В трапеции \(ABCD\) угол \(BAD\) прямой. Окружность, построенная на большем основании \(AD\) как на диаметре, пересекает меньшее основание \(BC\) в точке \(C\) и \(M\). а) Докажите, что угол \(BAM\) равен углу \(CAD\). б) Диагонали трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). Найдите площадь треугольника \(AOB\), если \(AB = 6\), а \(BC = 4BM\).

а) \(AB\perp AD,AD\) - диаметр. Значит \(AB\) - касательная к окружности. Угол \(BAM\) - угол между касательной и хордой,\(\angle BAM=\frac{\cup AM}{2}\), угол \(CAD\) - вписанный, \(\angle CAD=\frac{\cup CD}{2}\) \(AMCD\) - вписанная трапеция, значит она равнобедренная, \(AM=CD\) Если хорды равны, то и дуги, которые их стягивают, тоже равны, \(\cup AM=\cup CD\) Итак, \(\angle BAM=\frac{\cup AM}{2},\angle CAD=\frac{\cup CD}{2},\cup AM=\cup CD\), значит \(\angle BAM=\angle CAD\), Ч.Т.Д. б) Теорема о касательной и секущей: \(AB^2=BC\cdot BM\\ 6^2=4BM\cdot BM\\ 36=4BM^2\\ BM^2=9\\ BM=3\) Тогда \(BC=12,CM=9\) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AMB\), по теореме Пифагора: \(AM^2=AB^2+BM^2\\ AM^2=6^2+3^2\\ AM=3\sqrt{5}\) \(CD=AM=3\sqrt{5}\) так как трапеция \(AMCD\) равнобедренная Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\), по теореме Пифагора: \(AC^2=AB^2+BC^2\\ AC^2=6^2+12^2=180\) Угол \(ACD\) опирается на диаметр, значит \(\angle ACD={90}^{\circ}\), треугольник \(ACD\) прямоугольный Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ACD\), по теореме Пифагора: \(AD^2=AC^2+CD^2\\ AD^2=180+45=225\\ AD=15\) \(\angle CBD=\angle BDA\), как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(BD\) \(\angle COB=\angle AOD\), как вертикальные Треугольники \(COB\) и \(AOD\) подобны по двум углам Тогда \(\frac{BO}{OD}=\frac{AD}{BC}=\frac{12}{15}\) \(\frac{BO}{OD} = \frac{12}{15}=\frac{4}{5}\\ \frac{BO}{BD}=\frac{BO}{BO+OD}=\frac{4}{4+5}=\frac{4}{9}\) У треугольников \(BOA\) и \(BAD\) высота из угла \(A\) совпадает. Значит площади этих треугольников относятся также, как \(\frac{BO}{BD}\) \(\frac{S_{BOA}}{S_{BAD}}=\frac{BO}{BD}=\frac{4}{9}\) \(S_{BAD}=\frac{1}{2}\cdot BA\cdot AD\) так как треугольник \(BAD\) прямоугольный \(S_{BAD}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 15=45\\ S_{BOA}=\frac{4}{9}\cdot S_{BAD}=\frac{4\cdot 45}{9}=20\) Ответ: 20

В июле \(2025\) года планируется кредит на десять лет в размере \(600\) тыс. руб. Условия его возврата таковы: − каждый январь долг будет возрастать на \(r\%\) по сравнению с концом предыдущего года (\(r\) — целое число); − с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга; − в июле \(2026\), \(2027\), \(2028\), \(2029\), \(2030\) годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года; − в \(2030\) долг составит \(400\) тыс. руб.; − в июле \(2031\), \(2032\), \(2033\), \(2034\), \(2035\) годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года; − к июлю \(2035\) года долг должен быть выплачен полностью. Найдите \(r\), если общая сумма выплат после полного погашения кредита будет равна \(1740\) тыс. руб.

