Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В равнобедренную трапецию $ABCD$ с большим основанием $AD$ вписаны две окружности так, что одна из них касается сторон $AB$, $BC$ и $AD$, вторая — сторон $BC$, $CD$ и $AD$, а сами они касаются друг друга внешним образом. Точка касания стороны $CD$ с одной из окружностей радиуса $r$ делит сторону $CD$ в отношении $1:4$.
а) Докажите, что $r=0{,}4\cdot CD$.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции $ABCD$, если $AB=30$.

В равнобедренную трапецию $ABCD$ с большим основанием $AD$ вписаны две окружности так, что одна из них касается сторон $AB$, $BC$ и $AD$, вторая — сторон $BC$, $CD$ и $AD$, а сами они касаются друг друга внешним образом. Точка касания стороны $CD$ с одной из окружностей радиуса $r$ делит сторону $CD$ в отношении $1:9$.
а) Докажите, что $r=0{,}3\cdot CD$.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции $ABCD$, если $AB=20$.

Окружность с центром в точке $O$ радиуса $R$ вписана в угол с вершиной в точке $B$, равный $60^\circ$. Точки $A$ и $C$ — точки касания угла и окружности, а $AE$ и $CD$ — диаметры окружности.
а) Докажите, что $AB=DE$.
б) Прямые $BD$ и $BE$ вторично пересекают окружность в точках $N$ и $P$ соответственно. Найдите площадь четырёхугольника $DEPN$, если $R=7\sqrt{3}$.

Окружность с центром в точке $O$ радиуса $R$ вписана в угол с вершиной в точке $B$, равный $120^\circ$. Точки $A$ и $C$ — точки касания угла и окружности, а $AE$ и $CD$ — диаметры окружности.
а) Докажите, что $AD=3BC$.
б) Прямые $BD$ и $BE$ вторично пересекают окружность в точках $N$ и $P$ соответственно. Найдите $PN$, если $R=13$.

В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=6\sqrt{5}$, $AC=8\sqrt{3}$ и $BC=6$ на стороне $BC$ отметили точку $D$ так, что $BD:DC=1:2$.
а) Докажите, что $AD$ — высота треугольника $ABC$.
б) На луче $BC$ отметили точку $E$ такую, что $AC$ — биссектриса треугольника $BAE$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $BAE$.

В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=6\sqrt{2}$, $AC=2\sqrt{15}$ и $BC=6$ на стороне $BC$ отметили точку $D$ так, что $BD:DC=2:1$.
а) Докажите, что $AD$ — высота треугольника $ABC$.
б) На луче $BC$ отметили точку $E$ такую, что $AC$ — биссектриса треугольника $BAE$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $BAE$.

Окружность с центром в точке $O$ вписана в ромб $ABCD$ и касается его сторон $AB$, $CD$ и $AD$ соответственно в точках $F$, $K$ и $P$.
а) Докажите, что прямая $FP$ параллельна диагонали ромба $BD$.
б) Найдите длину диагонали $BD$, если известно, что $FP=12$ и $PK=5$.

Окружность с центром в точке $O$ вписана в ромб $ABCD$ и касается его сторон $AB$, $CD$ и $AD$ соответственно в точках $F$, $K$ и $P$.
а) Докажите, что прямая $FP$ параллельна диагонали ромба $BD$.
б) Найдите площадь ромба $ABCD$, если известно, что $FP=6$ и $PK=8$.

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ точка $E$ — середина стороны $BC$. Через точку $B$ перпендикулярно прямой $AB$ и через точку $E$ перпендикулярно прямой $DE$ проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что $AK=KD$.
б) Найдите угол $BAD$, если расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно длине отрезка $EC$ и $\angle CED=58^\circ$.

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ точка $E$ — середина стороны $BC$. Через точку $B$ перпендикулярно прямой $AB$ и через точку $E$ перпендикулярно прямой $DE$ проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что $AK=KD$.
б) Найдите угол $BAD$, если расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно длине отрезка $EC$ и $\angle CED=58^\circ$.

В параллелограмме $ABCD$ с острым углом $BAD$ точка $E$ — середина стороны $BC$. Через точку $B$ перпендикулярно прямой $AB$ и через точку $E$ перпендикулярно прямой $DE$ проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке $K$.
а) Докажите, что $AK=KD$.
б) Найдите угол $ADE$, если расстояние от точки $K$ до прямой $AD$ равно длине отрезка $EC$ и $\angle ADC=110^\circ$.

В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $BAD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, а продолжение стороны $DC$ — в точке $P$; диагональ $AC$ является биссектрисой угла $KAD$.
а) Докажите, что $PC^2=CD\cdot PK$.
б) Найдите $AC:AP$, если $BC:AB=2{,}5$.

В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $BAD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, а продолжение стороны $DC$ — в точке $P$; диагональ $AC$ является биссектрисой угла $KAD$.
а) Докажите, что $PC^2=CD\cdot PK$.
б) Найдите $AC:AP$, если $AB:BC=3:8$.

