Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

а) Решите уравнение: $2\sin^2x-\sqrt{3}\cos(\frac{\pi}{2}-x)=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]$.

а) Решите уравнение: $2\sin^2x+3\sqrt{2}\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)+2=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]$.

а) Решите уравнение: $\left(\frac{4}{9}\right)^{\cos x}+2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{\cos x}-3=0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi;4\pi]$.

Дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$. $ABC$  — равнобедренный треугольник с основанием $AB$. На $AB$ отмечена точка $P$ такая, что $AP:PB=3:1$. Точка $Q$ делит пополам ребро $B_1C_1$. Точка $M$ делит пополам ребро $BC$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$ перпендикулярная $PQ$.

а) Докажите, что прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha$.

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, если $AA_1=5$, $AB=12$ и $\cos\angle ABC=\frac{3}{5}$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ – центр основания $ABCD$, точка $M$ – середина ребра $SC$, точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=2:1$, $AB=6$ и $SO=3\sqrt{7}$.

а) Докажите, что плоскость $(OMK)$ параллельна прямой $SA$.

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $(OMK)$ пересечёт грань $SAD$.