Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Страховая выплата $X$ по одному договору принимает значения $0$, $10\,000$, $40\,000$ рублей с вероятностями $0{,}8$, $0{,}15$, $0{,}05$ соответственно. Найдите математическое ожидание страховой выплаты. Ответ дайте в рублях.

Страховая выплата $X$ по одному договору принимает значения $0$, $15\,000$, $60\,000$ рублей с вероятностями $0{,}9$, $0{,}08$, $0{,}02$ соответственно. Найдите математическое ожидание страховой выплаты. Ответ дайте в рублях.

В четырёхугольник $ABCD$, периметр которого равен $22$, вписана окружность, $AB=8$. Найдите длину стороны $CD$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(2; 2)$ и $\overrightarrow{b}(2; -2)$. Найдите длину вектора $7\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна $18$. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

В сборнике билетов по химии всего $80$ билетов, в $56$ из них встречается вопрос по теме «Углеводороды». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «Углеводороды».

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна $0{,}9$. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние.

Найдите корень уравнения $4^{x-4} = 64$.

Найдите значение выражения $\dfrac{3\sin 164^\circ}{\sin 82^\circ \cdot \sin 8^\circ}$.

На рисунке изображён график $y = f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-10; 7)$. Найдите количество точек минимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-2; 6]$.

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 15$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 2$ м/с$^2$. За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $S = v_0t - \dfrac{at^2}{2}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $36$ метров. Ответ дайте в секундах.

Два велосипедиста одновременно отправились в $90$-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на $5$ км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на $3$ часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = \dfrac{k}{x}$. Найдите значение $f(10)$.

а) Решите уравнение $\cos 2x + \sqrt{2}\cos(x + \pi) + 1 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\dfrac{5\pi}{2}\right]$.

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ — середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $BC$ и $MK$ параллельны.
б) Найдите объём пирамиды $MABF$, если $AB=12$, а угол между плоскостью $BMC$ и плоскостью основания пирамиды $SABCDEF$ равен $30^\circ$.

Решите неравенство $2^{\log_2(\log_2 x)} + \log_4^2 x - 3 \le 0$.

Окружность с центром $O$ касается боковых сторон $AB$ и $BC$ равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ и его высоты $CH$.
а) Докажите, что $\angle OAC = 45^\circ$.
б) Найдите длину отрезка $BC$, если $BO=1$ и $AC=6$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} 4x - y + a = 0, \\ 2|y| - x^2 + 4x = 0 \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $5$, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-120$.
Известно, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек?
б) Может ли число красных карточек на столе быть на $90$ больше числа синих карточек на столе?
в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

Найди корни уравнения $\sqrt{4x+5}=-x$.

Запиши в поле ответа верное число. Если корней несколько, укажи их в порядке возрастания через запятую, пробел при этом не ставь.

Вероятность того, что при стрельбе по мишени спортсмен выбьет больше $8$ очков за одну попытку, равна $0{,}62$. Вероятность того, что он выбьет больше $6$ очков, равна $0{,}89$. Найдите вероятность того, что спортсмен выбьет ровно $7$ или $8$ очков. 

Запиши в поле ответа верное число.

Найди значение выражения $\dfrac{18}{25} \cdot \log_{27} \sqrt[3]{81}$.

Площадь параллелограмма $MNKP$ равна $6$. Точка $F$ лежит на стороне $MP$ так, что $MF:FP=1:2$. Найди площадь трапеции $FNKP$.

При стрельбе из лука начальная скорость полёта стрелы $v_0$ (в м/с) и дальность полёта $L$ (в метрах) связаны формулой: $L = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}$, где $g = 10$ м/с$^2$ — ускорение свободного падения, а $\alpha$ — угол вылета стрелы по отношению к горизонту (в градусах). Найди начальную скорость $v_0$, если $L = 26{,}45$ м, а $\alpha = 15^\circ$.

Векторы $\overrightarrow{a}(8; -5)$ и $\overrightarrow{b}(-4; k)$ перпендикулярны. Найди значение $k$.