В треугольнике $ABC$ точки $N$ и $P$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $NP$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
а) Докажите, что периметр треугольника $ABC$ равен $4AC$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если его периметр равен $28$, $\angle BAC=120^\circ$.

В треугольнике $ABC$ точки $N$ и $P$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $NP$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
а) Докажите, что периметр треугольника $ABC$ равен $4AC$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если его периметр равен $24$, $\angle BAC=60^\circ$.

В квадрате $ABCD$ на диагонали $BD$ и на сторонах $AB$ и $BC$ отметили соответственно точки $P$, $E$ и $F$ такие, что $BE=BF$, а прямая, проходящая через точку $P$ параллельно прямой $AC$, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника $EBFP$ и в четыре раза меньше площади квадрата.
а) Докажите, что если $BP\cdot BE=\sqrt{2}$, то $AB=2$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $EPF$ и $EBF$.

В квадрате $ABCD$ на диагонали $BD$ и на сторонах $AB$ и $BC$ отметили соответственно точки $P$, $E$ и $F$ такие, что $BE=BF$, а прямая, проходящая через точку $P$ параллельно прямой $AC$, отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника $EBFP$ и в три раза меньше площади квадрата.
а) Докажите, что если $BP\cdot BE=\sqrt{2}$, то $AB=\sqrt{3}$.
б) Найдите отношение площадей треугольников $EPF$ и $EBF$.

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $M$, а диагональ $BD$ — в точке $N$, причём $AM:MC=1:2$, $BN:ND=1:3$.
а) Докажите, что прямая $MN$ делит сторону ромба $BC$ в отношении $1:4$.
б) Найдите сторону ромба, если $MN=\sqrt{12}$.

Прямая, перпендикулярная стороне $AB$ ромба $ABCD$, пересекает его диагональ $AC$ в точке $K$, а диагональ $BD$ — в точке $L$, причём $AK:KC=1:3$, $BL:LD=2:1$.
а) Докажите, что прямая $KL$ делит сторону ромба $AB$ в отношении $1:4$.
б) Найдите сторону ромба, если $KL=6$.

В прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$ вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. К этой окружности параллельно прямой $AB$ проведена касательная, которая пересекает стороны $BC$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. В треугольник $CDE$ вписана окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $r$. Прямые $OO_1$ и $AB$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что $AP:PB=\cos\angle ACB$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $R=6$, $r=4$.

В прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$ вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. К этой окружности параллельно прямой $AB$ проведена касательная, которая пересекает стороны $BC$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. В треугольник $CDE$ вписана окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $r$. Прямые $OO_1$ и $AB$ пересекаются в точке $P$.
а) Докажите, что $AP:PB=\cos\angle ACB$.
б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $R=5$, $r=3$.

В трапеции $KLMN$ с основаниями $KN$ и $ML$ провели биссектрисы углов $LKN$ и $LMN$, которые пересеклись в точке $P$. Через точку $P$ параллельно прямой $KN$ провели прямую, которая пересекла стороны $LK$ и $MN$ соответственно в точках $A$ и $B$. При этом $AB=KL$.
а) Докажите, что трапеция $KLMN$ равнобедренная.
б) Найдите $\cos\angle LKN$, если $KP:PM=2:3$, $AP:PB=1:2$.

В трапеции $KLMN$ с основаниями $KN$ и $ML$ провели биссектрисы углов $LKN$ и $LMN$, которые пересеклись в точке $P$. Через точку $P$ параллельно прямой $KN$ провели прямую, которая пересекла стороны $LK$ и $MN$ соответственно в точках $A$ и $B$. При этом $AB=KL$.
а) Докажите, что трапеция $KLMN$ равнобедренная.
б) Найдите $\cos\angle LKN$, если $KP:PM=4:3$, $AP:PB=3:2$.

На стороне $BC$ ромба $ABCD$ отметили точку $E$ так, что $BE:EC=1:4$. Через точку $E$ перпендикулярно $BC$ провели прямую, которая пересекает диагонали $BD$ и $AC$ в точках $R$ и $M$ соответственно, при этом $BR:RD=1:3$.
а) Докажите, что точка $M$ делит отрезок $AC$ в отношении $2:1$, считая от вершины $C$.
б) Найдите периметр ромба $ABCD$, если $MR=2\sqrt{3}$.

На стороне $BC$ ромба $ABCD$ отметили точку $E$ так, что $BE:EC=1:3$. Через точку $E$ перпендикулярно $BC$ провели прямую, которая пересекает диагонали $BD$ и $AC$ в точках $R$ и $M$ соответственно, при этом $BR:RD=1:2$.
а) Докажите, что точка $M$ делит отрезок $AC$ в отношении $3:2$, считая от вершины $C$.
б) Найдите периметр ромба $ABCD$, если $MR=\sqrt{15}$.