Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $5$, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше$-80$. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно пять красных карточек?
б) Может ли на столе лежать ровно $200$ красных карточек?
в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $3$, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-60$. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно три красных карточки?
б) Может ли на столе лежать ровно $150$ красных карточек?
в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $3$, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-36$. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно одна синяя карточка?
б) Может ли на столе лежать ровно $50$ синих карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может лежать на столе?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $3$, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше
$-72$. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно одна синяя карточка?
б) Может ли на столе лежать ровно $50$ синих карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может лежать на столе?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $5$, а на карточках красного цвета написаны различные числа, делящиеся на $3$ (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-45$. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно утроенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно пять красных карточек?
б) Может ли на столе лежать ровно $100$ красных карточек?
в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?

На столе лежит $N$ монет по $2$ рубля и $1000-N$ по $5$ рублей. $N$ принимает значения от $1$ до $999$. Известно, что если взять любые $300$ монет, то их сумма составит не меньше четверти от общей суммы всех монет.
а) Может ли $N$ равняться $100$?
б) Может ли $N$ равняться $500$?
в) Сколько различных значений может принимать $N$?

На столе лежит $N$ монет по $2$ рубля и $800-N$ по $5$ рублей. $N$ может принимать значения от $1$ до $799$. Известно, что если взять любые $300$ монет, то их сумма будет составлять не меньше четверти от общей суммы.

а) Может ли $N$ равняться $200$?

б) Может ли $N$ равняться $400$?

в) Сколько различных значений может принимать $N$?

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на $2$ и уменьшают цифру в разряде единиц на $5$, либо уменьшают цифру в разряде десятков на $2$ и увеличивают цифру в разряде единиц на $2$. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на $128$ меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться $25$, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше $1198$?

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на $7$ и уменьшают цифру в разряде единиц на $6$, либо уменьшают цифру в разряде десятков на $8$ и увеличивают цифру в разряде единиц на $8$. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на $124$ меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться $50$, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и больше $3210$?

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на $4$ и уменьшают цифру в разряде единиц на $5$, либо уменьшают цифру в разряде десятков на $5$ и увеличивают цифру в разряде единиц на $5$. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на $224$ меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться $30$, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше $1801$?

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на $2$ и уменьшают цифру в разряде единиц на $4$, либо уменьшают цифру в разряде десятков на $3$ и увеличивают цифру в разряде единиц на $2$. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на $222$ меньше суммы получившихся чисел
б) Может ли количество чисел на доске равняться $32$, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое максимальное количество чисел может быть записано на доске, если разность суммы исходных чисел и суммы преобразованных была равна $0$, и сумма чисел на доске меньше $1509$?

На столе лежит $N$ монет по $5$ рублей и $1000-N$ по $2$ рубля. $N$ принимает значения от $1$ до $999$. Известно, что если взять любые $300$ монет, то их сумма составит не меньше четверти от общей суммы всех монет.
а) Может ли $N$ равняться $100$?
б) Может ли $N$ равняться $500$?
в) Сколько различных значений может принимать $N$?

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $3$, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-72$. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно четыре карточки?
б) Может ли число красных карточек на столе быть на $60$ больше числа синих карточек на столе?
в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-60$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $5$, а на всех красных – на $3$. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли общее количество карт быть равным $6$?
б) Может ли количество красных карт быть больше количества синих карт на $30$ штук?
в) Какое наибольшее количество всех карт может быть на столе?

Восемь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего $1$.
а) Может ли сумма всех восьми чисел быть равна $65$?
б) Может ли сумма всех восьми чисел быть равна $62$?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех восьми чисел?

В продуктовом магазине есть весы с двумя чашами. На одну чашу весов кладут только продукты, на другую — гири. На чашу для гирь можно положить несколько гирь. Магазину разрешено продавать только целое число килограммов продуктов.
а) Можно ли некоторым набором из пяти гирь отвесить любое целое число килограммов от $1$ до $25$?
б) Можно ли некоторым набором из четырех гирь отвесить любое целое число килограммов от $1$ до $25$?
в) Найдите наибольшее значение $n$ такое, что любой вес от $1$ до $n$ килограммов можно отвесить каким-нибудь набором из пяти гирь.

