сумма полученных чисел быть в $5{,}5$ раз меньше суммы исходных?
в) Найдите наименьшее количество чисел на доске, если сумма полученных чисел в $17$ раз меньше суммы исходных.

а) Приведите пример семизначного числа, из которого, вычеркивая цифры, можно получить каждое из чисел: $206$, $835$, $930$.
б) Существует ли восьмизначное число, из которого, вычеркивая цифры, можно получить каждое из чисел: $247$, $345$, $586$, $812$?
в) Найдите наименьшее натуральное число, из которого можно получить все натуральные числа от $1$ до $50$, вычеркивая цифры.

На доске написано $30$ чисел: десять «$5$», десять «$4$» и десять «$3$». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. При этом для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $\dfrac{A+B}{2}$.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по $15$ чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $\dfrac{A+B}{2}$
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{A+B}{2}$.

Для любых трёх натуральных чисел $a,b$ и $c$ (необязательно различных) вычисляют четвертое число $d$ по формуле $d=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$.
а) Существуют ли $a,b$ и $c$, для которых $d$ равно $19$?
б) Существуют ли $a,b$ и $c$, для которых $d$ равно $58$?
в) Какое наибольшее значение может принимать $d$, если $a,b$ и $c$ —двузначные числа и $d$ делится на $4$?

На доске написано $24$ числа: восемь «$5$», восемь «$4$» и восемь «$3$». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. При этом для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $\dfrac{A+B}{2}$.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по $12$ чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $\dfrac{A+B}{2}$
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{A+B}{2}$.

На доске написано $30$ чисел: десять «$5$», десять «$4$» и десять «$3$». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. При этом для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $\dfrac{A+B}{2}$.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по $15$ чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $\dfrac{A+B}{2}$
в) Найдите наименьшее возможное значение выражения $\dfrac{A+B}{2}$.

Из первых $22$ натуральных чисел $1$, $2$, $\ldots$, $22$ выбрали $2k$ различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят $27$.
а) Может ли получиться так, что сумма всех $2k$ выбранных чисел равняется $170$ и в каждой паре одно из чисел ровно в трираза больше другого?
б) Может ли число $k$ быть равным $11$?
в) Найдите наибольшее возможное значение числа $k$.

Из $24$ последовательных нечётных чисел $1$, $3$, $5$, $\ldots$, $47$ выбрали $9$ различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть $A$ — пятое по величине среди этих чисел, а $B$ — их среднее арифметическое.
а) Может ли $B-A$ равняться $\dfrac{2}{9}$?
б) Может ли $B-A$ равняться $\dfrac{5}{9}$?
в) Найдите наибольшее возможное значение $B-A$.

а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа $123456789$ так, чтобы получилось число, кратное $72$?
б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа $846927531$ так, чтобы получилось число, кратное $72$?
в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа $124875963$ так, чтобы получилось число, кратное $72$?

Каждый из $28$ студентов написал или одну из двух контрольных работ, или обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от $0$ до $20$ включительно. По каждой из двух работ в отдельности средний балл составил $15$. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов. При этом если студент писал одну работу, то он назвал балл за нее. Среднее арифметическое названных баллов равно $S$.
а) Приведите пример, когда $S<15$.
б) Могло ли значение $S$ быть равным $5$?
в) Какое наименьшее значение могло принимать $S$, если обе контрольные писали только $10$ студентов?

Учитель задумал несколько необязательно различных натуральных чисел. Эти числа и результаты всех их возможных произведений по два числа, по три числа и так далее он выписал на доску. Если какое-то число, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют только одно такое число, а другие равные ему числа стирают. Например, если задуманы числа $1$, $5$, $6$, $5$, то на доске будет набор $1$, $5$, $6$, $30$, $25$, $150$.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор $2$, $3$, $5$, $6$, $9$, $10$, $15$, $18$, $30$, $45{,}90$.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор $3$, $5$, $7$, $9$, $15$, $21$, $35$, $45$, $105$, $315{,}945$?
в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в которомравно $82$.

Саша берёт пять различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции. Сначала вычисляет среднее арифметическое первых двух чисел, затем среднее арифметическое результата и третьего числа, потом среднее арифметическое полученного результата и четвёртого числа, потом среднее арифметическое полученного результата и пятого числа — число $A$.
а) Может ли число $A$ равняться среднему арифметическому пяти чисел, выбранных изначально?
б) Может ли число $A$ быть в пять раз больше среднего арифметического пяти чисел, выбранных изначально?
в) В какое наибольшее целое число раз число $A$ может быть больше среднего арифметического пяти чисел, выбранных изначально?

