15 декабря 2024 года планируется взять кредит в банке на 31 месяц. Условия возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 30-й (с января 2025 года по июнь 2027 года включительно) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15 июня 2027 года долг составит 100 тысяч рублей; — 15 июля 2027 года долг должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 555 тысяч рублей?

\(S\) - сумма, взятая в кредит \(n = 31\) - кол-во месяцев \(x\) - сумма ежемесячного платежа Тогда каждый месяц мы выплачиваем проценты, которые были начислены на текущую сумму, и \(x \Rightarrow\) \(555=S+все \% \\ 555=S+0,02S+0,02( S-x) +0,02( S-2x) +\cdots +0,02( S-30x)\\ 555=S+0,02( S+S-x+S+S-2x+\cdots +S-30x)\) Заметим, что в скобках заключена арифметическая прогрессия, где \(a_{1} = S, a_{n} = S - 30x, n = 31 \Rightarrow\) \(555=S+0,02(\frac{S+S-30x}{2}) \cdot 31\) \(S - 30x\) - сумма, которая останется в последний месяц \(\Rightarrow\) она равна \(100\) \(555=S+0,02(\frac{S+100}{2}) \cdot 31\\ 555=S+0,31S+31\\ 1,31S=524\\ S=400\) Ответ: 400

В июле \(2026\) года планируется взять кредит на пять лет в размере \(S\) тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на \(30\%\) по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июле \(2027\), \(2028\) и \(2029\) годов долг остается равным \(S\) тыс. рублей; — выплаты в \(2030\) и \(2031\) годах равны по \(338\) тыс. рублей; — к июлю \(2031\) года долг будет выплачен полностью. Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Общая сумма выплат \(=3\) раза проценты \(+ 2\cdot 338=3\cdot 0,3S+2\cdot 338= 0,9S+2\cdot 338\) \(( S\cdot 1,3-338) 1,3-338=0\\ S\cdot 1,69-338\cdot 1,3-338=0\\ S\cdot 1,69=2,3\cdot 338\\ S=\frac{338\cdot 2,3}{1,69} =460\\ 460\cdot 0,9+2\cdot 338=414+676=1090\) Ответ: \(1090\).

В июле \(2023\) года планируется взять кредит на \(10\) лет. Условия его возврата таковы: — каждый январь с \(2024\) по \(2028\) год долг возрастает на \(18\%\) по сравнению с концом предыдущего года; — каждый январь с \(2029\) по \(2033\) год долг возрастает на \(16\%\) по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — к июлю \(2033\) года долг должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат по кредиту должна составить \(1470\) тысяч рублей?

Если в июле каждого года должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года, то значит, что мы ежегодно будем должны выплачивать, начисляемый процент и определенную часть долга. Обозначим сумму долга за \(S\). Тогда чтобы каждый раз тело долга уменьшалось на одну и ту же сумму выплаты на него должны быть равны \(\frac{S}{10}\), где \(10\) - срок на который берут кредит. Рассмотрим, как будет выглядеть долг: \(2024\) | \(2025\) | \(2026\) | \(2027\) | \(2028\) | \(2029\) | \(2030\) | \(2031\) | \(2032\) | \(2033\) \(S\) | \(\frac{9S}{10}\) | \(\frac{8S}{10}\) | \(\frac{7S}{10}\) | \(\frac{6S}{10}\) | \(\frac{5S}{10}\) | \(\frac{4S}{10}\) | \(\frac{3S}{10}\) | \(\frac{2S}{10}\) | \(\frac{S}{10}\) За время погашения кредита мы выплатим сумму кредита и все проценты, которые начислял банк. Вспомним, что — каждый январь с \(2024\) по \(2028\) год долг возрастает на \(18\%\) по сравнению с концом предыдущего года; — каждый январь с \(2029\) по \(2033\) год долг возрастает на \(16\%\) по сравнению с концом предыдущего года; Тогда выплаты составлят: \(S+\frac{18}{100}\cdot\left(S+\frac{9S}{10}+\frac{8S}{10}+\frac{7S}{10}+\frac{6S}{10}\right)+\frac{16}{100}\cdot\left(\frac{5S}{10}+\frac{4S}{10}+\frac{3S}{10}+\frac{2S}{10}+\frac{1S}{10}\right)=1470\\ S+\frac{18S}{100}\left(1+\frac{9}{10}+\frac{8}{10}+\frac{7}{10}+\frac{6}{10}\right)+\frac{16S}{100}\cdot\left(\frac{5}{10}+\frac{4}{10}+\frac{3}{10}+\frac{2}{10}+\frac{1}{10}\right)=1470\\ S+\frac{18S}{100}\cdot\left(\frac{1+\frac{3}{5}}{2}\cdot 5\right)+\frac{16S}{100}\cdot\left(\frac{\frac{5}{10}+\frac{1}{10}}{2}\cdot 5\right)=1470\\ S+\frac{18S}{100}\cdot 4+\frac{16S}{100}\cdot\frac{3}{2}=1470\Rightarrow S\left(1+\frac{18\cdot 4}{100}+\frac{8\cdot 3}{100}\right)=1470\Rightarrow S\left(\frac{100+18\cdot 4+8\cdot 3}{100}\right)=1470\\ \Rightarrow S\frac{49}{25}=1470\Rightarrow S=1470\cdot\frac{25}{49}=30\cdot 25=750~тысяч~рублей\) Ответ: 750 тысяч рублей

