Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Длины векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равны $9$ и $2$, а угол между ними равен $90^\circ$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$.

Длины векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равны $3$ и $5$, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$.

Длины векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равны $7$ и $3$, а угол между ними равен $0^\circ$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$.

Длины векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равны $5$ и $8$, а угол между ними равен $180^\circ$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(1{,}5;-2)$ и $\overrightarrow{b}(2;1)$. Найдите скалярное произведение векторов $2\overrightarrow{a}$ и $3\overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(2{,}5;1)$ и $\overrightarrow{b}(-1;3)$. Найдите скалярное произведение векторов $4\overrightarrow{a}$ и $2\overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(-1{,}2;4)$ и $\overrightarrow{b}(5;0{,}5)$. Найдите скалярное произведение векторов $3\overrightarrow{a}$ и $2\overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(0{,}5;-3)$ и $\overrightarrow{b}(4;-1{,}5)$. Найдите скалярное произведение векторов $5\overrightarrow{a}$ и $2\overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(3;-2{,}5)$ и $\overrightarrow{b}(1{,}5;2)$. Найдите скалярное произведение векторов $2\overrightarrow{a}$ и $4\overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(-2;1{,}5)$ и $\overrightarrow{b}(2{,}5;1)$. Найдите скалярное произведение векторов $3\overrightarrow{a}$ и $5\overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(1{,}25;-2)$ и $\overrightarrow{b}(4;1{,}5)$. Найдите скалярное произведение векторов $4\overrightarrow{a}$ и $2\overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(2{,}2;-1)$ и $\overrightarrow{b}(-0{,}5;3)$. Найдите скалярное произведение векторов $5\overrightarrow{a}$ и $2\overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(1;2)$ и $\overrightarrow{b}(3;-1)$. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ и $4\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(2;-1)$ и $\overrightarrow{b}(-1;3)$. Найдите скалярное произведение векторов $2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ и $3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(3;1)$ и $\overrightarrow{b}(1;-2)$. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$ и $2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(-1;2)$ и $\overrightarrow{b}(4;1)$. Найдите скалярное произведение векторов $3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(2;3)$ и $\overrightarrow{b}(-2;1)$. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ и $5\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(1;-3)$ и $\overrightarrow{b}(2;4)$. Найдите скалярное произведение векторов $2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(-2;1)$ и $\overrightarrow{b}(3;2)$. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$ и $4\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(4;-1)$ и $\overrightarrow{b}(1;2)$. Найдите скалярное произведение векторов $2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$.

На столе лежит $N$ монет по $2$ рубля и $(1200-N )$ монет по $5$ рублей ($N$ – натуральное число от $1$ до $1199$). Оказалось, что если взять любые $500$ монет, то сумма денег, набранная этими монетами, будет не меньше четверти от общей суммы денег на столе.
а) Может ли $N$ равняться $400$?
б) Может ли $N$ равняться $600$?
в) Сколько различных значений может принимать число $N$?

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-32$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $5$, а на всех красных – на $8$. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным $1$?
б) Может ли количество синих карт быть равным $40$?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $5$, а на карточках красного цвета написаны различные числа, делящиеся на $3$ (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-30$. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно утроенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно одна синяя карточка?
б) Может ли на столе лежать ровно $40$ синих карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может лежать на столе?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $5$, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше
$-40$. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно одна синяя карточка?
б) Может ли на столе лежать ровно $30$ синих карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может лежать на столе?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на \(5\), а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше \(-120\). Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.

а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек?

б) Может ли число красных карточек на столе быть на \(90\) больше числа синих карточек на столе?

в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?