В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года, необходимо выплатить одним платежом часть долга; - выплаты в 2027 и 2028 годах должны быть по 300 тыс. рублей; - к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что платеж в 2029 году будет составлять 860,6 тыс. рублей. Какую сумму планируется брать в кредит?

Пусть сумма, взятая в кредит, составляет \(S\) тысяч рублей. В начале каждого года сумма долга увеличивается в \(1,3\) раза по сравнению с концом предыдущего. Тогда в январе 2027 года долг станет равным \(1,3S\). В июле 2027 долг составит \(1,3S-300\) тысяч рублей. В январе 2028 года долг составит \(1,3(1,3S-300)\). И к концу 2028 составит \(1,3(1,3S-300)-300\) тысяч рублей. После чего так же, как и в предыдущие года увеличится в \(1,3\) раза и будет погашена одним платежом в \(860,6\) тысяч рублей: \(1,3(1,3(1,3S-300)-300)-860,6=0\\ 13(1,69S-390-300)=8606\\ 1,69S-390-300=662\\ S=\frac{662+690}{1,69}=800\) Ответ: 800

а) Решите уравнение: \(4^x-2^{x+3}+15=0\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([2;\sqrt{10}]\).

a) \(4^x-2^{x+3}+15=0\\ 2^{2x}-8\cdot 2^x+15=0\) Замена \(2^x=t\) \(t^2-8\cdot t+15=0\Leftrightarrow \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} t=3\\ t=5 \end{array} \right.\) Обратная замена, учитывая \(5=2^{\log_25}\) и \(3=2^{\log_23}\): \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} 2^{x} =3\\ 2^x=5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} 2^{x} =2^{\log_23}\\ 2^x=2^{\log_25} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\log_23\\ x=\log_{2} 5 \end{array} \right.\) б) Отберем корни, которые принадлежат промежутку \([2;\sqrt{10}]\). Так как \(\log_23<\log_24\) и \(\log_24<\log_25<\log_28<\sqrt{10}\), то: Нам подходит только корень: \(\log_25\). Ответ: a) \(\log_23; \log_25\), б) \(\log_25\).

Найдите все положительные значения параметра \(a\), при которых система \(\displaystyle \begin{cases}\sqrt{2x-x^{2}} =\sqrt{2ay-a^{2} y^{2}}\\\ y=x^{2}\end{cases}\) имеет ровно три решения.

\(\begin{cases} 2x-x^{2} =2ay-a^{2} y^{2}\\ 2x-x^{2} \geq 0\\ y=x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^{2} -2x+2ay-a^{2} y^{2} =0\\ 2x-x^{2} \geq 0\\ y=x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2( ay-x) -( ay-x)( ay+x) =0\\ 2x-x^{2} \geq 0\\ y=x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \begin{cases} ( ay-x)( 2-ay-x) =0\\ x( 2-x) \geq 0\\ y=x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{array}{l l} x=ay\\ x=2-ay \end{array} \right.\\ x\geq 0\\ x\leq 2\\ y=x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{array}{l l} x=ax^{2}\\ x=2-ax^{2} \end{array} \right.\\ x\geq 0\\ x\leq 2\\ y=x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{array}{l l} x( ax-1) =0\\ ax^{2} +x-2=0 \end{array} \right.\\ x\geq 0\\ x\leq 2\\ y=x^{2} \end{cases}\) Найдем корни уравнения \(ax^{2} +x-2=0\): \(D=1+8a\Rightarrow x_{1} =\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a} ,x_{2} =\frac{-1-\sqrt{1+8a}}{2a}\) Получаем систему: \(\begin{cases} \left[ \begin{array}{l l} x_{1} =0\\ x_{2} =\frac{1}{a}\\ x_{3} =\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a}\\ x_{4} =\frac{-1-\sqrt{1+8a}}{2a} \end{array} \right.\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\geq 0\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x\leq 2\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=x^{2} \end{cases}\) Так как по условию \(a >0\), то случай \(a=0\) рассматривать не будем. Начнем смотреть принадлежность корней условию \(\begin{cases} x\geq 0\\ x\leq 2 \end{cases} \Rightarrow x_{1} =0\) - принадлежит этому интервалу, 1 корень есть. \(x_{2} =\frac{1}{a} \Rightarrow \begin{cases} \frac{1}{a} \geq 0\\ \frac{1}{a} \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow a\geq \frac{1}{2}\\ x_{3} =\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a} \Rightarrow \begin{cases} \frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a} \geq 0\\ \frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a} \leq 2 \end{cases}\) По условию \(a >0\), можем умножить обе части на знаменатель: \(\begin{cases} -1+\sqrt{1+8a} \geq 0\\ -1+\sqrt{1+8a} \leq 4a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{1+8a} \geq 1\\ \sqrt{1+8a} \leq 4a+1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a >0\ ( по\ условию\ a >0)\\ 1+8a\leq 16a^{2} +8a+1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a >0\\ 16a^{2} \geq 0 \end{cases} \Rightarrow a\geq 0\\ x_{4} 0\) Проверим совпадение корней: \(x_{1} =0\) и \(x_{2} =\frac{1}{a}\) никогда не совпадают. Проверим совпадение \(x_{1} =0\) и \(x_{3} =\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a} \Leftrightarrow 0=\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a} \Leftrightarrow a=0\) - не подходит по условию. Проверим совпадение \(x_{2} =\frac{1}{a}\) и \(x_{3} =\frac{-1+\sqrt{1+8a}}{2a} \Leftrightarrow -1+\sqrt{1+8a} =2\Leftrightarrow \sqrt{1+8a} =3\Leftrightarrow 1+8a=9\Leftrightarrow a=1\). Исходя из предыдущих размышлений о существовании корней: \(x_{1}\) всегда, \(x_{2}\) при \(a\geq \frac{1}{2}\), \(x_{3}\) при \(a >0,x_{4}\) никогда, совпадение при \(a=1\). Делаем вывод, что \(a\in [\frac{1}{2} ;1) \cup ( 1,+\infty )\) Ответ: \(a\in [\frac{1}{2} ;1) \cup ( 1,+\infty )\)