В июле \(2025\) года планируется взять кредит на \(600\) тыс. рублей. Условия его возврата таковы: — в январе \(2026, 2027, 2028, 2029\) и \(2030\) годов долг возрастает на \(13\%\) по сравнению с концом предыдущего года; — в январе \(2031, 2032, 2033, 2034, 2035\) годов долг возрастает на \(12\%\) по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; — к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен. Чему равна сумма всех выплат?

\(S=600\) тыс. рублей Сумма выплат равняется всему, что взяли в долг \(+\%\) Проценты \(= S_{текущая} \cdot \frac{r}{100}\). Они будут равны \(S_{текущая} \cdot \frac{13}{100}\) в 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годах и будут равны \(S_{текущая} \cdot \frac{12}{100}\) в 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годах. Т.к. долг должен быть на одну и ту же величину меньше каждый месяц, то Сумма выплат (в тысячах) равна: \(S+S\cdot 0,13+0,9S\cdot 0,13+0,8S\cdot 0,13+0,7S\cdot 0,13+0,6S\cdot 0,13+\\ +0,5S\cdot 0,12+0,4S\cdot 0,12+0,3S\cdot 0,12+0,2S\cdot 0,12+0,1S\cdot 0,12=\\ =S+0,13(S+0,9S+0,8S+0,7S+0,6S)+0,12(0,5S+0,4S+0,3S+0,2S+0,1S)=\\ =S+0,13\left(\frac{S+0,6S}{2}\cdot 5\right)+0,12\left(\frac{0,5S+0,1S}{2}\cdot 5\right)=\\ =S+0,13\cdot 4S+0,12\cdot 1,5S=S+0,52S+0,18S=1,7S\\ 600\cdot 1,7=1020~тыс.рублей\) Ответ: \(1020\)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму \(6\) млн рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на \(x\%\) по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года. Найдите \(x\), если известно, что наибольший платёж по кредиту составит не более \(1,9\) млн рублей, а наименьший — не менее \(0,5\) млн рублей.

Ежегодно долг будет уменьшаться на: \(\frac{S}{n}=\frac{6}{15}=0,4~млн.руб.\) Наибольший платеж – это первый платеж. Состав мат. модель для первого платежа: \(0,4+6\cdot\frac{x}{100}\leq 1,9,\) где \(6\cdot\frac{x}{100}\) – сумма процентов, которые начисляются на основную сумму долга в первом месяце. \(6\cdot\frac{x}{100}\leq 1,5\\ x\leq\frac{150}{6}\\ x\leq 25\) Наименьший платеж – последний. \(0,4+0,4\cdot\frac{x}{100}\geq 0,5,\) где \(0,4\cdot\frac{x}{100}\) – сумма процентов, начисленных на основную сумму долга в последнем месяце \(0,4\cdot\frac{x}{100}\geq 0,1\\ x\geq\frac{0,1\cdot 100}{0,4}\\ x\geq 25\) Единственный подходящий \(x\) для условий \(x\leq 25\) и \(x\geq 25\) это \(25\). Ответ:\(25\)