Пусть: \(x\) — сумма, на которую уменьшается долг с \(2026\)-го по \(2030\)-й год; \(y\) — сумма, на которую уменьшается долг с \(2031\)-го по \(2035\)-й год. Все расчёты будем вести в тыс. рублей. По условию за первые пять лет долг уменьшился с \(600\) тыс. рублей (июль \(2025\)) до \(400\) тыс. рублей (июль \(2030\)), и уменьшался он ежегодно на одну и ту же сумму \(x\). Тогда: \(x=\frac{600−400}{5}=40~тыс.рублей\) За следующие пять лет долг уменьшился с \(400\) тыс. рублей (июнь \(2030\)) до \(0\) (июль \(2035\)), и уменьшался он ежегодно на одну и ту же сумму \(y\). Тогда: \(y=\frac{400}{5}=80~тыс.рублей\) Общая сумма выплат после полного погашения кредита будет состоять из суммы кредита и суммы всех выплаченных процентов. Рассмотрим, как каждый январь начисляются проценты с учётом найденных значений \(x\) и \(y\): Год | Сумма начисленных \(\%\) | Долг \(2026\) | \(600\cdot\frac{r}{100}\) | \(600-x=600-40=560\) \(2027\) | \(560\cdot\frac{r}{100}\) | \(560-x=560-40=520\) \(2028\) | \(520\cdot\frac{r}{100}\) | \(520-x=520-40=480\) \(2029\) | \(480\cdot\frac{r}{100}\) | \(480-x=480-40=440\) \(2030\) | \(440\cdot\frac{r}{100}\) | \(440-x=440-40=400\) \(2031\) | \(400\cdot\frac{r}{100}\) | \(400-y=400-80=320\) \(2032\) | \(320\cdot\frac{r}{100}\) | \(320-y=320-80=240\) \(2033\) | \(240\cdot\frac{r}{100}\) | \(240-y=240-80=160\) \(2034\) | \(160\cdot\frac{r}{100}\) | \(160-y=160-80=80\) \(2035\) | \(80\cdot\frac{r}{100}\) | \(0\) Значит, общая сумма выплат после полного погашения кредита составит: \(600+600\cdot\frac{r}{100}+560\cdot\frac{r}{100}+520\cdot\frac{r}{100}+480\cdot\frac{r}{100}+440\cdot\frac{r}{100}+400\cdot\frac{r}{100}+320\cdot\frac{r}{100}+\\ +240\cdot\frac{r}{100}+160\cdot\frac{r}{100}+80\cdot\frac{r}{100}=1740\\ \frac{r}{100}\cdot(600+560+520+480+440+400+320+240+160+80)=1740-600\\ \frac{r}{100}\cdot 3800=1140\\ 38r=1140\\ r=30\) Ответ: 30

В июле \(2025\) года планируется взять кредит в банке на сумму \(1400\) тысяч рублей на \(10\) лет. Условия его возврата таковы: − каждый январь долг возрастает на \(10\%\) по сравнению с концом предыдущего года; − с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; − в июле \(2026\), \(2027\), \(2028\), \(2029\), \(2030\) годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года; − в июле \(2031\), \(2032\), \(2033\), \(2034\), \(2035\) годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года; − к июлю \(2035\) года долг должен быть полностью погашен. Найдите платёж в \(2026\) году, если общая сумма выплат по кредиту составит \(2120\) тыс. рублей.

