Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В равнобедренной трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ равна $a$, а основание $AD=c$ больше основания $BC=b$. Построена окружность, касающаяся сторон $AB$, $CD$ и $AD$.
а) Докажите, что если $b+c>2a$, то окружность пересекает сторону $BC$ в двух точках.
б) Найдите длину той части отрезка $BC$, которая находится внутри окружности, если $c=12$, $b=10$, $a=8$.

В равнобедренной трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ равна $a$, а основание $AD=c$ больше основания $BC=b$. Построена окружность, касающаяся сторон $AB$, $CD$ и $AD$.
а) Докажите, что если окружность не пересекает сторону $BC$, то $b+c<2a$.
б) Найдите длину той части средней линии трапеции $ABCD$, которая находится внутри окружности, если $c=12$, $b=6$, $a=10$.

В параллелограмме $ABCD$ угол $BAC$ вдвое больше угла $CAD$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$. На продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбрана такая точка $E$, что $AE=CE$.
а) Докажите, что $AL:AC=AB:BC$.
б) Найдите $EL$, если $AC=21$, $\operatorname{tg}\angle BCA=0{,}4$.

В параллелограмме $ABCD$ угол $BAC$ вдвое больше угла $CAD$. Биссектриса угла $BAC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$. На продолжении стороны $CD$ за точку $D$ выбрана такая точка $E$, что $AE=CE$.
а) Докажите, что $AB:AL=BC:AC$.
б) Найдите $EL$, если $AC=24$, $\operatorname{tg}\angle BCA=0{,}6$.

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $BC=7$ и $AB=CD=20$ вписан в окружность радиусом $R=16$.
а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.
б) Найдите $AD$.

Четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $BC=14$ и $AB=CD=40$ вписан в окружность радиусом $R=25$.
а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны.
б) Найдите $AD$.

В трапеции $ABCD$ с меньшим основанием $BC$ точки $E$ и $F$ — середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно. В каждый из четырёхугольников $ABEF$ и $ECDF$ можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция $ABCD$ равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции $ABCD$, если $AB=7$, а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник $ABEF$, равен $2{,}5$.

В трапеции $ABCD$ с меньшим основанием $BC$ точки $E$ и $F$ — середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно. В каждый из четырёхугольников $ABEF$ и $ECDF$ можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция $ABCD$ равнобедренная.
б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции $ABCD$, если $BC=16$, а радиус окружности, вписанной в четырёхугольник $ABEF$, равен $7$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (|x|+a^2)^2+(y-4a)(y+4a)=4y-4,\\ 0{,}5y-1=\sqrt{6a} \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все отрицательные значения $a$, при каждом из которых уравнение
$|2x-3a|+|x+a|=ax+0{,}5$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} x^4-(y+a)^4-0{,}5a^2x^2+0{,}5a^2(y+a)^2=0,\\ y=ax \end{cases}$
имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все положительные значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (x+a)^4-y^4-0{,}5a^2(x+a)^2+0{,}5a^2y^2=0,\\ y=ax+\dfrac{a}{2} \end{cases}$
имеет ровно четыре различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$\cos ax=0{,}6$
имеет на отрезке $[\pi;6\pi]$ ровно десять корней.
При решении можно воспользоваться оценкой: $0{,}92<\arccos 0{,}6<0{,}93$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$\cos ax=0{,}4$
имеет на отрезке $[-\pi;4\pi]$ ровно десять корней.
При решении можно воспользоваться оценкой: $1{,}1<\arccos 0{,}4<1{,}2$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (x-y)^2-(3a-8)^2+2(ax-ay+xy)=a^2-16,\\ |xy|=a^2 \end{cases}$
имеет не менее семи различных решений.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} (x+y)^2-(4a+9)^2+9=2(ax-ay+xy),\\ |xy|=a^2 \end{cases}$

имеет не менее семи различных решений.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной линиями $y=\dfrac{a}{2}x+2a$ и $y=a|x|+|a|$, будет меньше $7$, но не меньше $3$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых площадь фигуры, ограниченной линиями $y=\dfrac{a}{2}x+a$ и $y=a|x|-\left|\dfrac{a}{2}\right|$, будет больше $6$, но не больше $12$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} |x|-|y|=a,\\ x-1=\sqrt{y+4} \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} |y|-|x|=a,\\ x-4=\sqrt{9-y} \end{cases}$
имеет ровно два решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (x+4)^2+(4-y)^2=0{,}1a^2-4(x+1)-4(y+1),\\ |2x-3|-|4-y|=5 \end{cases}$
имеет ровно два решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (6-x)^2+(y+6)^2=(0{,}5-a)^2-2(x+y+1),\\ |x+2|-|1-2y|=3 \end{cases}$
имеет ровно четыре решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств
$\begin{cases} (a-x)^2+(y+a)^2\le a+3,\\ x-y\le |3-2a| \end{cases}$
имеет единственное решение.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система неравенств
$\begin{cases} (x+2a)^2+(a+y)^2\le 5-a,\\ x+y\le |a+2| \end{cases}$
имеет единственное решение.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} \sqrt{a+x^2}=\sqrt{a+y^2},\\ x^4+y^2=2x+2|y|+4 \end{cases}$
имеет ровно два решения.