Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке $0$; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает чётное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.
а) Может ли фишка оказаться на отметке $-50$, если Митя $30$ раз бросил кубик?
б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке $-50$?
в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке $-57$, если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз?

На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке $0$; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает чётное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.
а) Может ли фишка оказаться на отметке $0$, если Митя $45$ раз бросил кубик?
б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке $-35$?
в) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке $-42$, если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз?

Есть $60$ карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше $1$. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на $3$ — красную, если на $4$ — синюю, если на $5$ — зелёную. Получилось так, что на каждой карточке ровно две цветовые отметки.
а) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше $200$?
б) Получилось, что на $20$ карточках есть синяя и зелёная отметки, на $20$ карточках есть синяя и красная отметки, на $20$ карточках есть красная и зелёная отметки. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.
в) Получилось, что на $45$ карточках синяя отметка. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.

Есть $60$ карточек, на каждой из которых написано натуральное число больше $1$. Все числа различные. На обратной стороне каждой карточки ставят цветовую отметку: если число делится на $3$ — красную, если на $4$ — синюю, если на $5$ — зелёную. Получилось так, что на каждой карточке поставлено не менее двух цветовых отметок.
а) Какое наибольшее количество карточек может быть с числами меньше $200$?
б) Получилось, что на $k$ карточках есть только синяя и зелёная отметки, на $k$ карточках — только синяя и красная, на $k$ карточках — только красная и зелёная. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди чисел, указанных на карточках.
в) Карточек с двумя отметками, одна из которых синяя, получилось $37$. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего числа среди указанных на карточках.

Каждый год в соревнованиях, состоящих из $10$ этапов, участвует $10$ спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен — второе и один — третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает $a$ первых, $b$ вторых и $c$ третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.
В этом году по итогам $10$ этапов каждому спортсмену присваивается $10a+4b+c$ очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если количество очков у спортсменов совпадает, то рейтинги у них одинаковые.
В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена-$1$ количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно $a_1$, $b_1$ и $c_1$, а у спортсмена-$2$ — $a_2$, $b_2$ и $c_2$, то рейтинг спортсмена-$1$ был выше рейтинга спортсмена-$2$ в следующих случаях:
— $a_1>a_2$,
— $a_1=a_2$ и $b_1>b_2$,
— $a_1=a_2$, $b_1=b_2$ и $c_1>c_2$.
Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.
а) В этом году по итогам соревнований у спортсменов нет совпадающих рейтингов. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то у спортсменов бы тоже не было совпадающих рейтингов. Может ли порядок рейтингов спортсменов в этом году совпадать с порядком рейтингов прошлого года?
б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Какая наибольшая разница в очках может быть между двумя наименьшими рейтингами?
в) Каждый год по результатам соревнований вычисляется средний балл $Q$ для спортсменов, набравших хотя бы одно очко: отношение суммы всех набранных очков к количеству спортсменов, набравших хотя бы одно очко. В следующем году планируется проводить аналогичные соревнования ($10$ этапов) с участием $10$ спортсменов, где каждому из них будут присваиваться $10a+k_1b+k_2c$ очков. Организаторы обсуждают в данной формуле целые значения $k_1$ и $k_2$, такие, что $1\le k_2<k_1\le 9$. Найдите все пары $(k_1;k_2)$, при которых возможно получить наибольшее количество целых значений среднего балла $Q$.

