Решите неравенство: \(3^x+\dfrac{243}{3^x-36}\geq 0\).

\(3^x+\dfrac{243}{3^x-36}\geq 0\), пусть \(3^x=t\) \(t+\dfrac{243}{t-36}\geq 0\\\dfrac{t^2-36t+243}{t-36}\geq 0\\ \dfrac{(t-27)(t-9)}{t-36}\geq 0\) \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l} 9\leq t\leq 27 \\ t >36 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 9\leq 3^{x} \leq 27 \\ 3^{x} >36 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 3^{2} \leq 3^{x} \leq 3^{3} \\ 3^{x} >3^{\log_{3} 36} \end{array} \right. \\\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 2\leq x\leq 3 \\ x >\log_{3} 36 \end{array} \right. \Rightarrow x\in [2;3] \cup (\log_{3} 36;+\infty)\) Ответ: \([2;3]\cup (\log_{3} 36;+\infty )\)

Планируется открыть вклад на \(4\) года, положив на счет целое число млн рублей. В конце каждого года он увеличивается на \(10\%\), а в начале третьего и четвертого года вклад пополняется на \(5\) млн рублей. Найдите наименьший первоначальный вклад, при котором начисленные проценты за весь срок будут более \(10\) млн рублей.

Пусть \(S\) - размер вклада. В конце второго года на счету будет: \(S \cdot 1,1 \cdot 1,1\) В конце третьего года: \((1,21S + 5) \cdot 1,1\) В конце четвёртого года: \(((1,21S + 5) \cdot 1,1)+5) \cdot 1,1\) \(\Rightarrow (( S\cdot 1,1\cdot 1,1+5) 1,1+5) 1,1-S-10 >10\\ (( S\cdot 1,21+5) 1,1+5) 1,1-S >20\\ ( S\cdot 1,331+5\cdot 1,1+5) 1,1-S >20\\ S\cdot 1,4641+5\cdot 1,21+5\cdot 1,1-S >20\\ S >\frac{6500}{357}\\ S > 18\frac{74}{357} \\ \min{S} \in \mathbb{Z} =19\) Ответ: 19.

а) Решите уравнение: \(\cos(2x-\frac{\pi }{2}) =\sqrt{3}\cos x\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([\pi ;\frac{5\pi }{2}]\).

а) \(\cos (2x-\frac{\pi}{2})=\sqrt{3}\cos x\\ \sin(2x)=\sqrt{3} \cos x\\ \cos x(2\sin x-\sqrt{3})=0\\ 1)~\cos x=0\\ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,~n\in Z\\ 2)~\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,~k\in Z~или~x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,~k\in ~Z\) б) Чтобы отобрать корни, лежащие на заданном отрезке, воспользуемся тригонометрической окружностью: \(2\pi +\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}\) Получим корни \(\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2},\frac{7\pi}{3}\). Ответ: а) \({x=\frac{\pi}{2}+\pi n;x=\frac{\pi}{3}+2\pi k; x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,k\in Z}\) б) \(\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2},\frac{7\pi}{3}\).

\(15\) декабря \(2024\) года планируется взять кредит в банке на \(17\) месяцев. Условия возврата таковы: — \(1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(3\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца; — со \(2\)-го по \(14\)-е число месяца необходимо выплатить часть долга; — \(15\)-го числа каждого месяца с \(1\)-го по \(16\)-й (с января \(2025\) года по апрель \(2026\) года включительно) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на \(15\)-е число предыдущего месяца; — \(15\) апреля \(2026\) года долг составит \(400\) тысяч рублей; — \(15\) мая \(2026\) года долг должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит \(1608\) тысяч рублей?

Пусть: \(S\) - сумма кредита, \(x\) - сумма, на которую уменьшается долг с \(1\)-го по \(16\)-й месяц, \(\frac{3}{100}=0,03\) - коэффициент ежемесячного увеличения долга. Все расчеты будем вести в тыс. рублей. Общая сумма выплат после полного погашения кредита будет состоять из суммы кредита \(S\) и суммы всех выплаченных процентов. Рассмотрим, как начисляются проценты в каждом месяце с \(1\)-го по \(16\)-й с учетом того, что по условию на \(15\)-ое число каждого месяца долг должен быть на \(x\) тысяч рублей меньше долга на \(15\)-е число предыдущего месяца: Месяц | Сумма начисленных \(\%\) | Долг \(1\) | \(S\cdot 0,03\) | \(S-x\) \(2\) | \((S-x)\cdot 0,03\) | \((S-x)-x=S-2\cdot x\) \(3\) | \((S-2\cdot x)\cdot 0,03\) | \((S-2\cdot x)-x=S-3\cdot x\) \(4\) | \((S-3\cdot x)\cdot 0,03\) | \((S-3\cdot x)-x=S-4\cdot x\) \(5\) | \((S-4\cdot x)\cdot 0,03\) | \((S-4\cdot x)-x=S-5\cdot x\) \(…\) | \(…\) | \(…\) \(16\) | \((S-16\cdot x)\cdot 0,03\) | \((S-16\cdot x)-x=S-16\cdot x\) \(17\) | \((S-16\cdot x)\cdot 0,03\) | \(0\) По условию долг на \(15\) число \(16\) месяца (\(15\) апреля \(2026\) года) составит \(400\) тысяч рублей, то есть: \(S-16\cdot x=400\) Общая сумма выплат после полного погашения кредита составит: \(S+S\cdot 0,03+(S-x)\cdot 0,03+(S-2\cdot x)\cdot 0,03+…+(S-16\cdot x)\cdot 0,03=1608\\ S=0,03(S+(S-x)+(S-2\cdot x)+…+(S-16\cdot x))=1608~(1)\) Арифметическая прогрессия из \(17\) членов и разностью \(-x\): \(S,(S-x),(S-2\cdot x),…,(S-16\cdot x)\) Тогда: \(S+(S-x)+(S-2\cdot x)+…+(S-16\cdot x)=\frac{S+S-16\cdot x}{2}\cdot 17=\frac{S+(S-16\cdot x)}{2}\cdot 17=\\ =\frac{S+400}{2}\cdot 17=\frac{17}{2}S+3400\) Возвращаемся к уравнению (1): \(S+0,03(S+(S-x)+(S-2\cdot x)+…+(S-16\cdot x))=1209\\ S+0,03\left(\frac{17}{2}S+3400\right)=1608\\ S+\frac{3\cdot 17}{2\cdot 100}S+102=1608\\ \frac{200+51}{200}S=1506\\ S=\frac{1506\cdot 200}{251}=\frac{6\cdot 251\cdot 200}{251}=1200\) Ответ: 1200 тыс. рублей

а) Решите уравнение: \(2\cos^3x-\cos^2x+2\cos x-1=0\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\).

а) \(2\cos^3x-\cos^2x+2\cos x-1=0\Leftrightarrow\cos^2x(2\cos x-1)+(2\cos x-1)=0\\ (\cos^2x+1)(2\cos x-1)=0\Leftrightarrow \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \cos^{2} x+1=0\\ 2\cos x-1=0 \end{array} \right.\) \(\cos^2x+1=0\) - не имеет решений \(\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,k\in Z\) б) Отберем корни на промежутке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) с помощью тригонометрической окружности Нам подходит корень: \(2\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}\) Ответ: а) {\(\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k:k\in Z\)}, б) \(\frac{7\pi}{3}\).