В основании правильной треугольной призмы \(𝐴𝐵𝐶𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}\) лежит треугольник \(𝐴𝐵𝐶\). На прямой \(𝐴𝐴_1\) отмечена точка \(𝐷\) так, что \(𝐴_{1}\) - середина \(𝐴𝐷\). На прямой \(𝐵_{1} 𝐶_{1}\) отмечена точка \(𝐸\) так, что \(𝐶_{1}\) - середина \(𝐵_{1} 𝐸\). а) Докажите,что прямые \(𝐴_{1} 𝐵_{1}\) и \(𝐷𝐸\) перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми \(𝐴𝐵\) и \(𝐷𝐸\), если \(𝐴𝐵=4\), а \(𝐴𝐴_{1} =1\).

а) Прямая \(𝐴𝐷\) перпендикулярна плоскости \(𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}\), поэтому проекцией прямой \(𝐷𝐸\) на эту плоскость является прямая \(𝐴_{1} 𝐸\). Заметим, что в треугольнике \(𝐴_{1} 𝐸𝐵_{1}\) медиана \(𝐴_{1} 𝐶_{1}\) равна половине стороны \(𝐵_{1}𝐸\), поэтому треугольник \(𝐴_{1} 𝐸𝐵_{1}\) прямоугольный с прямым углом \(𝐴_{1}\). Тогда: \(\left\{ \begin{array}{l} {DA}_{1} \text{ - перпендикуляр} \\ DE \text{ - наклонная} \\ {EA}_{1} \text{ - проекция} \\ {EA}_{1} \perp A_{1}B_{1} \end{array}\right. \Rightarrow \text{ по ТТП } DE \perp {A}_{1}{B}_{1} \Rightarrow \text{ч.т.д}\) б) \(𝐴_{1} 𝐵_{1}\) перпендикулярно \(𝐴_{1} 𝐸,𝐴_{1} 𝐵_{1}\) перпендикулярно \(𝐴_{1} 𝐷\), следовательно \(𝐴_{1} 𝐵_{1}\) перпендикулярно плоскости \(𝐴_{1} 𝐷𝐸\). Так как \(𝐴𝐵||𝐴_{1} 𝐵_{1}\), то и \(𝐴𝐵\) перпендикулярно \(𝐴_{1} 𝐷𝐸\). Значит, \(𝐴𝐻\) общий перпендикуляр (\(𝐴𝐻\) перпендикулярно \(𝐷𝐸\) по построению, а \(𝐴𝐻\) перпендикулярно \(𝐴𝐵\), т.к. \(𝐴𝐻\) принадлежит \(𝐴_{1} 𝐷𝐸)\). Рассмотрим треугольник \(ADE\): его площадь равна: \(0,5\cdot AH\cdot DE=0,5\cdot AD\cdot A_{1} E\). Выразим \(AH\): \(AH=\frac{AD\cdot A_{1} E}{DE}\) \(A_{1} E=4\sqrt{3}\) из треугольника \(B_{1} A_{1} E\) по теореме Пифагора, \(DE=7\) из треугольника \(A_{1} DE\) по теореме Пифагора, тогда: \(AH=\frac{8}{7}\sqrt{3}\) Ответ: \(\frac{8}{7}\sqrt{3}\).

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(a^2-9x^2+18|x|-9=0\) имеет ровно два различных корня.

Пусть \(|x|=t\), \(t>0\) \(a^2-9t^2+18t-9=0\\ 9t^2-18t+9-a^2=0\) 1. Уравнение имеет один положительный корень \(\displaystyle \begin{cases} D=0\\ -\frac{b}{2a} >0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 18^{2} -4\cdot 9\left( 9-a^{2}\right) =0\\ \frac{18}{18} >0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 324-324+36a^{2} =0\\ 1 >0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a=0\\ 1 >0 \end{cases} \Leftrightarrow a=0\) 2. Уравнение имеет два корня, один положительный, второй отрицательный \(\displaystyle \begin{cases} D >0\\ \frac{c}{a} 0\\ \frac{9-a^{2}}{9} 0\\ ( 3-a)( 3+a) 3 \end{array} \right. \end{cases}\) Объединим решения первого и второго случаев: \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} a=0\\ \left[ \begin{array}{l l} a 3 \end{array} \right. \end{array} \right.\) Ответ: \((-\infty;-3)\); \(\{0\}\); \((3;+\infty)\)

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система \(\displaystyle \begin{cases} ( xy-x+7)( y-x+7) =0\\ y=3x+a \end{cases}\) имеет ровно два различных решения.