Пусть: \(x\) — сумма, на которую уменьшается долг с \(2026\)-го по \(2030\)-й год; \(y\) — сумма, на которую уменьшается долг с \(2031\)-го по \(2035\)-й год; \(\frac{10}{100}=0,1\) — коэффициент ежемесячного увеличения долга. Все расчёты будем вести в тыс. рублей. Общая сумма выплат по кредиту будет состоять из суммы кредита и суммы всех выплаченных процентов. Рассмотрим, как начисляются проценты в каждом году с учетом того, что по условию в июле \(2026\), \(2027\), \(2028\), \(2029\), \(2030\) годов долг должен быть на \(x\) меньше долга на июль предыдущего года, а в июле \(2031\), \(2032\), \(2033\), \(2034\), \(2035\) годов на \(y\) меньше долга на июль предыдущего года: Год | Сумма начисленных \(\%\) | Долг \(2026\) | \(1400\cdot 0,1=140\) | \(1400-x\) \(2027\) | \((1400-x)\cdot 0,1\) | \(1400-2x\) \(2028\) | \((1400-2x)\cdot 0,1\) | \(1400-3x\) \(2029\) | \((1400-3x)\cdot 0,1\) | \(1400-4x\) \(2030\) | \((1400-4x)\cdot 0,1\) | \(1400-5x\) \(2031\) | \((1400-5x)\cdot 0,1\) | \(1400-5x-y\) \(2032\) | \((1400-5x-y)\cdot 0,1\) | \(1400-5x-2y\) \(2033\) | \((1400-5x-2y)\cdot 0,1\) | \(1400-5x-3y\) \(2034\) | \((1400-5x-3y)\cdot 0,1\) | \(1400-5x-4y\) \(2035\) | \((1400-5x-4y)\cdot 0,1\) | \(1400-5x-5y=0\) По условию к июлю \(2035\) года долг должен быть полностью погашен, то есть: \(1400-5x-5y=0\\ 5x+5y=1400\\ x+y=280\\ y=280-x\) Общая сумма выплат после полного погашения кредита составит: \(1400+140+(1400-x)\cdot 0,1+(1400-2x)\cdot 0,1+(1400-3x)\cdot 0,1+(1400-4x)\cdot 0,1+\\ +(1400-5x)\cdot 0,1+(1400-5x-y)\cdot 0,1+(1400-5x-2y)\cdot 0,1+(1400-5x-3y)\cdot 0,1+\\ +(1400-5x-4y)\cdot 0,1=2120\\ 0,1\cdot (1400-x+1400-2x+1400-3x+1400-4x+1400-5x+1400-5x-y+1400-\\ -5x-2y+1400-5x-3y+1400-5x-4y)=2120-1400-140\\ 0,1\cdot (12600-35x-10y)=580\\ 1260-3,5x-y=580\\ 3,5x+y=680\\ 3,5x+280-x=680\\ 2,5x=400\\ x=160\) Платёж в \(2026\) году будет состоять из суммы величины выплаты \(x=160\) тыс. рублей и величины начисленных на сумму долга процентов \((1400\cdot 0,1)\). То есть: \(160+1400\cdot 0,1=160+140=300\) Ответ: 300 тыс. рублей

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 104 800 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Пусть \(S\) - сумма взятая в кредит, \(x\) - одна из равных выплат. Тогда за \(3\) года выплатили \(3x=S+104800\). \(S=3x-104800\) Так как на долг начисляется \(25\%\), то это значит, что он увеличивается в \(1,25\) раз январь \(2021\) долг: \(1,25S\) июль \(2021\) долг: \(1,25S-x\) январь \(2022\) долг: \(1,25(1,25S-x)\) июль \(2022\) долг: \(1,25(1,25S-x)-x\) январь \(2023\) долг: \(1,25(1,25(1,25S-x)-x)\) июль \(2023\) долг: \(1,25(1,25(1,25S-x)-x)-x\) Так как долг погашен за \(3\) равные платежа, то долг в июле \(2023\) года равен \(0\) \(1,25(1,25(1,25S-x)-x)-x=0\), представим \(1,25=\frac{5}{4}\) \(\left(\frac{5}{4}\right)^3S-\left(\frac{5}{4}\right)^2x-\frac{5}{4}x-x=0\Rightarrow \frac{125}{64}S=\frac{25}{16}x+\frac{5}{4}x+x\Rightarrow \frac{125}{64}S=\\ =\frac{25+20+16}{16}x\Rightarrow 125S=244x\\ 125(3x-104800)=244x\Rightarrow 375x-125\cdot 104800=244x\Rightarrow 131x=125\cdot 104800x=125\cdot 800=100000\) Так как было сделано \(3\) выплаты, то банку выплатили: \(3\cdot 100000=300000\) рублей. Ответ: \(300\) тыс. руб.