На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа $9{,}3$, $10{,}5$ и $12{,}7$ округляются до $9$, $11$ и $13$ соответственно.
а) Всего проголосовало $13$ посетителей сайта. Голоса распределились так, что рейтинг некоторого футболиста стал равным $31$. Затем Вася проголосовал за этого футболиста. Каков теперь рейтинг футболиста с учётом голоса Васи?
б) Голоса распределяют между двумя футболистами. Может ли суммарный рейтинг быть больше $100$?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен $7$. После того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста, рейтинг стал равен $9$. При каком наибольшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?

Пять различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего $1$.
а) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна $26$?
б) Может ли сумма всех пяти чисел быть равна $23$?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех пяти чисел?

Последовательность натуральных чисел $(a_n)$ состоит из $400$ членов. Каждый член последовательности, начиная со второго, либо вдвое больше предыдущего, либо на $98$ меньше предыдущего.
а) Может ли последовательность $(a_n)$ содержать ровно $5$ различных чисел?
б) Чему может равняться $a_1$, если $a_{100}=75$?
в) Какое наименьшее значение может принимать наибольший член последовательности $a_n$?

Склад представляет собой прямоугольный параллелепипед с целыми сторонами, контейнеры — прямоугольные параллелепипеды с размерами $1\times 1\times 3$ м. Контейнеры на складе можно класть как угодно, но параллельно границам склада.
а) Может ли оказаться, что полностью заполнить склад размером $120$ кубометров нельзя?
б) Может ли оказаться, что на склад объемом $100$ кубометров не удастся поместить $33$ контейнера?
в) Пусть объем склада равен $800$ кубометрам. Какой процент объема такого склада удастся гарантированно заполнить контейнерами при любой конфигурации склада?

Семь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего $1$.
а) Может ли сумма всех семи чисел быть равна $50$?
б) Может ли сумма всех семи чисел быть равна $47$?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех семи чисел?

На доске записано некоторое натуральное число $N$. Учитель по очереди вызывает учеников, которые выполняют с любым из уже записанных на доске чисел одно из следующих действий:
– умножить число на $4$;
– прибавить к числу $12$;
– если число не равно $9$, то вычеркнуть из числа цифру $9$. Затем каждый из учеников записывает новое число на доску.
а) Можно ли за несколько действий получить из числа $47$ число $2$?
б) Можно ли за несколько действий получить из числа $7$ число $77$?
в) Какое наибольшее количество чисел, меньших $2015$, может быть записано на доске, если $N=1$.

На доске записано некоторое натуральное число $N$. Учитель по очереди вызывает учеников, которые выполняют с любым из уже записанных на доске чисел одно из следующих действий:
– умножить число на $4$;
– прибавить к числу $12$;
– если число не равно $6$, то вычеркнуть из числа цифру $6$. Затем каждый из учеников записывает новое число на доску.
а) Можно ли за несколько действий получить из числа $34$ число $1$?
б) Можно ли за несколько действий получить из числа $35$ число $60$?
в) Какое наибольшее количество чисел, меньших $2000$, может быть записано на доске, если $N=1$.

Дана конечная последовательность натуральных чисел, каждое из которых не меньше $80$ и не больше $170$. Каждое следующее число либо делится на предыдущее, либо меньше предыдущего на $2$. Числа в последовательности могут повторяться.
а) Может ли быть $40$ различных чисел в последовательности?
б) Может ли быть $80$ различных чисел в последовательности?
в) Найдите наибольшее количество различных чисел последовательности.

Дана конечная последовательность натуральных чисел, каждое из которых не меньше $60$ и не больше $130$. Каждое следующее число либо делится на предыдущее, либо меньше предыдущего на $2$. Числа в последовательности могут повторяться.
а) Может ли быть $35$ различных чисел в последовательности?
б) Может ли быть $60$ различных чисел в последовательности?
в) Найдите наибольшее количество различных чисел последовательности.