Каждый из $32$ студентов написал или одну из двух контрольных работ, или обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от $0$ до $20$ включительно. По каждой из двух работ в отдельности средний балл составил $14$. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов. При этом если студент писал одну работу, то он назвал балл за нее. Среднее арифметическое названных баллов равно $S$.
а) Приведите пример, когда $S<14$.
б) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если $S=11$?
в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если $S=11$?

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр. Например, из числа $194$ получается число $1109134$.
а) Приведите пример числа, из которого получается число $176148179$.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число $3107611090$?
в) Какое наибольшее число, кратное $11$, может получиться из трехзначного числа?

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа $194$ получается число $1109134$).
а) Приведите пример числа, из которого получается число $411781109$.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число $210811495$?
в) Какое наибольшее число, кратное $9$, может получиться из трехзначного числа, в десятичной записи которого нет девяток?

На доске написано несколько различных натуральных чисел, причем любые два из них отличаются не более чем в $3$ раза.
а) Может ли на доске быть написано $5$ чисел, сумма которых равна $47$?
б) Может ли на доске быть написано $10$ чисел, сумма которых равна $94$?
в) Сколько чисел может быть написано на доске, если их произведение равно $8000$?

Последовательность $a_1$,$a_2$, $\ldots$, $a_n$, где $n \ge 3$, состоит из натуральных чисел. При этом каждый член последовательности, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних с ним членов.
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна $60$.
б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при $n=8$?

На доске написаны числа $1$, $2$, $3$,$\ldots$, $30$. За один ход разрешается стереть три числа, сумма которых меньше $35$ и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример $5$ ходов.
б) Можно ли сделать $10$ ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя. «Победы» — процент побед, округлённый до целого, «ничьи» — процент ничьих, округлённый до целого, и «поражения», равный разности $100$ и суммы показателей «побед» и «ничьих». Например, число $13{,}2$ округляется до $13$, число $14{,}5$ округляется до $15$, число $16{,}8$ округляется до $17$.
а) Может ли в какой-то момент показатель «побед» равняться $17$, если было сыграно менее $50$ партий?
б) Может ли после выигранной партии увеличиться показатель «поражений»?
в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель «поражений» можетбыть равным $1$?

На доске написаны числа $2$ и $3$. За один ход из чисел $a$ и $b$ можно получить числа $a+b$ и $2a-1$ или числа $a+b$ и $2b-1$. Например, из чисел $2$ и $3$ можно получить числа $5$ и $3$ или числа $5$ и $5$.
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел на доске окажется равным $19$.
б) Может ли после $100$ ходов одно из двух чисел на доске оказаться равным $200$?
в) Сделали $1007$ ходов, причем на доске не было равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из двух полученных чисел?

Множество чисел назовём хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество $\{100;101;102;\ldots;199\}$ хорошим?
б) Является ли множество $\{2;4;8;\ldots;2^{200}\}$ хорошим?
в) Сколько хороших четырёхэлементных подмножеств у множества ${3;4;5;6;8;10;12}$?

Вася перемножил несколько различных натуральных чисел из отрезка $[23;84]$. Петя увеличил каждое из Васиных чисел на $1$ и перемножил все полученные числа.
а) Может ли Петин результат быть ровно вдвое больше Васиного?
б) Может ли Петин результат быть ровно в $6$ раз больше Васиного?
в) В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?

Ученики некоторой школы написали тест. Результатом каждого участника стало целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее $83$ баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по $5$ баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл не сдавших тест учеников понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл не сдавших тест учеников понизился и средний балл сдавших тестучеников понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил $90$, средний балл сдавших тест учеников составил $100$, а средний балл не сдавших тест учеников составил $75$. После добавления баллов средний балл сдавших тест учеников стал равен $103$, а не сдавших — $79$. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна $99$?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна $9$. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно $6{,}5$. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?

У Пети дома лежат по $100$ монет номинала $1$, $2$, $5$ и $10$ рублей. Он хочет купить пирожное в магазине без сдачи, но до момента покупки Петя не знает, сколько стоит пирожное.
а) Может ли Петя выбрать дома $16$ монет так, чтобы гарантированно купить пирожное стоимостью до $100$ рублей?
б) Может ли Петя выбрать дома $5$ монет так, чтобы гарантированно купить пирожное стоимостью до $25$ рублей?
в) Какое наименьшее количество монет нужно взять Пете, если он знает, что пирожное стоит не более $100$ рублей?