Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой $y = ax^2 + bx$, где $a = -\dfrac{1}{300} \, \text{м}^{-1}$, $b = \dfrac{13}{30}$ — постоянные параметры, $x$ (м) — смещение камня по горизонтали, $y$ (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой $9$ м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее $1$ метра?

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой $y = ax^2 + bx$, где $a = -\dfrac{1}{140} \, \text{м}^{-1}$, $b = \dfrac{8}{7}$ — постоянные параметры, $x$ (м) — смещение камня по горизонтали, $y$ (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой $19$ м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее $1$ метра?

Небольшой мячик бросают под острым углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле $L = \dfrac{v_0^2}{g} \sin 2\alpha$ (м), где $v_0 = 22$ м/с — начальная скорость мячика, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10$ м/с²). При каком наименьшем значении угла ($\alpha$ в градусах) мячик перелетит реку шириной $24{,}2$ м?

Небольшой мячик бросают под острым углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле $L = \dfrac{v_0^2}{g} \sin 2\alpha$ (м), где $v_0 = 24$ м/с — начальная скорость мячика, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10$ м/с²). При каком наименьшем значении угла ($\alpha$ в градусах) мячик перелетит реку шириной $57{,}6$ м?

Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене $p = 720$ руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют $v = 370$ руб., постоянные расходы предприятия $f = 800\,000$ руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $\pi(q) = q(p - v) - f$. Определите месячный объём производства $q$ (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна $250\,000$ руб.

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна $I = \dfrac{\varepsilon}{R + r}$, где $\varepsilon$ — ЭДС источника (в вольтах), $r = 2{,}7$ Ом — его внутреннее сопротивление, $R$ — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более $15\%$ от силы тока короткого замыкания $I_{кз} = \dfrac{\varepsilon}{r}$? Ответ дайте в омах.

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна $I = \dfrac{\varepsilon}{R + r}$, где $\varepsilon$ — ЭДС источника (в вольтах), $r = 3$ Ом — его внутреннее сопротивление, $R$ — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более $20\%$ от силы тока короткого замыкания $I_{кз} = \dfrac{\varepsilon}{r}$? Ответ дайте в омах.

При температуре $0^\circ C$ рельс имеет длину $l_0 = 15$ м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l(t^\circ) = l_0 (1 + \alpha \cdot t^\circ)$, где $\alpha = 1{,}2 \cdot 10^{-5} \, (^\circ C)^{-1}$ — коэффициент теплового расширения, $t^\circ$ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на $6{,}3$ мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.

При температуре $0^\circ C$ рельс имеет длину $l_0 = 8$ м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l(t^\circ) = l_0 (1 + \alpha \cdot t^\circ)$, где $\alpha = 1{,}2 \cdot 10^{-5} \, (^\circ C)^{-1}$ — коэффициент теплового расширения, $t^\circ$ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на $2{,}4$ мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна $P = m \left( \dfrac{v^2}{L} - g \right)$, где $m$ — масса воды в килограммах, $v$ — скорость движения ведёрка в м/с, $L$ — длина верёвки в метрах, $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10 \, \text{м/с}^2$). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна $115{,}6$ см? Ответ дайте в м/с.

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна $P = m \left( \dfrac{v^2}{L} - g \right)$, где $m$ — масса воды в килограммах, $v$ — скорость движения ведёрка в м/с, $L$ — длина верёвки в метрах, $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10 \, \text{м/с}^2$). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна $44{,}1$ см? Ответ дайте в м/с.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности $I_n$, оперативности $O_p$, объективности публикаций $T_r$, а также качества сайта $Q$. Каждый отдельный показатель — целое число от 1 до 5. Составители рейтинга считают, что объективность ценится вдвое, а информативность публикаций — в пятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид $R = \dfrac{5I_n + O_p + 2T_r + Q}{A}$. Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число $A$, при котором это условие будет выполняться.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности $I_n$, оперативности $O_p$, объективности публикаций $T_r$, а также качества сайта $Q$. Каждый отдельный показатель — целое число от 0 до 4. Составители рейтинга считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — вчетверо дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид $R = \dfrac{4I_n + O_p + 3T_r + Q}{A}$. Издание, у которого все показатели максимальны, получило рейтинг $2$. Найдите число $A$, при котором это условие будет выполняться.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A = \alpha \rho g r^3$, где $\alpha = 4{,}2$ — постоянная, $r$ — радиус аппарата в метрах, $\rho = 1000$ кг/м³ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10$ Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше чем $141\,750$ Н? Ответ дайте в метрах.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A = \rho g l^3$, где $l$ — длина ребра куба в метрах, $\rho = 1000$ кг/м³ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 9{,}8$ Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше чем $264\,600$ Н? Ответ дайте в метрах.

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью $v = 4{,}7$ м/с под острым углом $\alpha$ к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью $u = \dfrac{m}{m + M} v \cos \alpha$ (м/с), где $m = 64$ кг — масса скейтбордиста со скейтом, а $M = 500$ кг — масса платформы. Под каким максимальным углом $\alpha$ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до $\dfrac{4}{15}$ м/с?

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью $v = 3{,}5$ м/с под острым углом $\alpha$ к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью $u = \dfrac{m}{m + M} v \cos \alpha$ (м/с), где $m = 60$ кг — масса скейтбордиста со скейтом, а $M = 690$ кг — масса платформы. Под каким максимальным углом $\alpha$ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до $0{,}14$ м/с?

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле $A(\omega) = \dfrac{A_0 \omega_p^2}{|\omega_p^2 - \omega^2|}$, где $\omega$ — частота вынуждающей силы (в $c^{-1}$), $A_0$ — постоянный параметр, $\omega_p = 225 \, c^{-1}$ — резонансная частота. Найдите максимальную частоту $\omega$, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину $A_0$ не более чем на $56{,}25\%$. Ответ дайте в $c^{-1}$.

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле $A(\omega) = \dfrac{A_0 \omega_p^2}{|\omega_p^2 - \omega^2|}$, где $\omega$ — частота вынуждающей силы (в $c^{-1}$), $A_0$ — постоянный параметр, $\omega_p = 294 \, c^{-1}$ — резонансная частота. Найдите максимальную частоту $\omega$, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину $A_0$ не более чем на $22{,}5\%$. Ответ дайте в $c^{-1}$.

В среднем из $400$ приборов, поступивших в продажу, $5$ с браком. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля прибор окажется бракованным.

Фабрика выпускает насосы. В среднем на $89$ качественных насосов приходится $11$, имеющих скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что выбранный в магазине насос окажется с дефектами.

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет $6$ очков. Результат округлите до десятых.

В соревнованиях участвуют $6$ спортсменов из Франции, $3$ спортсмена из Чехии, $7$ спортсменов из Германии и $4$ — из Бельгии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий шестым, окажется из Германии.

Конференция длится $4$ дня. Запланировано $80$ докладов: первые два дня — по $23$ доклада, остальные доклады распределены поровну между третьим и четвёртым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора А. окажется запланированным на третий день конференции?

За круглый стол на $17$ стульев в случайном порядке рассаживаются $15$ мальчиков и $2$ девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.