Решите неравенство: \(\dfrac{2\cdot 3^x-10\cdot 3^{2-x}}{3^x-3^{2-x}}\geq 1\).

Преобразуем: \(\frac{2\cdot 3^x-\frac{90}{3^x}}{3^x-\frac{9}{3^x}}-1\geq 0\) Замена: \(3^x=t\) \(\frac{2t-\frac{90}{t}}{t-\frac{9}{t}}-1\geq 0\) Запишем в виде: \(\frac{2t^2-90}{t}:\frac{t^2-9}{t}-1\geq 0\\ \frac{2t^2-90}{t}\cdot\frac{t}{t^2-9}-1\geq 0\) Сократим на \(t\), т. к. \(t=3^x>0\) \(\frac{2t^2-90}{t^2-9}-1\geq 0\\ \frac{2t^2-90-t^2+9}{t^2-9}\geq 0\\ \frac{t^2-81}{t^2-9}\geq 0\\ \frac{(t-9)(t+9)}{(t-3)(t+3)}\geq 0\) \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} t\leq -9\\ \begin{cases} t >-3\\ t 0\), то: \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} 0< t< 3\\ t\geq 9 \end{array} \right.\) Вернемся к замене: \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} 3^{x} < 3^{1}\\ 3^{x} \geq 3^{2} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l} x< 1\\ x\geq 2 \end{array} \right.\) Ответ: \(x\in (-\infty;1)\cup [2;+\infty)\).

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 700 тысяч рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года, необходимо выплатить одним платежом часть долга; - выплаты в 2027 и 2028 годах должны быть по 400 тысяч рублей; - к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Найдите сумму всех платежей после погашения кредита.

В январе 2027 года сумма долга станет \(1,2\cdot 700=840\) тысяч рублей. В июле 2027 года задолженность составит \(840-400=440\) тысяч рублей. В январе 2028 года долг будет равен \(1,2\cdot 440=528\) тысяч рублей. В июле 2028 года долг будет \(528-400=128\) тысяч рублей. В январе 2029 года задолженность составит \(1,2\cdot 128=153,6\) тысяч рублей. Так как после платежа на июль 2029 года сумма долга должна быть выплачена полностью, последний платеж и составит \(153,6\) тысяч рублей. Значит, общая сумма платежей равняется \(400+400+153,6=953,6\) тысяч рублей. Ответ: 953,6

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 800 тысяч рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года, необходимо выплатить одним платежом часть долга; - выплаты в 2027 и 2028 годах должны быть равны; - к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что платеж в 2029 году составит 833,8 тысяч рублей. Сколько рублей составит платеж в 2027 году?

Пусть платежи в 2027 и 2028 годах составят \(x\) тысяч рублей. В январе каждого года сумма долга увеличивается в \(1,1\) раза по сравнению с концом предыдущего. С учетом того, что первые два платежа составляли \(x\) тысяч рублей, третий - \(833,8\), после чего долг был выплачен полностью, составим математическую модель задачи: \(1,1(1,1(1,1\cdot 800-x)-x)-833,8=0\\ (1,21\cdot 800-1,1x-x)=758\\ x=\frac{1,21\cdot 800-758}{2,1}=100\) Ответ: 100

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 700 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы: — в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года; — в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью. Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Пусть \(S=700\) тыс. руб. - сумма долга, тогда сумма выплат \(( S_{выплат}) S_{выплат} =S+ все\%\) Долг уменьшается каждый год на 0,1, так как кредит взяли на 10 лет. Составим математическую модель, учитывая, что в первые пять лет было \(19\%\), а в последние - \(16\%\): \(S_{выплат} =S+0,19\cdot S+0,19\cdot 0,9\cdot S+0,19\cdot 0,8\cdot S+0,19\cdot 0,7\cdot S+0,19\cdot 0,6\cdot S+0,16\cdot \\ \cdot 0,5\cdot S+0,16\cdot 0,4\cdot S+0,16\cdot 0,3\cdot S+0,16\cdot 0,2\cdot S+0,16\cdot 0,1\cdot S\) \(S_{выплат} =S+0,19\cdot ( S+0,9\cdot S+0,8\cdot S+0,7\cdot S+0,6\cdot S) +0,16\cdot ( 0,5\cdot S+0,4\cdot S+0,3\cdot S+\\ +0,2\cdot S+0,1\cdot S) =S+0,19\cdot (\frac{S+0,65}{2} \cdot 5) +0,16(\frac{0,5\cdot S+0,1\cdot S}{2} \cdot 5) =S+0,19\cdot 4\cdot S+\\ +0,16\cdot 1,5\cdot S=2\cdot S\\ S_{выплат} =2\cdot 700=1400\ тыс.руб.\) Ответ: 1400.

В июле 2020 года планируется взять кредит сроком на 5 лет в размере \(630\) тыс. рублей. Условия возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на \(r\%\) по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга; — в июле 2021, 2022 и 2023 годов долг остается равным \(630\) тыс. руб.; — суммы выплат 2024 и 2025 годов равны. Найдите \(r\), если в 2025 году долг будет полностью выплачен и общие выплаты составят \(915\) тыс. рублей.

Первые три года платим только проценты. Каждый год выплачиваем \(630\cdot\frac{r}{100}\), тогда за 3 года получим: \(3\cdot 630\cdot\frac{r}{100}\) Составим математическую модель для суммы долга в последние 2 года: 1 год: \(630\cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)-x\) 2 год: \(\left(630\cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)-x\right)\cdot\left(1+\frac{r}{100}\right)-x=0\) Пусть \(1+\frac{r}{100}=k,k>0\). Тогда: \(630k^2-kx-x=0~(1)\) Общие выплаты — сумма выплат за первые 3 года и сумма выплат за последние 2 года. \(2x+3\cdot 630(k-1)=915~(2)\) Решим систему (1), (2): \(\begin{cases} 630k^{2} -kx-x=0\\ 2x+3\cdot 630( k-1) =915 \end{cases}\\ \begin{cases} 630k^{2} =x( k+1)\\ 2x+3\cdot 630( k-1) =915 \end{cases}\\ \begin{cases} x=\frac{630k^{2}}{k+1}\\ 2\cdot \frac{630k^{2}}{k+1} +3\cdot 630( k-1) = 915 \end{cases}\) Тогда: \(2\cdot 630k^2+3\cdot 630(k^2-1)-915(k+1)=0|:15\\ 2\cdot 42k^2+3\cdot 42(k^2-1)-61(k+1)=0\\ 2\cdot 42k^2+3\cdot 42k^2-3\cdot 42-61k-61=0\\ 5\cdot 42k^2-61k-187=0\\ D=61^2+4\cdot 5\cdot 42\cdot 187=3721+157080=160801=401^2\\ k_1=\frac{61-401}{420} 0\). \(k_2=\frac{61+401}{420}=\frac{462}{420}=\frac{11}{10}=1,1\\ k=1,1=1+\frac{r}{100}\\ r=100(1,1-1)=10\) Ответ: 10.