Для начала заметим, что никаких ограничений в системе нет, все уравнения имеют смысл при любых значениях переменных. Второе уравнение системы представляет собой множество прямых, параллельных прямой \(y=3x\), коэффициент \(a\) в которых отвечает за подъем графика по направлению оси ординат. Первое же уравнение являет собой объединение двух графиков, первый \(y=x−7\), второй - \(xy=x−7\). Заметим, что при \(x=0\) второе уравнение не имеет решений, а значит на \(x\) можно поделить, и мы получим уравнение гиперболы \(y=\frac{x-7}{x}=-\frac{7}{x}+1\) с асимптотами \(y=1\) и \(x=0\). Найдем точки пересечения прямой \(y=x−7\) и гиперболы \(y=-\frac{7}{x}+1\) \(x-7=\frac{x-7}{x}\\ (x-7)\left(1-\frac{1}{x}\right)=0\) Получаем две точки: \(x=1\), \(y=−6\) и \(x=7\), \(y=0\). Будем рассматривать значения параметра от минус бесконечности, увеличивая его значение, пока количество решений системы не будет меняться: при очень маленьких значениях параметра, пока прямая \(y=3x+a\) не пройдет через точку \(A(7;0)\), мы будем иметь три пересечения. Через точку \(A\) прямая пройдет при значении параметра \(a=y−3x=−21\). Далее мы снова будем получать три пересечения, пока не пройдем через точку \(B(1;−6)\), что случится при значении параметра \(a=−6−3=−9\). После чего у нас все так же будет три пересечения, пока мы не пройдем через точку \(C\) касания прямой \(y=3x+a\) с гиперболой. Увеличивая дальше значение параметра, получим одно пересечение, пока прямая не будет снова касаться гиперболы, теперь уже в точке \(D\). При дальнейшем увеличении значения параметра будем получать три пересечения. Осталось только найти координаты точек касания прямой и гиперболы. В точке касания значение производной гиперболы должно равняться угловому коэффициенту прямой: \(y'=\dfrac{7}{x^2}=3\\ x=\pm\sqrt{\dfrac{7}{3}}\) Тогда координаты точки \(C\) и соответствующего ей значения параметра \(x=\sqrt{\frac{7}{3}}\), \(y=-7\sqrt{\frac{3}{7}}+1=1-\sqrt{21}\), \(a=y-3x=1-\sqrt{21}-3\sqrt{\frac{7}{3}}=1-2\sqrt{21}\). А точки \(D\): \(x=-\sqrt{\frac{7}{3}}\), \(y=7\sqrt{\frac{3}{7}}+1=1+\sqrt{21}\), \(a=y-3x=1+\sqrt{21}+3\sqrt{\frac{7}{3}}=1+2\sqrt{21}\). Тогда ответом будут четыре значения параметра \(\{-21;-9;1-2\sqrt{21};1+2\sqrt{21}\}\). Ответ: \(\{-21;-9;1-2\sqrt{21};1+2\sqrt{21}\}\)

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\displaystyle \begin{cases} \log_{7}( 36-y^{2}) =\log_{7}( 36-a^{2} x^{2})\\ x^{2} +y^{2} =2x+6y \end{cases}\) имеет ровно два различных решения.

