Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В ящике $5$ жёлтых и $3$ чёрных фонарика. Фонарики вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз чёрный фонарик достанут третьим по счёту? Ответ округлите до сотых.

В ящике $8$ чёрных и $2$ зелёных носка. Носки вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз зелёный носок достанут четвёртым по счёту? Ответ округлите до сотых.

На платформе стоят два автомата по продаже билетов. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью $0{,}09$ независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

В аэропорту стоят два терминала для зарядки мобильных устройств. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью $0{,}06$ независимо от другого терминала. Найдите вероятность того, что хотя бы один терминал исправен.

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Рассвет» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Рассвет» выиграет жеребий ровно один раз.

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Пром» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Пром» выиграет жеребий ровно два раза.

На фабрике посуды $5\%$ произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется $70\%$ дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

На фабрике посуды $10\%$ произведённых керамических чашек имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется $54\%$ дефектных чашек. Остальные чашки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке чашка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

В торговом зале два одинаковых автомата продают сок. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится сок, равна $0{,}38$. Вероятность того, что сок закончится в обоих автоматах, равна $0{,}12$. Найдите вероятность того, что к концу дня сок останется в обоих автоматах.

В торговом зале два одинаковых автомата продают лимонад. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится лимонад, равна $0{,}22$. Вероятность того, что лимонад закончится в обоих автоматах, равна $0{,}18$. Найдите вероятность того, что к концу дня лимонад останется в обоих автоматах.

Рассмотрим два случайных паспорта. Какова вероятность того, что последняя цифра в номере первого паспорта отличается от последней цифры в номере второго паспорта?

Какова вероятность того, что среди трёх последних цифр случайного телефонного номера хотя бы две цифры одинаковы?

Ковбой Билл попадает в муху на стене с вероятностью $0{,}6$, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Билл стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью $0{,}1$. На столе лежат $8$ револьверов, из них только $5$ пристрелянных. Ковбой Билл видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Билл промахнётся.

Ковбой Клинт попадает в муху на стене с вероятностью $0{,}9$, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Клинт стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью $0{,}4$. На столе лежат $10$ револьверов, из них только $2$ пристрелянных. Ковбой Клинт видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Клинт промахнётся.

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью $0{,}2$ при каждом отдельном выстреле. Сколько раз стрелок должен выстрелить по мишени, чтобы поразить её с вероятностью не менее $0{,}4$?

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью $0{,}5$ при каждом отдельном выстреле. Сколько раз стрелок должен выстрелить по мишени, чтобы поразить её с вероятностью не менее $0{,}9$?

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы $4$ очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает $3$ очка, в случае ничьей — $1$ очко, если проигрывает — $0$ очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований, считая, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны $0{,}22$.

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы $4$ очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает $3$ очка, в случае ничьей — $1$ очко, если проигрывает — $0$ очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований, считая, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны $0{,}38$.

В отряде $51$ богатырь, среди них два друга — Илья Муромец и Алёша Попович. Богатырей случайным образом разбивают на $3$ равных группы, чтобы отправить на заставы. Найдите вероятность того, что Илья Муромец и Алёша Попович окажутся на разных заставах.

В группе $21$ человек, среди них — Нюра и Фрося. Группу случайным образом делят на $7$ одинаковых по численности подгрупп. Найдите вероятность того, что Нюра и Фрося окажутся в одной подгруппе.

На празднике в детском саду всех детей рассаживают за круглый стол на $11$ стульев, в случайном порядке рассаживаются $9$ мальчиков и $2$ девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.

На празднике всех детей рассаживают за круглый стол на $51$ стул, в случайном порядке рассаживаются $49$ девочек и $2$ мальчика. Найдите вероятность того, что оба мальчика будут сидеть рядом.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 48 мг. Период его полураспада составляет 8 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 3 мг.

Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ км над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $l = \sqrt{2Rh}$, где $R = 6400$ км — радиус Земли. Человек, стоящий у подножия смотровой площадки, видит горизонт на расстоянии $8$ км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до $24$ километров?

Груз массой $0{,}25$ кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $v = v_0 \sin \frac{2\pi t}{T},$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T = 6 \, \text{с}$ — период колебаний, $v_0 = 0{,}8 \, \text{м/с}$. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E = \frac{mv^2}{2},$ где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через $5$ секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.