В августе со 2 по 15-е число 2026 года планируется взять кредит на \(1200\) тысяч рублей. Условия его возврата таковы: — первого числа каждого месяца долг увеличивается на \(1\%\); — со 2 по 15 числа каждого месяца, на протяжении следующих десяти месяцев, долг должен уменьшаться на одну и ту же величину по сравнению с предыдущим месяцем; — на одиннадцатый месяц перед начислением процентов долг будет составлять \(400\) тыс. руб., после чего он погашается одним платежом. Чему равна общая сумма выплат?

\(S\) - кредит Долг за 11 месяцев уменьшился на: \(1200-400=800~тысяч~рублей\) Так как долг уменьшается на одну и ту же величину каждый месяц, то найдем насколько: \(\frac{800}{10}=80~тысяч~рублей\) Долг каждый месяц: 1 месяц | \(S\) 2 месяц | \(S-80\) 3 месяц | \(S-2\cdot 80\) 4 месяц | \(S-3\cdot 80\) 5 месяц | \(S-4\cdot 80\) 6 месяц | \(S-5\cdot 80\) 7 месяц | \(S-6\cdot 80\) 8 месяц | \(S-7\cdot 80\) 9 месяц | \(S-8\cdot 80\) 10 месяц | \(S-9\cdot 80\) 11 месяц | \(S-10\cdot 80\) \(S+S\cdot 0,01+(S-80)\cdot 0,01+(S-2\cdot 80)\cdot 0,01+…+(S-10\cdot 80)\cdot 0,01=\\ =S+0,01(S+(S-80)+(S-2\cdot 80)+…+(S-10\cdot 80))\) Заметим, что в скобках заключена арифметическая прогрессия, где \(a_{1} = S, a_{n} = S - 10 \cdot 80, n = 11 \Rightarrow\) \(S+0,01\left(\frac{S+S-10\cdot 80}{2}\cdot 11\right)=\\ =S+0,01(S-400)\cdot 11=S+0,11S-44=1,11S-44\\ 1,11\cdot 1200-44=1288~тыс.рублей\) Ответ: 1288

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?

\(S\) - сумма кредита \(r=3\) (увеличение долга в \(\%\)) \(\frac{r}{100}=k\) \(\cdot k\) начисление \(\%\) \(n\) - количество месяцев \(n=21\) \(A=1604\) тыс. руб. \(A\) - общая сумма выплат С \(1\)-го по \(20\)-й долг уменьшается на \(30\) тыс. Тогда: \(1604=S+S\cdot k+(S-30)\cdot k+(S-2\cdot 30)\cdot k+…+(S-20\cdot 30)\cdot k\\ 1604=S+k\cdot (S+S-30+S-2\cdot 30+…+S-20\cdot 30)\) Арифметическая прогрессия: \(S+S-30+S-2\cdot 30+…+S-20\cdot 3\) Сумма арифметической прогрессии: \(\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\) \(1604=S+k\cdot 21\cdot\frac{S+S-20\cdot 30}{2}\\ k=0,03\) Значит: \(1604=S+0,03\cdot 21\cdot\frac{S+S-20\cdot 30}{2}\\ 1604=S+0,03\cdot 21\cdot (S-300)\\ 1604=S+0,63S-189\\ 1,63S=1793\\ S=1100~тыс. руб.\) Значит, размер кредита составлял \(1100000\) руб. Ответ: 1100000

15 января 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 900 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й (с февраля 2025 года по июль 2027 года включительно) долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15 июля 2027 года долг составит 300 тысяч рублей; — 15 августа 2027 года кредит должен быть погашен полностью. Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

За 30 месяцев долг уменьшился на \(900-300=600\) тыс. руб. Долг уменьшался каждый месяц на \(\frac{600}{30} =20\) тыс. руб. Пусть \(S\) - сумма долга, а \(S - ( n-1) \cdot 20\) - изменение долга каждый месяц, где \(n\) - номер месяца. Составим математическую модель для общей суммы выплат: \(S_{выплат} =S( долг) +все\%\\ S_{выплат} = S+S\cdot 0,02+( S-20) \cdot 0,02+( S-2\cdot 20) \cdot 0,02+( S-3\cdot 20) \cdot 0,02+( S-4\cdot 20) \cdot 0,02+\dotsc \\ +( S-30\cdot 20) \cdot 0,02\\ S_{выплат} =S+0,02(\frac{2\cdot 900-600}{2} \cdot 31)\\ S_{выплат} =S+0,02(\frac{2\cdot S-600}{2} \cdot 31) =1272\ тыс.руб.\) Ответ: 1272

Дана пирамида \(𝑆𝐴𝐵𝐶\), в которой \(𝑆𝐶=𝑆𝐵=𝐴𝐵=𝐴𝐶=\sqrt{17}\), \(𝑆𝐴=𝐵𝐶=2\sqrt{5}\). а) Докажите, что ребро \(𝑆𝐴\) перпендикулярно ребру \(𝐵𝐶\). б) Найдите расстояние между ребрами \(𝐵𝐶\) и \(𝑆𝐴\).