Избавимся от логарифмов, записав ограничения, причем на правую часть их писать необязательно, так как в процессе решения они будут выполняться автоматически: \(\begin{cases} 36-y^{2} =36-a^{2} x^{2}\\ 36-y^{2} >0\\ x^{2} +y^{2} =2x+6y \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} ( y-ax)( y+ax) =0\\ y\in ( -6;6)\\ x^{2} +y^{2} =2x+6y \end{cases}\) 1) Пусть \(y=ax\), подставим это в нижнее уравнение: \(x^{2} +a^{2} x^{2} -2x-6ax=0\Leftrightarrow x( x+a^{x} -2-6a) =0\Leftrightarrow x=0\ и\ y=0,или\ x=\frac{2+6a}{a^{2} +1} \ и\ y=\frac{2a+6a^{2}}{a^{2} +1}\) 2) Пусть \(y=-ax\), аналогично подставим и получим: \(x( x+ax-2+6a) =0\Leftrightarrow x=0\ и\ y=0,или\ x=\frac{2-6a}{a^{2} +1} \ и\ y=\frac{6a^{2} -2a}{a^{2} +1}\) Получили, что система имеет три решения: 1) \(( 0;0) ;2) \ (\frac{2+6a}{a^{2} +1} ;\frac{2a+6a^{2}}{a^{2} +1}) ;3) \ (\frac{2-6a}{a^{2} +1} ;\frac{6a^{2} -2a}{a^{2} +1})\). По условию же нам необходимо ровно два различных решения. \(( 0;0)\) решение при любом \(a\), которое удовлетворяет ограничениям. Запишем ограничения на вторую точку: \(\begin{cases} \frac{2a+6a^{2}}{a^{2} +1} >-6\\ \frac{2a+6a^{2}}{a^{2} +1} 0\ ( D -6\\ \frac{6a^{2} -2a}{a^{2} +1} 0\ ( D -3 \end{cases}\) Теперь нужно проверить совпадения между корнями. Проверим (1) и (2) корни на совпадение: \(\begin{cases} \frac{2a+6a^{2}}{a^{2} +1} =0\\ \frac{2a+6a}{a^{2} +1} =0 \end{cases} \Leftrightarrow a=-\frac{1}{3}\) То есть при \(a=-\frac{1}{3}\), есть совпадение 1-го и 2-го корней. Теперь проверим на совпадение 1-ый и 3-ий корни: \(\begin{cases} \frac{2-6a}{a^{2} +1} =0\\ \frac{6a^{2} -2a}{a^{2} +1} =0 \end{cases} \Leftrightarrow a=\frac{1}{3}\) То есть при \(a=\frac{1}{3}\) есть совпадение 1-го и 3-го корней. Теперь проверим совпадение 2-го и 3-го корней, приравняем сразу числители, поскольку у них одинаковые ненулевые знаменатели: \(\begin{cases} 2+6a=2-6a\\ 2a+6a^{2} =6a^{2} -2a \end{cases} \Leftrightarrow a=0\) То есть при \(a=0\) есть совпадение 2-го и 3-го корней. Из анализа выше можно сказать, что мы имеем два корня при \(a\in ( -\infty ,-3]\), поскольку в точке -3 третьего корня уже не существует, два корня при \(a=-\frac{1}{3},0,\frac{1}{3}\) и при \(a\in [ 3,+\infty )\). Ответ: \(a\in ( -\infty ,-3] \cup \{-\frac{1}{3}\} \cup \{0\} \cup \{\frac{1}{3}\} \cup [ 3,+\infty )\).

Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность радиуса \(R=8\). Известно, что \(AB = BC = CD = 12\). а) Докажите, что прямые \(BC\) и \(AD\) параллельны. б) Найдите \(AD\).

а) \(\cup AB = \cup BC = \cup CD\) (т. к. равные хорды стягивают равные дуги) \(\angle\alpha=\cup\frac{AB}{2}\\ \angle\beta=\cup\frac{CD}{2}\) Т. к. дуги равны, \(\alpha = \beta\) Т. к. они накрест лежащие, \(BC || AD\) Ч. т. д. б) По теореме синусов: \(\frac{AB}{\sin{\angle{ACB}}} = 2R \\ \frac{AB}{2R} = \sin{\angle{ACB}} \\ \Rightarrow \sin{\angle{ACB}} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}\) \(\angle{BAC} = \angle{CAD} =\angle{BCA} = \alpha \ -\) так как опираются на равные хорды Так как \(ABCD \ -\) равнобедренная трапеция, то \(\angle{CDA} = 2 \angle{BCA} = 2 \alpha\) \(\Rightarrow \sin{\angle{CDA}} = 2\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\) По теореме синусов из треугольника \(CDA\): \(\frac{AC}{\sin\angle{CDA}} = \frac{CD}{\sin\angle{CAD}} \\ \frac{AC}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{CD}{\sin\alpha} \\ \Rightarrow AC = CD \cdot 2\cos\alpha = 24\cos\alpha\) По теореме косинусов из треугольника \(ACD\): \({CD}^{2} = AC^2 + AD^2 - 2AC \cdot AD \cdot \cos\alpha \\ 144 = (24\cos\alpha)^2 + AD^2 - 2 \cdot 24 \cdot AD \cdot \cos^2\alpha\) Через ОТТ найдем \(\cos^2\alpha\): \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}\) Тогда: \(AD^2 - 48\cdot \frac{7}{16} \cdot AD + 24^2 \cdot \frac{7}{16} - 144 = 0 \\ AD^2 -21AD + 108 = 0 \\ (AD-12)(AD-9) = 0 \\ \left[ \begin{array}{l} AD = 12 \\ AD = 9 \end{array} \right.\) Если \(AD = 12\), то \(ABCD \ -\) квадрат, в таком случае \(R \ne 8\), противоречие. \(\Rightarrow AD = 9\) Ответ: 9