Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В июле 2025 года планируется взять кредит на 600 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на $r$% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2031 года долг должен быть полностью погашен.
Чему равно $r$, если общая сумма выплат составит 930 тысяч рублей?

В июле 2016 года планируется взять кредит в размере $6,6$ млн. руб. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года.
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.
— в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным $6,6$ млн. руб.
— суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.
Найдите $r$, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят $12,6$ млн. рублей.

$15$-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму $1100$ тысяч рублей на $31$ месяц. Условия его возврата таковы:
— $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $2 \%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— $15$-го числа каждого месяца с $1$-го по $30$-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца;
— к $15$-му числу $31$-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какой долг будет $15$-го числа $30$-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит $1503$ тысячи рублей?

Две окружности касаются внешним образом в точке $K$. Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A$, а второй – в точке $B$. Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D$, прямая $AK$ пересекает вторую окружность в точке $C$.

а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.

б) Найдите площадь треугольника $AKB$, если известно, что радиусы окружностей равны $4$ и $1$.

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N \ -$ середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$.

а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK = 1, \ KC = 3$.