\(15\)-го января планируется взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы: — \(1\)-го числа каждого месяца долг возврастает на \(3\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца; — со \(2\)-го по \(14\)-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — \(15\)-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на \(15\)-е число предыдущего месяца. На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на \(30\%\) больше суммы, взятой в кредит.

Обозначим за \(n\) - число лет, на которые мы берем кредит, так как по условию: в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года, тогда можно сделать вывод, что мы ежегодно будем должны выплачивать начисляемый процент и определенную часть долга, которая будет равна: \(\frac{S}{n}\), где \(S\) - сумма долга. Рассмотрим, как будет выглядеть долг в зависимости от месяца: \(1\)) \(S\) \(2\)) \(S-\frac{S}{n}=\frac{S(n-1)}{n}\) \(3\)) \(S-2\cdot\frac{S}{n}=\frac{S(n-2)}{n}\) \(..….\) \(n-1\)) \(S-(n-2)\cdot \frac{S}{n}=\frac{2S}{n}\) \(n\)) \(S-(n-1)\cdot\frac{S}{n}=\frac{S}{n}\) Тогда сумма всех выплат будет равна кредиту и начисленным процентам: \(S+S\cdot\frac{3}{100}+\frac{S(n-1)}{n}\cdot\frac{3}{100}+\frac{S(n-2)}{n}\cdot\frac{3}{100}+…+\frac{2S}{n}\cdot\frac{3}{100}+\frac{S}{n}\cdot\frac{3}{100},\) По условию выплаты на \(30\%\) больше суммы кредита, то есть: \(S+S\cdot\frac{3}{100}+\frac{S(n-1)}{n}\cdot\frac{3}{100}+\frac{S(n-2)}{n}\cdot\frac{3}{100}+…+\frac{2S}{n}\cdot\frac{3}{100}+\frac{S}{n}\cdot\frac{3}{100}=1,3S\\ S\cdot\frac{3}{100}+\frac{S(n-1)}{n}\cdot\frac{3}{100}+\frac{S(n-2)}{n}\cdot\frac{3}{100}+…+\frac{2S}{n}\cdot\frac{3}{100}+\frac{S}{n}\cdot\frac{3}{100}=1,3S\\ S\cdot\frac{3}{100}\left(1+\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+…+\frac{2}{n}+\frac{1}{n}\right)=0,3S\\ 1+\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+…+\frac{2}{n}+\frac{1}{n}=10\) Заметим арифметическую прогрессию в левой части уравнения, найдем ее сумму: \(1+\frac{n-1}{n}+\frac{n-2}{n}+…+\frac{2}{n}+\frac{1}{n}=\frac{1+\frac{1}{n}}{2}\cdot n=\frac{\frac{n+1}{n}}{2}\cdot n=\frac{1+n}{2},\) вернемся к уравнению: \(\frac{1+n}{2},n=19~месяцев\) Ответ: 19

