Дано натуральное число. Из него либо вычитают утроенную сумму цифр, либо прибавляют утроенную сумму цифр, при этом полученное число должно быть натуральным. a) Могло ли из числа \(65\) получиться число \(41\)? б) Могло ли из числа \(65\) получиться число \(43\)? в) Какое наименьшее двузначное число можно получить из \(65\)?

а) Да, могло. Опишем алгоритм получения числа \(41\) из числа \(65\) при помощи описанных в условии действий: \(65-11\cdot 3=32\\ 32-5\cdot 3=17\\ 17+8\cdot 3=41\) б) Нет, не могло. Пусть исходное число \(a\) имеет остаток \(b\) при делении на 3. Тогда после операции мы получаем число \(a \pm 3\cdot x\), где \(x\) - сумма цифр числа \(a\). Теперь разделим каждое слагаемое на 3. Получим, что остаток при делении на \(3\) у нового числа не изменился. \(\Rightarrow\) Из исходного числа можно получить только те числа, остаток у которых при делении на 3 равен остатку у исходного числа. У 65 остаток равен 2, у 43 остаток равен 1 \(\Rightarrow\) Противоречие. в) Нам нужно число, которое при делении на \(3\) даёт такой же остаток, как и число \(65\). Так как \(65\) при делении на \(3\) даёт остаток \(2\), то найдем наименьшее двухзначное число, которое даёт такой остаток: Возьмём наименьшее двухзначное число \(10\): оно даёт остаток \(1\), значит, нам не подходит. Возьмём число \(11\): оно даёт остаток \(2\), следовательно, оно нам подходит, приведем пример решения, как из \(65\) получить \(11\): \(65\rightarrow 98\rightarrow 149\rightarrow 107\rightarrow 83\rightarrow 50\rightarrow 35\rightarrow 11\) Следовательно, нам подходит число \(11\). Ответ: 11.

На доске написано более \(40\), но менее \(48\) целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно \(− \ 3\), среднее арифметическое всех положительных из них равно \(4\), среднее арифметическое всех отрицательных из них равно \(− \ 8\). а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

а) \((l+m+n)\cdot (-3)=0+4l-8m\), где \(l\) - положительные числа, \(m\) - отрицательные числа, \(n\) - нули. Тогда: \((l+m+n)\cdot (-3)=4(l-2 m)\), так как правая часть делится на \(4\), тогда \((l+m+n)\) делится на \(4\), на данном промежутке подходит только число \(44\). б) \(-3l-3m-3n=4l-8m\leftrightarrow 5 m=7 l+3 n \leftrightarrow m=\frac{7}{5} l+\frac{3}{5} n \leftrightarrow m>l\), значит, отрицательных больше. в) Так как \(44\cdot (-3)=4(l-2 m) \leftrightarrow l=2 m-33\), у нас есть ограничение \(m+l \leq 44\). Из \(2 m-33\), получаем, что \(m> 16\). Подберём такие значения для \(m\) и \(l\), чтобы их сумма была не более \(44\): если \(m=17\), то \(l=1\), это мало, возьмём больше, например \(m=25\) и \(l=17\), их сумма равна \(42\), если \(m=26\) и \(l=19\), то их сумма будет больше \(44\), значит, нам подходит вариант, где \(m=25\) и \(l=17\), значит, ответом будет число \(17\). Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

Строительство нового завода стоит \(220\) млн. рублей. Затраты на производство \(x\) тыс. единиц продукции на таком заводе равны \(0,5x^2+x+7\) млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене \(p\) тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит \(px-(0,5x^2+x+7)\). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. В первый год после постройки завода цена продукции \(p=9\) тыс. руб. за единицу, каждый следующий год цена продукции увеличивается на \(1\) тыс. руб. за единицу. За сколько лет окупится строительство завода?

Пусть \(f(x)\) - функция, описывающая годовую прибыль. По условию: \(f(x)=px-(0,5x^2+x+7)=px-0,5x^2-x-7=-0,5x^2+x(p-1)-7\) Это квадратичная функция, графическим представлением которой является парабола с ветвями, направленными вниз. Тогда наибольшее значение \(f(x)\) принимает в вершине параболы при \(x_B=\frac{-b}{2a}=\frac{-(p-1)}{-0,5\cdot 2}=p-1\) Наибольшее значение прибыли: \(f(x_B)=f(p-1)=-0,5(p-1)^2+(p-1)(p-1)-7=-0,5(p-1)^2+(p-1)^2-7=\\ =0,5(p-1)^2-7\) Найдем ежегодную прибыль: Год | Цена продукции p, тыс. рубл. | Наибольшее значение прибыли, млн. рубл. | Осталось заработать млн. рубл. 1 | 9 | \(0,5(9−1)2−7=25\) | \(220−25=195\) 2 | 10 | \(0,5(10−1)2−7=33,5\) | \(195−33,5=161,5\) 3 | 11 | \(0,5(11−1)2−7=43\) | \(161,5−43=118,5\) 4 | 12 | \(0,5(12−1)2−7=53,5\) | \(118,5−53,5=65\) 5 | 13 | \(0,5(13−1)2−7=65\) | \(65−65=0\) Таким образом, строительство завода окупится за \(5\) лет. Ответ: 5

