а) Решите уравнение: $2\sin^{2} x+\sqrt{2}\sin( x+\frac{\pi }{4}) =\cos x$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ -2\pi ;-\frac{\pi }{2}]$.

а) Используем формулу синуса суммы: $2\sin^2x+\sqrt{2}(\sin x\cdot \cos\frac{\pi}{4}+\cos x\cdot \sin\frac{\pi}{4})=\cos x\\ 2\sin^2x+\sin x+\cos x=\cos x\\ 2\sin^2x+\sin x=0\\ \sin x(2\sin x+1)=0\\ \sin x=0~или~\sin x=-\frac{1}{2}$ $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} x=\pi k,k\in Z\\ x=-\frac{\pi }{6} +2\pi l,l\in Z\\ x=-\frac{5\pi }{6} +2\pi m,m\in Z \end{array} \right.$ б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку $[-2\pi;-\frac{\pi}{2}]$: $-\pi +\frac{\pi}{6}=-\frac{5\pi}{6}$ Нам подходят корни: $\frac{-5\pi}{6},-\pi,-2\pi$. Ответ: а) $x=\pi k,k\in Z, x=-\frac{\pi}{6}+2\pi l,l\in Z, x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m, m\in Z$; б) $\frac{-5\pi}{6},-\pi,-2\pi$.

а) Решите уравнение $2\cos x-\sqrt{3}\sin^2 x=2\cos^3 x$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{7\pi}{2};-2\pi]$.

а) $2\cos x-\sqrt{3}\sin^2x-2\cos^3x=0\\ 2\cos x(1-\cos^2x)-\sqrt{3}\sin^2x=0\\ 2\cos x\cdot \sin^2x-\sqrt{3}\sin^2x=0\\ \sin^2x(2\cos x-\sqrt{3})=0\\ \sin^2x=0~или~2\cos x-\sqrt{3}=0\\ \sin x=0~или~\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ x=\pi k,k\in Z~или~\ x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z$ б) С помощью числовой окружности отберем корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{7\pi}{2};-2\pi ]$. Корни, которые удовлетворяют уравнению: $-3\pi,\frac{-13\pi}{6},-2\pi$. Ответ: а) $x=\pi k,k\in Z,x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z$; б) $-3\pi,\frac{-13\pi}{6},-2\pi$.

а) Решите уравнение: $2\sin( x+\frac{\pi }{3}) +\cos( 2x) =\sqrt{3}\cos x+1$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ -3\pi ;-\frac{3\pi }{2}]$.

а) $2\sin x\cos\frac{\pi }{3} +2\sin\frac{\pi }{3}\cos x+\cos( 2x) =\sqrt{3}\cos x+1\\ \sin x+\sqrt{3}\cos x+\cos 2x=\sqrt{3}\cos x+1\\ \sin x+1-2\sin^{2} x=1\\ \sin x-2\sin^{2} x=0\\ \sin x( 1-2\sin x) =0\\ \left[ \begin{array}{l l} \sin x=0\\ \sin x=\frac{1}{2} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\frac{5\pi }{6} +2\pi n\\ x=\pi n,n\in Z\\ x=\frac{\pi }{6} +2\pi n \end{array} \right.$ б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку: $[ -3\pi ;-\frac{3\pi }{2}]$. Получим числа: $-3\pi; -2\pi; -\frac{11\pi}{6}$. Ответ: а) $x=\pi n, n∈Z; \frac{\pi}{6}+2\pi k, k∈Z; \frac{5\pi}{6}+2\pi m, m∈Z$; б) $-3\pi ; -2\pi ; -\frac{11\pi }{6}$.

а) Решите уравнение: $2\cos 2x+4\sqrt{3}\cos x-7=0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{5\pi }{2} ;4\pi ]$.

а) $2(2\cos^2x-1)+4\sqrt{3}\cos x-7=0$ $\\ 4\cos^2x+4\sqrt{3}\cos x-9=0$ Решаем полученное квадратное уравнение относительно $\cos{x}$: $D=16\cdot 3+4\cdot 9\cdot 4=192\\ \cos x=\frac{-4\sqrt{3}+8\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ или\ \cos x=\frac{-4\sqrt{3}-8\sqrt{3}}{8}=\frac{-3\sqrt{3}}{2}\ (\frac{-3\sqrt{3}}{2} Ø)\\ \ x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n, n\in Z$ б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку $[\frac{5\pi }{2} ;4\pi ]$: $4\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{23\pi}{6}$ Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z$; б) $\frac{23\pi}{6}$.

а) Решите уравнение: $2\cos^2(\frac{3\pi}{2}+x)+\sqrt{3}\sin x=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]$.

а) По формуле приведения $\cos(\frac{3\pi}{2}+x)=\sin x$ $2\sin^2x+\sqrt{3}\sin x=0\\ \sin x(2\sin x+\sqrt{3})=0\\ \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \sin x=0\\ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\pi k\\ x=-\frac{\pi }{3} +2\pi k\\ x=-\frac{2\pi }{3} +2\pi k \end{array} \right. ,k\in Z$ б) Отберем корни на промежутке $\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]$ с помощью тригонометрической окружности Нам подходят корни: $3\pi;4\pi\\ 3\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{10\pi}{3}\\ 4\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{11\pi}{3}$ Ответ: а) {$\pi k;-\frac{\pi}{3}+2\pi k;-\frac{2\pi}{3}+2\pi k:k\in Z$}, б) $3\pi; \frac{10\pi}{3};\frac{11\pi}{3};4\pi$.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 142 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 120702 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение: $2\sin^{2} x+\sqrt{2}\sin( x+\frac{\pi }{4}) =\cos x$ .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ -2\pi ;-\frac{\pi }{2}]$ .
id 120712 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение $2\cos x-\sqrt{3}\sin^2 x=2\cos^3 x$ .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-\frac{7\pi}{2};-2\pi]$ .
id 120752 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение: $2\sin( x+\frac{\pi }{3}) +\cos( 2x) =\sqrt{3}\cos x+1$ .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ -3\pi ;-\frac{3\pi }{2}]$ .
id 120802 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение: $2\cos 2x+4\sqrt{3}\cos x-7=0$ .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{5\pi }{2} ;4\pi ]$ .
id 120852 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение: $2\cos^2(\frac{3\pi}{2}+x)+\sqrt{3}\sin x=0$ .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]$ .