Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Симметричную монету бросают ровно $10$ раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно $5$ орлов» больше вероятности события «выпадет ровно $4$ орла»?

В кафе гостям предлагают выиграть бесплатный кофе: М. бросает одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию $5$ и $6$ очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит чашку кофе бесплатно. Какова вероятность того, что М. получит бесплатный кофе? Результат округлите до сотых.

В корзине находятся $5$ синих шаров и $6$ красных. Из корзины выложили случайно взятый шар. Затем из корзины достали один шар. Какова вероятность того, что он красный? Ответ округлите до сотых.

В викторине участвуют $5$ команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первом раунде победила команда $A$. Какова вероятность того, что эта команда выиграет третий раунд?

Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жеребьём. Если число игроков нечётное, то с помощью жребия выбираются случайные игровые пары, а один игрок остаётся без пары и не участвует в туре. Так продолжается до тех пор, пока не останутся два игрока, играющие между собой финальный тур, который выявляет победителя турнира. Всего в турнире участвуют $20$ игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна $0{,}5$. Среди игроков два друга — Иван и Алексей. Какова вероятность того, что в каком-то туре этим двоим придётся сыграть друг с другом?

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ провели биссектрису $AF$. Найдите угол $AFB$, если угол $ABC$ равен $72^\circ$. Ответ дайте в градусах.

Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Найдите меньшую сторону параллелограмма, если его периметр равен $15$.

В треугольнике $ABC$ высота $AH$ равна $13$, $AB = BC$, $AC = 20$. Найдите синус угла $CAB$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB=32$, $\sin B=0{,}5$. Найдите $AC$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB=50$, $\cos B=\dfrac{7}{25}$. Найдите $AC$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB=20$, $\operatorname{tg} B=\dfrac{4}{3}$. Найдите $BC$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $BC=14$, $\sin A=0{,}5$. Найдите $BH$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $CH$ — высота, $AB=26$, $\operatorname{tg} B=5$. Найдите $AH$.

Угол между стороной и диагональю ромба равен $50^\circ$. Найдите острый угол ромба.

Угол между стороной и диагональю ромба равен $53^\circ$. Найдите острый угол ромба.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB=17$, $\cos B=\dfrac{15}{17}$. Найдите $AC$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB=25$, $\cos B=\dfrac{24}{25}$. Найдите $AC$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB=29$, $\cos B=\dfrac{21}{29}$. Найдите $AC$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB=5$, $\tg B=\dfrac{3}{4}$. Найдите $BC$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB=13$, $\tg B=\dfrac{5}{12}$. Найдите $BC$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $40^\circ$, биссектрисы $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $48^\circ$, биссектрисы $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $56^\circ$, биссектрисы $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $AOB$. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB=25$, $\sin B=\dfrac{3}{5}$. Найдите $AC$.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AB=30$, $\sin B=\dfrac{4}{5}$. Найдите $AC$.