В июле \(2025\) года планируется взять кредит на десять лет в размере \(800\) тыс. рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на \(r\%\) по сравнению с концом предыдущего года (\(r\) – целое число); - с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга; - в июле \(2026\), \(2027\), \(2028\), \(2029\) и \(2030\) годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; - в июле \(2030\) года долг должен составить \(200\) тыс. рублей; - в июле \(2031\), \(2032\), \(2033\), \(2034\) и \(2035\) годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; - к июлю \(2035\) года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна \(1480\) тыс. рублей. Найдите \(r\).

Пусть: \(x\) - сумма, на которую уменьшается долг с \(2026\)-го по \(2030\)-й год; \(y\) - сумма, на которую уменьшается долг с \(2031\)-го по \(2035\)-й год. Все расчёты будем вести в тыс. рублей. По условию за первые пять лет долг уменьшился с \(800\) тыс. рубл. (июль \(2025\)) до \(200\) тыс. рубл. (июль \(2030\)), и уменьшался он ежегодно на одну и ту же сумму \(x\). Тогда: \(x=\frac{800-200}{5}=120~тыс.рубл.\) За следующие пять лет долг уменьшился с \(200\) тыс. рубл. (июль \(2030\)) до \(0\) (июль \(2035\)), и уменьшался он ежегодно на одну и ту же сумму \(y\). Тогда: \(y=\frac{200}{5}=40~тыс.рубл.\) Общая сумма выплат после полного погашения кредита будет состоять из начальной суммы кредита и суммы всех выплаченных процентов. Тогда сумма всех выплаченных процентов составит разницу между общей суммой выплат по кредиту и начальной суммой кредита: \(Сумма~всех~\%=1480-800=680\) Рассмотрим, как каждый январь начисляются проценты с учетом найденных значений \(x\) и \(y\): Год | Сумма начисленных процентов | Долг \(2026\) | \(800\cdot\frac{r}{100}\) | \(800-x=800-120=680\) \(2027\) | \(680\cdot\frac{r}{100}\) | \(680-x=680-120=560\) \(2028\) | \(560\cdot\frac{r}{100}\) | \(560-x=560-120=440\) \(2029\) | \(440\cdot\frac{r}{100}\) | \(440-x=440-120=320\) \(2030\) | \(320\cdot\frac{r}{100}\) | \(320-x=320-120=200\) \(2031\) | \(200\cdot\frac{r}{100}\) | \(200-y=200-40=160\) \(2032\) | \(160\cdot\frac{r}{100}\) | \(160-y=160-40=120\) \(2033\) | \(120\cdot\frac{r}{100}\) | \(120-y=120-40=80\) \(2034\) | \(80\cdot\frac{r}{100}\) | \(80-y=80-40=40\) \(2035\) | \(40\cdot\frac{r}{100}\) | \(0\) Значит, сумма всех выплаченных процентов составит: \(800\cdot\frac{r}{100}+680\cdot\frac{r}{100}+560\cdot\frac{r}{100}+440\cdot\frac{r}{100}+320\cdot\frac{r}{100}+200\cdot\frac{r}{100}+160\cdot\frac{r}{100}+\\ \\ +120\cdot\frac{r}{100}+80\cdot\frac{r}{100}+40\cdot\frac{r}{100}=680\\ \frac{r}{100}\cdot (800+680+560+440+320+200+160+120+80+40)=680\\ \frac{r}{100}\cdot 3400=680\\ 34r=680\\ r=20\) Ответ: 20