Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

а) Решите уравнение $1-\cos 2x+\sqrt3\sin x=\sqrt3-2\sin(x-\pi)$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-5\pi;\,-\dfrac{7\pi}{2}\right]$.

а) Решите уравнение $2\sqrt2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+2\cos^2x=2+\sqrt6\cos x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;\,-\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

а) Решите уравнение $2\sin^2x+\sqrt2\sin(2\pi+x)-\sqrt3\sin 2x=\sqrt6\cos x$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};\,3\pi\right]$.

а) Решите уравнение $\log_3(x^2-2x)=1$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\log_2 0{,}4;\,\log_2 5\right]$.

а) Решите уравнение $6\sin^2x+5\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)-2=0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-5\pi;\,-\dfrac{7\pi}{2}\right]$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB$ равна $12$, а боковое ребро $AA_1$ равно $6$. На ребре $B_1C_1$ отмечена точка $L$ так, что $B_1L=2$. Точки $K$, $M$ — середины рёбер $AB$ и $A_1C_1$ соответственно. Плоскость $\alpha$ параллельна прямой $AC$ и содержит точки $K$ и $L$.
а) Докажите, что прямая $BM$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка $M$, а основание — сечение данной призмы плоскостью $\alpha$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $AA_1$ равно $2\sqrt2$. На рёбрах $AB$, $A_1B_1$ и $B_1C_1$ отмечены точки $M$, $N$ и $K$ соответственно, причём $AM=B_1N=C_1K=2$.
а) Пусть $L$ — точка пересечения плоскости $(MNK)$ с ребром $AC$. Докажите, что $MNKL$ — квадрат.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $(MNK)$.

На рёбрах $CD$ и $BB_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $12$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно, причём $DP=4$, $B_1Q=3$. Плоскость $(APQ)$ пересекает ребро $CC_1$ в точке $M$.
а) Докажите, что точка $M$ делит ребро $CC_1$ пополам.
б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $(APQ)$.

Решите неравенство
$\dfrac{x^2+2x}{\log_2(9\cdot3^x)}\le0$.

Решите неравенство
$3^{\log_3(4+x^2)}+x^4-10\ge0$.

Решите неравенство
$5^{\log_5(9-x^2)}+x^4-29\ge0$.

Решите неравенство
$2^{\log_2(x^2-1)}+x^4-5\le0$.

Решите неравенство
$3^{\log_3(25-5^x)}+25^x-45\ge0$.

Решите неравенство
$3^{\log_3(2^x-2)}+4^x-18\le0$.

Решите неравенство
$5^{\log_5(x^2-1)}+x^4-5\le0$.

Решите неравенство
$2^{\log_2(3^x-1)}+9^x-11\le0$.

Решите неравенство
$2^{\log_2(9^x-1)}-3^x-11\le0$.

Решите неравенство
$\dfrac{x^2-2x}{\log_2(9\cdot3^x)}\le0$.

Решите неравенство
$5^{\log_5(\log_5 x)}+(\log_{0{,}2}x)^2-12\le0$.

Решите неравенство
$2^{\log_2(\log_2 x)}+(\log_4 x)^2-3\le0$.

Решите неравенство
$3^{\log_3(\log_3 x)}+(\log_9 x)^2-8\le0$.

Решите неравенство
$\dfrac{9^x-4\cdot3^x+3}{\log_5(2^x)}\le0$.

Решите неравенство
$\dfrac{x^2+3x-4}{\log_3(8\cdot2^x)}\ge0$.

Решите неравенство
$\dfrac{x^2+2x-3}{\log_3(8\cdot2^x)}\le0$.

Решите неравенство
$\dfrac{x^2+4x-5}{\log_3(0{,}2\cdot5^x)}\ge0$.