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 900 тысяч рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года, необходимо выплатить одним платежом часть долга; - выплаты в 2027 и 2028 годах должны быть равны; - к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что платеж в 2029 году составит 499,2 тысяч рублей. Сколько рублей составит платеж в 2027 году?

Пусть платежи в 2027 и 2028 годах составят \(x\) тысяч рублей. В январе каждого года сумма долга увеличивается в \(1,2\) раза по сравнению с концом предыдущего. С учетом того, что первые два платежа составляли \(x\) тысяч рублей, третий - \(499,2\), после чего долг был выплачен полностью, составим математическую модель задачи: \(1,2(1,2(1,2\cdot 900-x)-x)-499,2=0\\ 1,44\cdot 900-1,2x-x=416\\ x=\frac{1,44\cdot 900-416}{2,2}=400\) Ответ: 400 000.

В треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\) соответственно. Известно, что около четырехугольника \(AMNC\) можно описать окружность. а) Докажите, что треугольник \(ABC\) — равнобедренный. б) На стороне \(AC\) отмечена точка \(F\), такая что \(\angle AFB=135^{\circ}\). Отрезок \(BF\) пересекает отрезок \(MN\) в точке \(E\). Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника \(AMNC\), если \(\angle ABC=120^{\circ}\) и \(EF=6\sqrt{2}\).

а) \(MN-\)средняя линия, значит \(MN||AC\), \(AMNC-\)трапеция. Около трапеции \(AMNC\) по условию можно описать окружность, значит это равнобедренная трапеция. \(\angle MAC=\angle NCA\), как углы при основании равнобедренной трапеции. В треугольнике \(ABC\) \(\angle BAC=\angle BCA\), значит треугольник \(ABC\) — равнобедренный. Что требовалось доказать. б) \(\angle BFC={180}^{\circ}-\angle AFB={180}^{\circ}-{135}^{\circ}={45}^{\circ}\), как смежные \(BE=EF=6\sqrt{2}\), так как \(MN\) - средняя линия. \(BF=12\sqrt{2}\) \(\angle A=\angle C=\frac{{180}^{\circ}-\angle B}{2}=\frac{{180}^{\circ}-{120}^{\circ}}{2}=30^{\circ}\) Окружность, описанная около трапеции, является описанной и для треугольника \(AMN\). \(\angle AMN = {180}^{\circ}− \angle C = {180}^{\circ}− {30}^{\circ}= 150^{\circ}\) так как сумма противоположных углов во вписанном четырехугольнике равна \({180}^{\circ}\). Запишем теорему синусов: \(\frac{AN}{\sin\angle AMN}=2R\\ \frac{AN}{\sin 150}=2R\\ \frac{AN}{\frac{1}{2}}=2R\\ AN=R\) \(BH-\)высота, медиана и биссектриса треугольника \(ABC\). Треугольник \(BFH-\)равнобедренный, так как он прямоугольный и \(\angle BFH={45}^{\circ}\). По теореме Пифагора: \(BH^2+HF^2=BF^2\\ 2BH^2=BF^2=(6\sqrt{2})^2=144\cdot 2\\ BH=12\\ FH=BH=12\) Рассмотрим треугольник \(ABH\). Он прямоугольный, \(\angle B = {30}^{\circ}\). \(AB=2BH=24\), так как катет \(BH\) лежит против угла в \(30\) градусов. \(AH=AB\cdot\cos 30=12\sqrt{3}\) \(AC=2\cdot AH\), так как треугольник \(ABC\) равнобедренный. \(AC=24\sqrt{3}\). \(MN=\frac{AC}{2} = \frac{24\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}\) как средняя линия. \(AM=BM=\frac{АВ}{2} = \frac{24}{2} = 12\) Рассмотрим треугольник \(AMN\): По теореме косинусов: \(AN^2=AM^2+MN^2-2\cdot\cos 150\cdot AM\cdot MN\\ AN^2=12^2+(12\sqrt{3})^2+2\cdot\sqrt{3}\cdot 12\cdot 12\sqrt{3}\\ AN^2=144+144\cdot 3+144\cdot 3\\ AN^2=144\cdot 7\\ AN=12\sqrt{7}\\ R= AN =12\sqrt{7}\) Ответ: \(12\sqrt{7}\).