Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}3|x+1|-|x-2|+4|x-3|=13,\\x^2-2(a+1)x+a(a+2)=0\end{cases}$

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство

$\dfrac{3x^2+3^a+\log_3^2a-6}{-9x^4+\log_3a-3^a}\leq-1$

имеет ровно одно решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство

$\dfrac{2x^2+4^a+\log_2^2a-12}{4x^4-\log_2a+2^a}\leq-1$

имеет ровно одно решение.

На доске написано $10$ натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно $6055$.
а) Может ли среди написанных на доске чисел быть число $625$?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться $47$?
в) Отношение двух написанных на доске чисел является квадратом натурального числа $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

На доске написано $10$ натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно $6033$.
а) Может ли среди написанных на доске чисел быть число $603$?
б) Может ли отношение двух записанных на доске чисел равняться $43$?
в) Отношение двух написанных на доске чисел является квадратом натурального числа $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

Чтобы сдать экзамен, студенту нужно последовательно пройти $5$ тестов. Он не сдаст экзамен, если покажет плохие результаты более чем в половине тестов. На экзамен пришли $100$ студентов, и оказалось, что в каждом тесте ровно половина из них показала плохие результаты.
а) Могли ли не сдать экзамен ровно $75$ студентов?
б) Могли ли не сдать экзамен ровно $90$ студентов?
в) Какое наибольшее количество студентов могло не сдать экзамен?

Чтобы сдать экзамен, студенту нужно последовательно пройти $5$ тестов. Он не сдаст экзамен, если покажет плохие результаты более чем в половине тестов. На экзамен пришли $100$ студентов, и оказалось, что в каждом тесте ровно половина из них показала плохие результаты.
а) Могли ли не сдать экзамен ровно $75$ студентов?
б) Могли ли не сдать экзамен ровно $90$ студентов?
в) Какое наибольшее количество студентов могло не сдать экзамен?

В группе школьного чата поровну мальчиков и девочек. Мальчики отправляли сообщения девочкам. Каждый мальчик отправил или $3$, или $16$ сообщений, причём и тех и других мальчиков было не менее двух. Возможно, что какой-то мальчик отправил какой-то девочке несколько сообщений.
а) Могло ли оказаться так, что каждая девочка получила ровно $5$ сообщений?
б) Какое наименьшее количество девочек могло быть в группе, если известно, что все они получили сообщений поровну?
в) Пусть все девочки получили различное количество сообщений (возможно, какая-то девочка не получила сообщений вообще). Какое наибольшее количество девочек могло быть в такой группе?

В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или $5$, или $12$ писем, причём и тех и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.
а) Могла ли каждая девушка получить ровно $7$ писем?
б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?
в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Какое наибольшее количество девушек могло быть в такой группе?

На доске написаны три различных однозначных натуральных числа. К каждому из них приписали слева одну и ту же цифру, и сумма этих чисел увеличилась в $n$ раз.
а) Может ли $n$ быть равно $15$?
б) Может ли $n$ быть равно $50$?
в) Найдите наибольшее возможное натуральное значение $n$.

На доске написаны четыре различных однозначных натуральных числа. К каждому из них приписали слева одну и ту же цифру, и сумма этих чисел увеличилась в $n$ раз.
а) Может ли $n$ быть равно $17$?
б) Может ли $n$ быть равно $40$?
в) Найдите наибольшее возможное натуральное значение $n$.

Есть $4$ монеты весом по $3$ грамма и $13$ монет весом по $14$ граммов.
а) Можно ли разложить монеты на две кучки так, чтобы разность суммарных масс монет обеих кучек была равна $20$ граммов?
б) Можно ли разложить монеты на $2$ кучки так, чтобы сумма масс монет обеих кучек была одинаковой?
в) Какая минимальная положительная разность сумм масс монет может быть получена при разделении монет на две кучки?

Есть $4$ монеты весом по $3$ грамма и $15$ монет весом по $20$ граммов.
а) Можно ли разложить монеты на две кучки так, чтобы разность суммарных масс монет обеих кучек была равна $14$ граммов?
б) Можно ли разложить монеты на $2$ кучки так, чтобы сумма масс монет обеих кучек была одинаковой?
в) Какая минимальная положительная разность сумм масс монет может быть получена при разделении монет на две кучки?

В школе перед началом учебного года было сформировано несколько десятых классов, в каждом из которых количество мальчиков относилось к количеству девочек как $5:2$ или как $2:5$. После этого в параллель десятых классов школы приняли ещё трёх мальчиков и двух девочек.
а) Удастся ли теперь разбить всех десятиклассников на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек было $4:3$ или $3:4$?
б) Всех десятиклассников удалось разбить на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек стало $5:3$ или $3:5$. Могло ли при этом получиться ровно пять классов?
в) Всех десятиклассников удалось разбить на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек стало $5:3$ или $3:5$. Было решено отправить всех десятиклассников на экскурсию группами по $56$ человек, при этом одна из групп оказалась неполной. Сколько в этой группе было десятиклассников?