Каждый год в соревнованиях, состоящих из $10$ этапов, участвует $10$ спортсменов. По итогам каждого этапа один спортсмен занимает первое место, один спортсмен — второе и один — третье. В результате ежегодных соревнований каждый спортсмен занимает $a$ первых, $b$ вторых и $c$ третьих мест. В зависимости от мест, занятых спортсменом на всех этапах (одного года), ему присваивается итоговый рейтинг соревнований.
В этом году по итогам $10$ этапов каждому спортсмену присваивается $10a+4b+c$ очков; чем у спортсмена очков больше, тем рейтинг выше. Если количество очков у спортсменов совпадает, то рейтинги у них одинаковые.
В прошлом году в таких же соревнованиях участвовали те же спортсмены. Но для подведения итогов соревнований рейтинги спортсменов определялись следующим образом: если у спортсмена-$1$ количество первых, вторых и третьих мест соответственно равно $a_1$, $b_1$ и $c_1$, а у спортсмена-$2$ — $a_2$, $b_2$ и $c_2$, то рейтинг спортсмена-$1$ был выше рейтинга спортсмена-$2$ в следующих случаях:
— $a_1>a_2$,
— $a_1=a_2$ и $b_1>b_2$,
— $a_1=a_2$, $b_1=b_2$ и $c_1>c_2$.
Если количество и первых, и вторых, и третьих мест у спортсменов совпадало, то рейтинги у них были одинаковые.
а) В этом году по итогам соревнований и наивысший, и наименьший рейтинги имеют ровно по одному спортсмену. Если бы рейтинги определялись, как в прошлом году, то и наивысший, и наименьший рейтинги имели бы тоже ровно по одному спортсмену. Может ли спортсмен, получивший в этом году наивысший рейтинг, по расчётам прошлого года иметь наименьший рейтинг?
б) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов, а модуль разности набранных очков у любых двух спортсменов не меньше $p$. Найдите наибольшее возможное значение $p$.
в) По итогам соревнований этого года получилось, что у любых двух спортсменов нет одинаковых рейтингов. Найдите наименьшую возможную разницу между средними арифметическими значениями набранных очков у пяти спортсменов с наибольшими рейтингами и у пяти спортсменов с наименьшими рейтингами.

Есть $2$ камня, каждый массой $100$ тонн, $6$ камней, каждый массой $20$ тонн, и $4$ камня, каждый массой $4$ тонны.
а) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на $12$ тонн больше суммарной массы второй группы, но на $12$ тонн меньше суммарной массы третьей группы?
б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этих групп были равны?
в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами $m_1$, $m_2$ и $m_3$ так, что $m_1\ge m_2\ge m_3$. Найдите наименьшее такое число $d$, что $m_1-m_2\le d$ и $m_2-m_3\le d$.

Есть $4$ камня, каждый массой $100$ тонн, $5$ камней, каждый массой $25$ тонн, и $6$ камней, каждый массой $4$ тонны.
а) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарные массы этих групп были равны?
б) Можно ли разложить все эти камни на три группы так, чтобы суммарная масса первой группы была на $50$ тонн больше суммарной массы второй группы, но на $50$ тонн меньше суммарной массы третьей группы?
в) Все камни хотят разложить на три группы с суммарными массами $m_1$, $m_2$ и $m_3$ так, что $m_1\ge m_2\ge m_3$. Найдите наименьшее такое число $d$, что $m_1-m_2\le d$ и $m_2-m_3\le d$.

Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше $100$ и записано с помощью цифр $1$, $3$, $5$, $7$ или $9$. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:
— к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;
— вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.
а) Может ли сумма чисел первого набора быть на $6$ меньше суммы чисел второго набора?
б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза больше суммы чисел второго набора?
в) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел второго набора к сумме чисел первого набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.

Дан набор натуральных чисел, каждое из которых меньше $100$ и записано с помощью цифр $1$, $3$, $5$, $7$ или $9$. В наборе есть хотя бы одно однозначное и хотя бы одно двузначное число. Из этого набора чисел получили второй набор чисел следующим образом:
— к каждому однозначному числу приписали цифру, с помощью которой это число было записано;
— вместо каждого двузначного числа записали среднее арифметическое двух его цифр.
а) Может ли сумма чисел первого набора быть на $13$ больше суммы чисел второго набора?
б) Может ли сумма чисел первого набора быть в два раза меньше суммы чисел второго набора?
в) Найдите наибольшее возможное отношение суммы чисел первого набора к сумме чисел второго набора, если в первом наборе не было одинаковых чисел, а однозначных чисел было столько же, сколько и двузначных.

В классе больше $10$, но не больше $28$ учащихся, а доля девочек не превышает $22\%$.
а) Может ли в этом классе быть $4$ девочки?
б) Может ли доля девочек составить $30\%$, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

В классе больше $10$, но не больше $27$ учащихся, а доля девочек не превышает $26\%$.
а) Может ли в этом классе быть $6$ девочек?
б) Может ли доля девочек составить $30\%$, если в этот класс придёт новая девочка?
в) В этот класс пришла новая девочка. Доля девочек в классе составила целое число процентов. Какое наибольшее число процентов может составить доля девочек в классе?

Трёхзначное число $A$ имеет $k$ натуральных делителей (в том числе $1$ и $A$).
а) Может ли $k$ быть равно $7$?
б) Может ли $k$ быть равно $25$?
в) Найдите наибольшее $k$.

Трёхзначное число $A$ имеет $k$ натуральных делителей (в том числе $1$ и $A$).
а) Может ли $k$ быть равно $15$?
б) Может ли $k$ быть равно $28$?
в) Найдите все числа $A$, для которых $k\ge 30$.

