Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В тетради написано более $44$, но менее $52$ целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно $-5$, среднее арифметическое всех положительных из них равно $6$, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно $-12$.
а) Сколько чисел написано в тетради?
б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

В тетради написано более $52$, но менее $65$ целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно $-7$, среднее арифметическое всех положительных из них равно $12$, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно $-24$.
а) Сколько чисел написано в тетради?
б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

В некотором государстве имеют хождение монеты достоинством $7$, $13$ и $25$ гиней. Житель этого государства заплатил за покупку несколько монет и получил в качестве сдачи на $2$ монеты больше.
а) Могла ли покупка стоить $100$ гиней?
б) Могла ли покупка стоить $60$ гиней?
в) Какова минимально возможная стоимость такой покупки?

В некотором государстве имеют хождение монеты достоинством $5$, $13$ и $29$ фунтиков. Житель этого государства заплатил за покупку несколько монет и получил в качестве сдачи на $2$ монеты больше.
а) Могла ли покупка стоить $100$ фунтиков?
б) Могла ли покупка стоить $70$ фунтиков?
в) Какова минимально возможная стоимость такой покупки?

Саша проходит онлайн-курс английского языка в приложении на смартфоне. За прохождение каждого урока он может получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора смартфона уменьшается на $3\%$ при получении $3$ звёзд, на $6\%$ — при получении $2$ звёзд, на $9\%$ — при получении $1$ звезды (все проценты рассчитываются от максимального заряда). Саша прошёл несколько уроков.
а) Мог ли заряд смартфона уменьшиться ровно на $17\%$?
б) Сколько уроков было пройдено, если заряд смартфона уменьшился на $30\%$ и суммарно было получено $10$ звёзд?
в) За прохождение уроков начисляются призовые баллы: $5000$ баллов за $1$ звезду, $7000$ баллов за $2$ звезды, $10\,000$ баллов за $3$ звезды. Какое наибольшее количество баллов мог получить Саша, если заряд смартфона уменьшился на $30\%$ и суммарно было получено $10$ звёзд?

Лёша проходит онлайн-курс английского языка в приложении на смартфоне. За прохождение каждого урока он может получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора смартфона уменьшается на $3\%$ при получении $3$ звёзд, на $6\%$ — при получении $2$ звёзд, на $9\%$ — при получении $1$ звезды (все проценты рассчитываются от максимального заряда). Лёша прошёл несколько уроков.
а) Мог ли заряд смартфона уменьшиться ровно на $65\%$?
б) Сколько уроков было пройдено, если заряд смартфона уменьшился на $42\%$ и суммарно было получено $14$ звёзд?
в) За прохождение уроков начисляются призовые баллы: $4000$ баллов за $1$ звезду, $6000$ баллов за $2$ звезды, $8000$ баллов за $3$ звезды. Какое наибольшее количество баллов мог получить Лёша, если заряд смартфона уменьшился на $42\%$ и суммарно было получено $14$ звёзд?

На доске записано $12$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно $9$, а среднее арифметическое семи наибольших равно $19$.
а) Может ли наименьшее из этих чисел равняться $7$?
б) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться $15$?
в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех этих чисел.

На доске записано $12$ различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно $8$, а среднее арифметическое семи наибольших равно $16$.
а) Может ли наименьшее из этих чисел равняться $6$?
б) Может ли среднее арифметическое всех чисел равняться $13$?
в) Найдите наибольшее значение среднего арифметического всех этих чисел.

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или $3$ письма, или $20$ писем, причём и тех и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могла ли каждая девушка получить ровно $5$ писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Какое наибольшее количество девушек могло быть в такой группе?

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или $6$ писем, или $21$ письмо, причём и тех и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могла ли каждая девушка получить ровно $7$ писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Какое наибольшее количество девушек могло быть в такой группе?

На доске написано $40$ натуральных чисел. Какие-то из них красные, какие-то — синие. Все красные числа чётные, а синие кратны $7$. Все красные числа отличны друг от друга, все синие числа также отличны друг от друга. Однако некоторые красные и синие числа могут быть одинаковыми.
а) Может ли сумма всех чисел, записанных на доске, быть меньше $1640$?
б) Может ли на доске быть только одно синее число, если сумма всех записанных на доске чисел равна $1387$?
в) Какое наибольшее количество синих чисел может быть записано на доске, если сумма всех чисел, записанных на доске, равна $1387$?

Последовательность $a_1,a_2,\ldots,a_9$ состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть $M_k$ — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме $k$-го. Известно, что $M_1=2$, $M_2=3$.
а) Приведите пример такой последовательности, для которой $M_3=3$.
б) Существует ли такая последовательность, для которой $M_3=4$?
в) Найдите наибольшее возможное значение $M_3$.

Уравнение $x^2+px+q=0$ имеет два различных натуральных корня.
а) Найдите все $p$, если $q=38$.
б) Найдите все $q$, если $q+2p=39$.
в) Найдите все корни уравнения, если $q^3-p^3=1343$.

Уравнение $x^2+px+q=0$ имеет два различных натуральных корня.
а) Найдите все $p$, если $q=36$.
б) Найдите все $q$, если $q+2p=37$.
в) Найдите все корни уравнения, если $q^3-p^3=3887$.

