Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$, пересекаются в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

а)  Докажите, что $AH  =  AO$.

б)  Найдите площадь треугольника $AHO$, если $BC=\sqrt{15}$, $\angle ABC=45^\circ$.

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$  — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$  — высота, $\angle{BAC} ={60}^{\circ}$, $\angle{BCA}={45}^{\circ}$.

а)  Докажите, что $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

б)  Найдите $A_1H$, если $BC=2\sqrt{3}$.

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 500 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года, необходимо выплатить одним платежом часть долга;

- выплаты в 2027 и 2028 годах должны быть по 100 тысяч рублей; 
- к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью. 
Найдите сумму всех платежей после погашения кредита.

Точка $M$ - середина гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к гипотенузе пересекает катет $BC$ в точке $N$.

а) Докажите, что $\angle CAN=\angle CMN$.

б) Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $ANB$ и $CBM$, если $\tg\angle BAC=\frac{4}{3}$.

На доске написано $n$ единиц, между некоторыми из которых поставили знаки + и посчитали сумму. Например, если изначально было написано $n = 12$ единиц, то могла получиться, например, такая сумма:

$1 + 11 + 11 + 111 + 11 + 1 + 1 = 147$.

а) Могла ли сумма равняться $150$, если $n =60$?

б) Могла ли сумма равняться $150$, если $n =80$?

в) Чему могло равняться $n$, если полученная сумма чисел равна $150$?