а) Решите уравнение: $\cos^2x+\sin x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]$.

а) По формуле синуса суммы углов: $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha$ $\cos^2x+\sin x=\sqrt{2}\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}\cos x\right)\\ \cos^2x+\sin x=\sqrt{2}\left(\sin x\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)\\ \cos^2x+\sin x=\sin x+\cos x\\ \cos^2x-\cos x=0\Leftrightarrow\cos x(\cos x-1)=0\\ \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \cos x=0\\ \cos x=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\frac{\pi }{2} +\pi k\\ x=2\pi k \end{array} \right. ,k\in Z$ б) Отберем корни на промежутке $\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]$ с помощью тригонометрической окружности: Нам подходят корни: $-4\pi;-\frac{7\pi}{2};-\frac{5\pi}{2}$ Ответ: а) {$2\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k:k\in Z$}, б) $-4\pi;-\frac{7\pi}{2};-\frac{5\pi}{2}$.

Решите неравенство: $\log_\frac{1}{3}((4-x)(x^2+29))\leq \log_\frac{1}{3}(x^2-10x+24)+\log_\frac{1}{3}(7-x)$.

Ограничения: $\displaystyle \begin{cases} ( 4-x)\left( x^{2} +29\right) >0\\ \ \ x^{2} -10x+24 >0\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 7-x >0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \ \ x 6 \end{array} \right.\\ \ \ x 0$, то можно сократить на $x^2+29$: $4-x>0\Rightarrow x 0\Rightarrow ( x-6)( x-4) >0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x 6 \end{array} \right.$ Выведем все точки на прямую: Получаем: $x\in (-\infty ;4)\\ \log_\frac{1}{3}((4-x)(x^2+29))\leq \log_\frac{1}{3}((x^2-10x+24)(7-x))$ Так как логарифм по основанию $\frac{1}{3}$ – монотонно убывающая функция, то при отбрасывании логарифмов, знак неравенства меняется на противоположный: $(4-x)(x^2+29)\geq (x^2-10x+24)(7-x)\\ (4-x)(x^2+29)\geq (x-4)(x-6)(7-x)\\ (4-x)(x^2+29)\geq (4-x)(x-6)(x-7)$ При $x 0$, поэтому можем сократить на $4-x$ без смены знака: $x^2+29\geq (x-6)(x-7)\\ x^2+29\geq x^2-13x+42\\ 13x\geq 13\\ x\geq 1$ Учитывая ограничения, получаем: $x\in [1;4)$ Ответ: $x\in [1;4)$.

Решите неравенство: $\dfrac{6^x-4\cdot 3^x}{x\cdot 2^x-5\cdot 2^x-4x+20}\leq \dfrac{1}{x-5}$

$\dfrac{2^x\cdot 3^x-4\cdot 3^x}{x\cdot 2^x-5\cdot 2^x-4x+20}-\dfrac{1}{x-5}\leq 0\\ \dfrac{3^x(2^x-4)}{2^x(x-5)-4(x-5)}-\dfrac{1}{x-5}\leq 0\\ \dfrac{3^x(2^x-2^2)}{(x-5)(2^x-2^2)}-\dfrac{1}{x-5}\leq 0$ Ограничение для сокращения дроби: $2^x-2^2\neq 0\Rightarrow 2^x\neq 2^2\Rightarrow x\neq 2\\ \dfrac{3^x}{x-5}-\dfrac{1}{x-5}\leq 0\\ \dfrac{3^x-1}{x-5}\leq 0$ Учитывая, что $x\neq 2$ из ограничения, получаем: $x\in [0;2)\cup (2;5)$. Ответ: $[0;2)\cup (2;5)$.

Решите неравенство $\dfrac{2\cdot 3^{2x+1}-7\cdot 6^x+2\cdot 4^x}{3\cdot 9^x-3^x\cdot 2^{x+1}}-1\leq 0$.

