Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Реши уравнение $1+2 \sin \left( 2x + \dfrac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} \sin 2x -\cos x$.

Выбери верную запись всех корней уравнения.

1. $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$, $x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

2. $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$, $x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

3. $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$, $x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

4. $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$, $x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Определи количество корней уравнения $1+2 \sin \left( 2x + \dfrac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} \sin 2x -\cos x$ на промежутке $\left[-4\pi;-\dfrac{5\pi}{2} \right)$.

Определи область допустимых значений неравенства $\log_3 \left( (5 - x)(x^2 + 1{,}4) \right) \leq \log_3 \left( x^2 - 8x + 15 \right) + \log_3 (7 - x)$.

Выбери верный вариант ответа.

1. $x \in(-\infty; 5)$

2. $x \in(-\infty; 3)$

3. $x \in(-\infty; 3) \cup (5; 7)$

4. $x \in (-\infty; 3) \cup (5; +\infty)$

Найди наибольшее целое число, которое является решением неравенства $\log_3 \left( (5 - x)(x^2 + 1{,}4) \right) \leq \log_3 \left( x^2 - 8x + 15 \right) + \log_3 (7 - x)$.

Прочитай условие задачи и дополни решение.

На производстве используется нагревательный элемент, подключённый к источнику постоянного напряжения $U=120$ В. Инженер может изменять сопротивление нагревателя $R$ (в омах). Тепловая мощность, выделяемая в нагревателе, определяется формулой: $P=\dfrac{U^2R}{(R+r)^2}$, где $r=4$ Ом — внутреннее сопротивление источника. 
Какое максимальное значение тепловой мощности $P$ может быть получено при изменении сопротивления нагрузки $R$? 

Решение:
Подставим значения $U=120$ В и $r=4$ Ом в формулу тепловой мощности. Тогда функция зависимости мощности от сопротивления примет вид: $P(R)=\dfrac{14400R}{(R+4)^2}.$ Найдём производную $P'(R)$. 

Выбери верный вариант ответа.

1. $P'(R)=\dfrac{14400(R+4)^2}{(R+4)^4}$ 

2. $P'(R)=\dfrac{14400(4-R)}{(R+4)^3}$

3. $P'(R)=\dfrac{14400(R-4}{(R+4)^3}$

4. $P'(R)=\dfrac{14400}{(R+4)^2}$

На производстве необходимо настроить сопротивление нагревательного элемента так, чтобы количество выделяемого тепла было максимально возможным. Зависимость тепловой мощности от сопротивления нагревателя описывается функцией: $P=\dfrac{14400R}{(R+4)^2},$ где $R$ — сопротивление нагревательного элемента в омах. Определите максимальную тепловую мощность, которая может выделяться в нагревателе. Ответ дайте в ваттах.