На доске написано некоторое натуральное число. Над числом проводят следующее действие: вместо двух цифр справа записывают сумму этих цифр. Повторяя это действие, из данного числа получают однозначное число. Например, из числа $2058$ последовательно получаем $2013$, $204$, $24$, $6$.
а) Можно ли из четырёхзначного числа $\overline{abab}$, где $a$ и $b$ — цифры и $a\ne0$, получить число $5$?
б) Можно ли из шестизначного числа $\overline{ababab}$, где $a$ и $b$ — цифры и $a\ne0$, получить число $5$?
в) Сколько различных трёхзначных чисел можно преобразовать в число $8$?

На доске написано некоторое натуральное число. Над числом проводят следующее действие: вместо двух цифр справа записывают сумму этих цифр. Повторяя это действие, из данного числа получают однозначное число. Например, из числа $2058$ последовательно получаем $2013$, $204$, $24$, $6$.
а) Можно ли из четырёхзначного числа $\overline{abab}$, где $a$ и $b$ — цифры и $a\ne0$, получить число $7$?
б) Можно ли из шестизначного числа $\overline{ababab}$, где $a$ и $b$ — цифры и $a\ne0$, получить число $7$?
в) Сколько различных трёхзначных чисел можно преобразовать в число $8$?

Натуральное число, представимое в виде $\dfrac{1}{2}n(n+1)$, где $n\in\mathbb{N}$, называется треугольным. Рассмотрим треугольные числа, в записи которых нет цифры $9$, таких что если каждую цифру числа увеличить на $1$, то полученное число также является треугольным.
а) Можно ли указать такое двузначное число?
б) Существуют ли такие трёхзначные числа?
в) Найдите все такие четырёхзначные числа.

Натуральное число, представимое в виде $k^2$, где $k\in\mathbb{N}$, называется квадратным. Рассмотрим квадратные числа, в записи которых нет цифры $9$, таких что если каждую цифру числа увеличить на $1$, то полученное число также является квадратным.
а) Можно ли указать такое двузначное число?
б) Существуют ли такие трёхзначные числа?
в) Найдите все такие четырёхзначные числа.

Предприятие планирует $1$ июня $2027$ года взять в банке кредит на $2$ года в размере $8400$ тыс. рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.
Вариант $1$:
— каждый январь долг возрастает на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;
— кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами.
Вариант $2$:
— $1$-го числа каждого квартала, начиная с $1$ июля $2027$ года, долг возрастает на $3\%$ по сравнению с концом предыдущего квартала;
— во втором месяце каждого квартала необходимо выплатить часть долга;
— на конец каждого квартала долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего квартала;
— к $1$ июня $2029$ года кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для предприятия варианту погашения кредита?

Предприятие планирует $1$ июня $2029$ года взять в банке кредит на $2$ года в размере $8{,}8$ млн рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.
Вариант $1$:
— каждый январь долг возрастает на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга;
— кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами.
Вариант $2$:
— $1$-го числа каждого квартала, начиная с $1$ июля $2029$ года, долг возрастает на $6\%$ по сравнению с концом предыдущего квартала;
— во втором месяце каждого квартала необходимо выплатить часть долга;
— на конец каждого квартала долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего квартала;
— к $1$ июня $2031$ года кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для предприятия варианту погашения кредита?

В июле $2027$ года планируется взять кредит на три года в размере $1200$ тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг будет возрастать на $10\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— платежи в $2028$ и $2029$ годах должны быть равными;
— к июлю $2030$ года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что платёж в $2030$ году составит $673{,}2$ тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж $2028$ года?

В июле Максим планирует взять кредит в банке на некоторую сумму. Банк предложил Максиму два варианта кредитования.
$1$-й вариант:
— кредит предоставляется на $3$ года;
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на $20\%$ от суммы долга на конец предыдущего года;
— в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.
$2$-й вариант:
— кредит предоставляется на $2$ года;
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на $24\%$;
— в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.
Когда Максим подсчитал, то выяснил, что по $1$-му варианту кредитования ему придётся выплачивать на $373\,600$ рублей больше, чем по $2$-му варианту. Какую сумму Максим планирует взять в кредит?

В июле Борис планирует взять кредит в банке на некоторую сумму. Банк предложил Борису два варианта кредитования.
$1$-й вариант:
— кредит предоставляется на $3$ года;
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на $10\%$ от суммы долга на конец предыдущего года;
— в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.
$2$-й вариант:
— кредит предоставляется на $2$ года;
— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на $16\%$ от суммы долга на конец предыдущего года;
— в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причём последний платёж должен погасить долг по кредиту полностью.
Когда Борис подсчитал, то выяснил, что по $1$-му варианту кредитования ему придётся выплачивать на $353\,740$ рублей меньше, чем по $2$-му варианту. Какую сумму Борис планирует взять в кредит?

В прямоугольную трапецию $ABCD$ с большим основанием $CD$ и прямыми углами $A$ и $D$ вписана окружность с центром в точке $O$ радиуса $R$. Точка $G$ — точка касания данной окружности и стороны $AB$ трапеции $ABCD$. Биссектриса угла $\angle ADC$ перпендикулярна стороне $BC$ и пересекает её в точке $N$.
а) Докажите, что $BG=(\sqrt{2}-1)R$.
б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника $BNOG$, если $R=6$.

На стороне $BC$ ромба $ABCD$ отметили точку $M$ такую, что $BM:MC=2:3$, $DB=DM$.
а) Докажите, что косинус острого угла ромба равен $0{,}8$.
б) На луче $BH$, где $BH$ — высота треугольника $BDM$, отметили такую точку $P$, что около четырёхугольника $ABPD$ можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности, если $AB=\sqrt{10}$.