Среднее геометрическое $k$ чисел $p_1,p_2,\ldots,p_k$ вычисляется по формуле $\sqrt[k]{p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_k}$.
а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно $45$?
б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического трёх различных двузначных чисел.
в) Найдите наибольшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.

Среднее геометрическое $k$ чисел $p_1,p_2,\ldots,p_k$ вычисляется по формуле $\sqrt[k]{p_1\cdot p_2\cdot\ldots\cdot p_k}$.
а) Может ли среднее геометрическое трёх различных двузначных чисел быть равно $36$?
б) Найдите наименьшее возможное целое значение среднего геометрического четырёх различных двузначных чисел.
в) Найдите наибольшее возможное целое значение среднего геометрического шести различных двузначных чисел.

Даны два набора чисел: в первом наборе каждое число равно $150$, а во втором каждое число равно $50$. Среднее арифметическое всех чисел двух наборов равно $78$.
а) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число $n$. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно $71$?
б) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число $m$. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно $70$?
в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число $k$, одновременно уменьшив на $k$ каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?

Даны два набора чисел: в первом наборе каждое число равно $175$, а во втором каждое число равно $80$. Среднее арифметическое всех чисел двух наборов равно $145$.
а) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число $n$. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно $132$?
б) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число $m$. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов быть равно $135$?
в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число $k$, одновременно уменьшив на $k$ каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?

Дано четырёхзначное число $\overline{abcd}$, где $a$, $b$, $c$ и $d$ — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём $a\ne0$.
а) Может ли произведение $a\cdot b\cdot c\cdot d$ быть больше суммы $a+b+c+d$ в $3$ раза?
б) Цифры $a$, $b$, $c$ и $d$ попарно различны. Сколько существует различных чисел $\overline{abcd}$ таких, что $a\cdot b\cdot c\cdot d>a+b+c+d$?
в) Известно, что $a\cdot b\cdot c\cdot d=k(a+b+c+d)$, где $k$ — двузначное число. При каком наибольшем значении $\overline{abcd}$ число $k$ будет наибольшим?

Дано четырёхзначное число $\overline{abcd}$, где $a$, $b$, $c$ и $d$ — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём $a\ne0$.
а) Может ли произведение $a\cdot b\cdot c\cdot d$ быть больше суммы $a+b+c+d$ в $5$ раз?
б) Цифры $a$, $b$, $c$ и $d$ попарно различны. Сколько существует различных чисел $\overline{abcd}$ таких, что $a\cdot b\cdot c\cdot d>a+b+c+d$?
в) Известно, что $a\cdot b\cdot c\cdot d=k(a+b+c+d)$, где $k$ — двузначное число. При каком наибольшем значении $\overline{abcd}$ число $k$ будет наибольшим?

Есть три коробки: в первой коробке $112$ камней, во второй — $99$, а третья — пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в первой коробке оказаться $103$ камня, во второй — $99$, а в третьей — $9$?
б) Могло ли в третьей коробке оказаться $211$ камней?
в) Во второй коробке оказалось $4$ камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

Есть три коробки: в первой коробке $95$ камней, во второй — $104$, а третья — пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.
а) Могло ли в третьей коробке оказаться $199$ камней?
б) Могло ли в первой коробке оказаться $100$ камней, во второй — $50$, а в третьей — $49$?
в) Во второй коробке оказалось $2$ камня. Какое наибольшее число камней могло оказаться в третьей коробке?

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в $7$ раз больше, либо в $7$ раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна $9177$.
а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли последовательность состоять из пяти членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в $8$ раз больше, либо в $8$ раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна $4040$.
а) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
б) Может ли последовательность состоять из четырёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?

Из $k$ кг материала фабрика изготавливает $n$ одинаковых деталей массой $m$ кг каждая, причём $k=nm+q$, где $q$ кг — остатки материала, и $q<m$. После внедрения новых технологий на фабрике начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на $0{,}2$ кг легче детали старого типа, причём из $63$ кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из $64$ кг материала.
а) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление $15$ новых деталей будет достаточно $63$ кг материала, а на $16$ — уже нет?
б) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление $40$ новых деталей будет достаточно $63$ кг материала, а на $41$ — уже нет?
в) Найдите такое минимальное число $n$, что фабрика может выпускать $n$ новых деталей из $80$ кг материала, а $n-1$ деталь не сможет, не нарушая условия $q<m$.