Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R=10$. Известно, что $AB=BC=CD=6$. а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны. б) Найдите $AD$.

а) Острые углы $BCA$ и $CAD$ равны, поскольку опираются на дуги стянутые равными хордами $AB$ и $CD$. Значит, прямые $BC$ и $AD$ параллельны. б) Обозначим угол $BCA$ через $\alpha$. По теореме синусов для треугольника $ABC$ имеем $\sin \alpha =\frac{AB}{2R} =0,3$. Треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому $\angle BAC=\angle BCA-\alpha$. Значит, $\angle BAC+\angle CAD=2\alpha$. Четырехугольник $ABCD$ - равнобедренная трапеция, поэтому $\angle CDA=\angle BAD=2\alpha$. Значит: $\angle ACD=180^{\circ } -\angle CAD-\angle CDA-180^{\circ } -3\alpha$ По теореме синусов для треугольников $ACD$ и $ACB$ получаем: $2R=\frac{AD}{\sin( 180^{\circ } -3\alpha )} =\frac{AB}{\sin \alpha }$ откуда, используя формулу синуса тройного угла, получаем: $AD=\frac{\sin 3\alpha }{\sin \alpha } \cdot AB=\frac{3\sin \alpha -4\sin^{3} \alpha }{\sin \alpha } \cdotp AB=( 3-4\sin^{2} \alpha ) \cdot AB=15,84$ Ответ: 15,84

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 138 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 171291 балл
Показательная и логарифмическая функции
На рисунке изображен график функции вида $f(x)=a^x$ . Найдите значение $f(4)$ .
$Иллюстрация к заданию, рис.1$
id 171301 балл
Парабола (квадратичная функция)
На рисунке изображён график функции вида $f(x)=ax^2+bx+c$ , где числа $a$ , $b$ , и $c$ - целые. Найдите значение $f(-12)$ .
$Иллюстрация к заданию, рис.1$
id 171311 балл
Показательная и логарифмическая функции
На рисунке изображён график функции вида $f(x)=\log_ax$ . Найдите значение $f(32)$ .
$Иллюстрация к заданию, рис.1$
id 171321 балл
Функции с натуральным логарифмом
Найдите наименьшее значение функции $y=9x-9\ln(x+11)+7$ на отрезке $[-10, \! 5;0]$ .
id 5223 балла
Вписанные и описанные окружности
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R=10$ . Известно, что $AB=BC=CD=6$ .
а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.
б) Найдите $AD$ .