$\dfrac{2\cdot 3^{2x+1}-7\cdot 6^x+2\cdot 4^x}{3\cdot 9^x-3^x\cdot 2^{x+1}}\leq 1$ $\dfrac{6\cdot 3^{2x}-7\cdot 3^x\cdot 2^x+2\cdot 2^{2x}-(3\cdot 3^{2x}-2\cdot 3^x\cdot 2^x)}{3\cdot 3^{2x}-2\cdot 3^x\cdot 2^x}\leq 0$ $\dfrac{3\cdot 3^{2x}-5\cdot 3^x\cdot 2^x+2\cdot 2^{2x}}{3\cdot 3^{2x}-2\cdot 3^x\cdot 2^x}\leq 0$ $\dfrac{2^{2x}\left(3\cdot \frac{3^{2x}}{2^{2x}}-5\cdot\dfrac{3^{x}}{2^{x}}+2\right)}{2^{2x}\left(3\cdot \frac{3^{2x}}{2^{2x}}-2\cdot\dfrac{3^{x}}{2^{x}}\right)}\leq 0$ Пусть $\dfrac{3^{x}}{2^{x}}=k$, тогда: $\dfrac{3k^2-5k+2}{3k^2-2k}\leq 0$ $\dfrac{3k^2-5k+2}{k(3k-2)}\leq 0$ $\dfrac{(3k-2)(k-1)}{k(3k-2)}\leq 0$ Получим: $\displaystyle \left[ \begin{array}{l} 0< k< \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} < k\leq 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 0< \left(\frac{3}{2}\right)^x < \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} < \left(\frac{3}{2}\right)^x \leq 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \left(\frac{3}{2}\right)^x < \left(\frac{3}{2}\right)^{-1} \\ \left(\frac{3}{2}\right)^{-1} < \left(\frac{3}{2}\right)^x \leq \left(\frac{3}{2}\right)^{0} \end{array} \right. \\\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x < -1 \\ -1 < x \leq 0 \end{array} \right. \Rightarrow x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0]$ Ответ: $( -\infty ;-1)\cup ( -1;0]$

Решите неравенство: $(9^x-2\cdot 3^x)^2-62(9^x-2\cdot 3^x)-63\geq 0$.

Пусть $k=9^x-2\cdot 3^x$, тогда: $k^2-62k-63\geq 0\\ (k-63)(k+1)\geq 0$ $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} k\leq -1\\ k\geq 63 \end{array} \right.$ Сделаем обратную замену: $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} 9^{x} -2\cdotp 3^{x} \leq -1\\ \ 9^{x} -2\cdotp 3^{x} \geq 63 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \ 3^{2x} -2\cdotp 3^{x} +1\leq 0\\ 3^{2x} -2\cdotp 3^{x} -63\geq 0 \end{array} \right.$ Сделаем замену: $t=3^x$ $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \ t^{2} -2t+1\leq 0\\ t^{2} -2t-63\geq 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \ \ \ \ ( t-1)^{2} \leq 0\\ ( t-9)( t+7) \geq 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} \ t=1\\ t\leq -7\\ \ t\geq 9 \end{array} \right.$ Сделаем обратную замену: $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \ \ 3^{x} =1\\ 3^{x} \leq -7\\ \ \ 3^{x} \geq 9 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=0\\ \ \ \ \emptyset \\ x\geq 2 \end{array} \right.$ Значит: $x\in${$0$}$\cup [2;+\infty )$. Ответ: {$0$}$\cup [2;+\infty )$.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 143 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 120892 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение: $\cos^2x+\sin x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right]$ .
id 121262 балла
Логарифмические неравенства
Решите неравенство: $\log_\frac{1}{3}((4-x)(x^2+29))\leq \log_\frac{1}{3}(x^2-10x+24)+\log_\frac{1}{3}(7-x)$ .
id 121322 балла
Смешанные неравенства
Решите неравенство: $\dfrac{6^x-4\cdot 3^x}{x\cdot 2^x-5\cdot 2^x-4x+20}\leq \dfrac{1}{x-5}$
id 121372 балла
Показательные неравенства
Решите неравенство $\dfrac{2\cdot 3^{2x+1}-7\cdot 6^x+2\cdot 4^x}{3\cdot 9^x-3^x\cdot 2^{x+1}}-1\leq 0$ .
id 121412 балла
Показательные неравенства
Решите неравенство:
$(9^x-2\cdot 3^x)^2-62(9^x-2\cdot 3^x)-63\geq 0$ .