В июле \(2025\) года планируется взять кредит в банке на \(700\) тыс. руб. на \(10\) лет. Условия его возврата таковы: − каждый январь долг увеличивается на \(r\%\) по сравнению с концом предыдущего года (\(r\) — целое число); − с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; − в июле каждого из годов \(2026\), \(2027\), \(2028\), \(2029\), \(2030\) долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года; − в июле \(2030\) долг должен составлять \(600\) тыс. руб.; − в июле каждого из годов \(2031\), \(2032\), \(2033\), \(2034\), \(2035\) долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года; − к июлю \(2035\) года кредит должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма выплат по кредиту составит \(2230\) тыс. руб. Найдите, сколько рублей составит платёж в \(2035\) году.

Пусть: \(x\) — сумма, на которую уменьшается долг с \(2026\)-го по \(2030\)-й год; \(y\) — сумма, на которую уменьшается долг с \(2031\)-го по \(2035\)-й год. Все расчёты будем вести в тыс. рублей. По условию за первые пять лет долг уменьшился с \(700\) тыс. рубл. (июль \(2025\)) до \(600\) тыс. рублей (июль \(2030\)), и уменьшался он ежегодно на одну и ту же величину \(x\). Тогда: \(x=\frac{700-600}{5}=20~тыс.рублей\) За следующие пять лет долг уменьшился с \(600\) тыс. рублей (июль \(2030\)) до \(0\) (июль \(2035\)), и уменьшался он ежегодно на одну и ту же величину \(y\). Тогда: \(y=\frac{600}{5}=120~тыс.рублей\) Общая сумма выплат после полного погашения кредита будет состоять из суммы кредита и суммы всех выплаченных процентов. Рассмотрим, как каждый январь начисляются проценты с учётом найденных значений \(x\) и \(y\): Год | Сумма начисленных \(\%\) | Долг \(2026\) | \(700\cdot\frac{r}{100}\) | \(700-x=700-20=680\) \(2027\) | \(680\cdot\frac{r}{100}\) | \(680-x=680-20=660\) \(2028\) | \(660\cdot\frac{r}{100}\) | \(660-x=660-20=640\) \(2029\) | \(640\cdot\frac{r}{100}\) | \(640-x=640-20=620\) \(2030\) | \(620\cdot\frac{r}{100}\) | \(620-x=620-20=600\) \(2031\) | \(600\cdot\frac{r}{100}\) | \(600-y=600-120=480\) \(2032\) | \(480\cdot\frac{r}{100}\) | \(480-y=480-120=360\) \(2033\) | \(360\cdot\frac{r}{100}\) | \(360-y=360-120=240\) \(2034\) | \(240\cdot\frac{r}{100}\) | \(240-y=240-120=120\) \(2035\) | \(120\cdot\frac{r}{100}\) | \(0\) Значит, общая сумма выплат после полного погашения кредита составит: \(700+700\cdot\frac{r}{100}+680\cdot\frac{r}{100}+660\cdot\frac{r}{100}+640\cdot\frac{r}{100}+620\cdot\frac{r}{100}+600\cdot\frac{r}{100}+480\cdot\frac{r}{100}+\\ +360\cdot\frac{r}{100}+240\cdot\frac{r}{100}+120\cdot\frac{r}{100}=2230\\ \frac{r}{100}\cdot(700+680+660+640+620+600+480+360+240+120)=2230-700\\ \frac{r}{100}\cdot 5100=1530\\ 51r=1530\\ r=30\) Платёж в \(2035\) году будет состоять из суммы величины долга на конец \(2034\) года (\(120\) тыс. рублей) и величины начисленных на этот долг процентов \(\left(120\cdot\frac{r}{100}\right)\). То есть: \(120+120\cdot\frac{r}{100}=120+120\cdot\frac{30}{100}=120+36=156\) Ответ: 156000