Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений: $\begin{cases}ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0\\x^2+y=xy+x\\\end{cases}$ имеет ровно четыре различных решения.

Используем метод группировки: $x^{2} +y-xy-x=0\\ x(x-1) -y(x-1) =0\\ (x-1)(x-y) =0\\ x=1~ или~ x=y$ Пусть $x=1$, тогда мы получаем следующее уравнение: $a+ay^{2} -( 2a-5) +2ay+1=0$ оно должно иметь два корня: $ay^{2} +2ay-a+6=0$ В данном уравнении при $a=0,0=6$, этого не может быть, следовательно, $a\neq 0$. Исходя из этого условия, мы получим следующее: $D=4a^{2} -4a( 6-a) >0\\ 4a^{2} +4a^{2} -24a >0\\ 8a^{2} -24a >0\\ a^{2} -3a >0\\ a( a-3) >0\\ \left[ \begin{array}{l} a 3 \end{array} \right.$ Пусть $x=y$, тогда мы получаем следующее уравнение: $ay^{2} +ay^{2} -( 2a-5) y+2ay+1=0\\ 2ay^{2} +5y+1=0\\ D=25-4\cdotp 2a >0\\ 25-8a > 0\\ a 0$. Корни совпадают при: $y=1$, то $x=1$. Подставим это значение в первое уравнение, чтобы исключить все получаемые $a$: $a+a-( 2a-5) +2a+1=0\\ 2a+6=0\\ a=-3-исключаем$ Отмечаем все полученные значения на числовой прямой: Получаем промежутки $( -\infty ; -3) \cup ( -3;0) \cup ( 3;\frac{25}{8})$. Ответ: $( -\infty ; -3) \cup ( -3;0) \cup ( 3;\frac{25}{8})$.

а) Решите уравнение $2\cos^3 x-\cos^2 x+2\cos x-1=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi;\frac{7\pi}{2}]$.

а) $\cos^2 x(2\cos x-1)+(2\cos x-1)=0\\ (2\cos x-1)(\cos^2x+1)=0\\ \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} 2\cos x-1=0\\ \cos^{2}x +1=0 \end{array} \right.\\ \cos^2x+1=0 -не~имеет~решений\\ \cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,k\in Z$ б) Отберем корни на промежутке $[2\pi;\frac{7\pi}{2}]$ с помощью тригонометрической окружности Нам подходит корень: $2\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{3}$ Ответ: {$\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k:k\in Z$}, б) $\frac{7\pi}{3}$

а) Решите уравнение: $2\sqrt{3}\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\cos 2x=3\cos x-1$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$.

а) По формуле синуса суммы углов: $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha$ $2\sqrt{3}\sin\left(\sin x\cos\frac{\pi}{3}+\sin\frac{\pi}{3}\cos x\right)-\cos 2x=3\cos x-1\\ 2\sqrt{3}\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)-\cos 2x=3\cos x-1\\ \sqrt{3}\sin x+3\cos x-\cos 2x=3\cos x-1$ По формуле косинуса двойного угла: $\cos 2x=1-2\sin^2x$ $\sqrt{3}\sin x-1+2\sin^2x=-1\\ 2\sin^2x+\sqrt{3}\sin x=0\Leftrightarrow\sin x(2\sin x+\sqrt{3})=0\\ \displaystyle \left[ \begin{array}{l l} \sin x=0\\ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=\pi k\\ x=-\frac{2\pi }{3} +2\pi k\\ x=-\frac{\pi }{3} +2\pi k \end{array} \right. ,k\in Z$ б) Отберем корни на промежутке $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$ с помощью тригонометрической окружности Нам подходят корни: $2\pi;3\pi\\ 3\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{10\pi}{3}$ Ответ: а) {$\pi k;-\frac{2\pi}{3}+2\pi k;-\frac{\pi}{3}+2\pi k:k\in Z$}, б) $2\pi;3\pi;\frac{10\pi}{3}$.

а) Решите уравнение $\left(\frac{2}{5}\right)^{\cos x}+\left(\frac{5}{2}\right)^{\cos x}=2$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]$.

а) $\left(\frac{2}{5}\right)^{\cos x}+\left(\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\right)^{\cos x}=2\\ \left(\frac{2}{5}\right)^{\cos x}+\left(\frac{2}{5}\right)^{-\cos x}=2$ Замена $\left(\frac{2}{5}\right)^{\cos x}=t,t>0$ $t+\frac{1}{t}=2\Leftrightarrow\frac{t^2+1-2t}{t}=0\Leftrightarrow\displaystyle \begin{cases} t=1\\ t\neq 0 \end{cases}\\ \left(\frac{2}{5}\right)^{\cos x}=1\Leftrightarrow\left(\frac{2}{5}\right)^{\cos x}=\left(\frac{2}{5}\right)^0\\ \cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k,k\in Z$ б) Отберем корни на промежутке $\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]$ с помощью тригонометрической окружности Нам подходят корни: $-\frac{3\pi}{2}\\ -\frac{3\pi}{2}-\pi=-\frac{5\pi}{2}$ Ответ: а) {$\frac{\pi}{2}+\pi k:k\in Z$}, б) $-\frac{5\pi}{2};-\frac{3\pi}{2}$.

а) Решите уравнение: $\sin 2x+\sqrt{2}\sin x=2\cos x+\sqrt{2}$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ \pi ;\frac{5\pi }{2}]$.

а) $\sin 2x+\sqrt{2}\sin x=2\cos x+\sqrt{2}$ Используем формулу синуса двойного угла: $2\sin x\cos x+\sqrt{2}\sin x=2\cos x+\sqrt{2}\\ \sin x(2\cos x+\sqrt{2})-(2\cos x+\sqrt{2})=0\\ (2\cos x+\sqrt{2})(\sin x-1)=0\\ \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin x=1$ $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} x=\pm \frac{3\pi }{4} +2\pi n,n\in Z\\ x=\frac{\pi }{2} +2\pi k,k\in Z \end{array} \right.$ б) Отберем корни на промежутке $[ \pi ;\frac{5\pi }{2}]$ с помощью тригонометрической окружности: Получим числа: $\frac{5\pi}{2};\\ \pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$ Ответ: а) ${\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,n\in Z, \frac{\pi}{2}+2\pi k,k\in Z}$; б) $\frac{5\pi}{2};\frac{5\pi}{4}$.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 141 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 76744 балла
Уравнения и системы уравнений с параметром
Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система уравнений:
$\begin{cases}ax^2+ay^2-(2a-5)x+2ay+1=0\\x^2+y=xy+x\\\end{cases}$
имеет ровно четыре различных решения.
id 120562 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение $2\cos^3 x-\cos^2 x+2\cos x-1=0$ .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2\pi;\frac{7\pi}{2}]$ .
id 120572 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение: $2\sqrt{3}\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\cos 2x=3\cos x-1$ .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]$ .
id 120612 балла
Показательные уравнения, сводящиеся к тригонометрическим
а) Решите уравнение $\left(\frac{2}{5}\right)^{\cos x}+\left(\frac{5}{2}\right)^{\cos x}=2$ .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]$ .
id 120652 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение: $\sin 2x+\sqrt{2}\sin x=2\cos x+\sqrt{2}$ .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ \pi ;\frac{5\pi }{2}]$ .