а) Заметим, что треугольники \(SBC\) и \(ABC\) равны (по трем сторонам). Они являются равнобедренными и имеют общее основание \(BC\). Проведем медианы \(SN\) и \(AN\) к этому основанию. Они попадут в одну точку точку \(N\), которая является серединой \(BC\) и будут являться высотами данных треугольников (так как они равнобедренные). Тем самым, прямая \(BC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости \(ASN\), а значит, и всей этой плоскости. Но тогда прямая \(BC\) перпендикулярна любой прямой плоскости \(ASN\). Значит, перпендикулярна прямой \(SA\). Ч.Т.Д. б) Построим высоту \(NM\) треугольника \(ASN\). Заметим, что \(NM\) является общим перпендикуляром прямых \(AS\) (по построению) и \(BC\), поскольку \(NM\) лежит в плоскости \(ASN\). Тогда длина \(NM\) и есть искомое расстояние между скрещивающимися прямыми \(AS\) и \(BC\). Заметим, что: \(SN=AN=\sqrt{17-5}=\sqrt{12}\)(по теореме Пифагора из треугольников \(BSN\) и \(BAC\)) Тогда треугольник \(SNA\) равнобедренный, его высота \(NM\) является также медианой, а тогда из прямоугольного треугольника \(AMN\) по теореме Пифагора находим: \(NM=\sqrt{AN^2-AM^2}=\sqrt{12-5}=\sqrt{7}\) Ответ: \(\sqrt{7}\).

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\\\begin{cases}\log_3(a-x^2)=\log_3(a-y^2)\\x^2+y^2=4x+6y\\\end{cases}\) имеет ровно два различных решения.

Напишем ограничения: \(a-x^{2} >0\), а на \(a-y^{2}\) писать не будем, поскольку сейчас приравняем подлогарифмические выражения и данное условие будет выполняться автоматически. Запишем систему: \(\begin{cases} \ \ a-x^{2} =a-y^{2}\\ \ \ \ \ \ a-x^{2} >0\\ x^{2} +y^{2} =4x+6y \end{cases}\) Выделим полные квадраты в последнем уравнении и разложим на множители первое: \(\begin{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( y-x)( y+x) =0\\ x^{2} < a\Leftrightarrow |x|< \sqrt{a} \Leftrightarrow x\in ( -\sqrt{a} ;\sqrt{a})\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( x-2)^{2} +( y-3)^{2} =13 \end{cases}\) Последнее - это уравнение окружности с центром в точке \(( 2;3)\) и радиусом равным \(\sqrt{13}\). Построим графики и заметим, что существует только \(3\) их пересечения. Обозначим их соответственно цифрами \(1,2\) и \(3\). Наши параметрические прямые, которые являются ограничениями параллельны \(Oy\). Заметим, что правее точки \((1)\) двух решений уже не будет, как и левее точки \((2)\), поэтому будем рассматривать интервал между точками \((1)\) и \((2)\) (отмечены красным на чертеже). Найдем абсциссу точки \((1)\), записав систему: \(\begin{cases} y=x\\ x^{2} +y^{2} =4x+6y \end{cases}\) решим эту систему, подставим \(y=x\) во второе уравнение: \(2x^{2} =10x\Leftrightarrow 2x( x-5) =0\), отсюда \(x=5\) и \(x=0\), видно, что \(x=0\) удовлетворяет точке \((3)\), а не точке \((1)\), значит нужная нам абсцисса равна \(5\). Подставим в наши параметрические ограничения: \(\sqrt{a} \leq 5\Rightarrow a\leq 25\), не строгий знак, потому что в условии знак строгий и при \(a=25\), решения \(x=5\) все равно не будет (что нам и нужно). Начнем искать точку \((2)\), используя аналогичную систему, только теперь для прямой \(y=-x\): \(\begin{cases} y=-x\\ x^{2} +y^{2} =4x+6y \end{cases} \Leftrightarrow 2x^{2} =-2x\Leftrightarrow 2x( x+1) =0,\) точка \(x=0\) удовлетворяет точке \((3)\), значит для точки \((2)\) подходит \(x=-1\), теперь подставим \(-\sqrt{a} 1\). Строгий знак, потому что при \(a=1\), мы потеряем второй корень, что нам не нужно. Получили, что \(a\in (1;25]\). Ответ: \(a\in ( 1;25]\).