В школе перед началом учебного года было сформировано несколько десятых классов, в каждом из которых количество мальчиков относилось к количеству девочек как $7:4$ или как $4:7$. После этого в параллель десятых классов школы приняли ещё $5$ мальчиков и $3$ девочек.
а) Удастся ли теперь разбить всех десятиклассников на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек было $6:5$ или $5:6$?
б) Всех десятиклассников удалось разбить на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек стало $7:5$ или $5:7$. Могло ли при этом получиться ровно шесть классов?
в) Всех десятиклассников удалось разбить на классы так, чтобы в каждом классе отношение количества мальчиков к количеству девочек стало $7:5$ или $5:7$. Было решено отправить всех десятиклассников на экскурсию группами по $132$ человека, при этом одна из групп оказалась неполной. Сколько в этой группе было десятиклассников?

На новогодней ёлке в группе детского сада Дед Мороз дарит детям конфеты. У него есть $40$ конфет отдельно и $28$ коробок с конфетами по $3$ конфеты в каждой (все конфеты и в коробках, и без коробок — одинаковые). Каждому ребёнку Дед Мороз дарит определённое количество конфет в зависимости от того, как ребёнок проявил себя в течение года, при этом открывать коробки и делить их нельзя.
а) Возможно ли это, если Дед Мороз должен раздать все свои конфеты, в группе $31$ ребёнок и все дети должны получить конфет поровну?
б) В группе $23$ ребёнка. У Пети сегодня день рождения, поэтому ему надо подарить $14$ конфет, а остальные раздать детям поровну. Можно ли это сделать?
в) При каком максимальном количестве детей в группе Дед Мороз в любом случае сможет подарить каждому столько конфет, сколько запланировано? (Конечно, предполагается, что сумма запланированных чисел конфет для всех детей не больше общего количества конфет у Деда Мороза.)

На новогодней ёлке в группе детского сада Дед Мороз дарит детям конфеты. У него есть $50$ конфет отдельно и $30$ коробок с конфетами по $3$ конфеты в каждой (все конфеты и в коробках, и без коробок — одинаковые). Каждому ребёнку Дед Мороз дарит определённое количество конфет в зависимости от того, как ребёнок проявил себя в течение года, при этом открывать коробки и делить их нельзя.
а) Возможно ли это, если Дед Мороз должен раздать все свои конфеты, в группе $35$ детей и все они должны получить конфет поровну?
б) В группе $27$ детей. У Паши сегодня день рождения, поэтому ему надо подарить $10$ конфет, а остальные раздать детям поровну. Можно ли это сделать?
в) При каком максимальном количестве детей в группе Дед Мороз в любом случае сможет подарить каждому столько конфет, сколько запланировано? (Конечно, предполагается, что сумма запланированных чисел конфет для всех детей не больше общего количества конфет у Деда Мороза.)

В нескольких одинаковых бочках налито некоторое, не обязательно одинаковое, количество литров воды. За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.
а) В четырёх бочках налито $31$, $35$, $42$ и $96$ литров воды соответственно. Можно ли не более чем за три переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Всегда ли можно уравнять количество воды в восьми бочках не более чем за шесть переливаний?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в $30$ бочках?

В нескольких одинаковых бочках налито некоторое, не обязательно одинаковое, количество литров воды. За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.
а) В пяти бочках налито $11$, $15$, $18$, $23$ и $53$ литра воды соответственно. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках?
б) Всегда ли можно уравнять количество воды в шести бочках не более чем за четыре переливания?
в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в $20$ бочках?

Гелевая ручка стоит $15$ рублей, а шариковая — $11$ рублей. Нужно купить такие ручки, имея всего $380$ рублей и соблюдая дополнительное условие: число гелевых ручек не должно отличаться от числа шариковых больше чем на четыре.
а) Можно ли при таких условиях купить $28$ ручек?
б) Можно ли при таких условиях купить $31$ ручку?
в) Какое наибольшее число ручек можно купить при таких условиях?

Синий маркер стоит $25$ рублей, а чёрный — $18$ рублей. Нужно купить такие маркеры, имея всего $450$ рублей и соблюдая дополнительное условие: число синих маркеров не должно отличаться от числа чёрных больше чем на восемь.
а) Можно ли при таких условиях купить $21$ маркер?
б) Можно ли при таких условиях купить $24$ маркера?
в) Какое наибольшее число маркеров можно купить при выполнении всех этих условий?

По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит $385$. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на $4$, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.
а) Может ли $N$ равняться $200$?
б) Может ли $N$ равняться $129$?
в) Найдите наибольшее возможное значение $N$.

По кругу расставлено $N$ различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит $330$. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на $4$, а суммы любых двух и любых трёх идущих подряд чисел чётны.
а) Может ли $N$ равняться $180$?
б) Может ли $N$ равняться $103$?
в) Найдите наибольшее возможное значение $N$.

а) Можно ли число $2025$ представить в виде суммы пяти последовательных нечётных натуральных чисел?
б) Можно ли число $2025$ представить в виде суммы семи последовательных нечётных натуральных чисел?
в) Какое наибольшее количество последовательных нечётных натуральных чисел в сумме дают $2025$?

а) Можно ли число $2028$ представить в виде суммы четырёх последовательных чётных натуральных чисел?
б) Можно ли число $2028$ представить в виде суммы пяти последовательных чётных натуральных чисел?
в) Какое наибольшее количество последовательных чётных натуральных чисел в сумме дают $2028$?