Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Из $k$ кг материала фабрика изготавливает $n$ одинаковых деталей массой $m$ кг каждая, причём $k=nm+q$, где $q$ кг — остатки материала, и $q<m$. После внедрения новых технологий на фабрике начали выпускать детали нового типа, каждая из которых стала на $0{,}1$ кг легче детали старого типа, причём из $18$ кг материала деталей нового типа стали делать на две больше, чем делали деталей старого типа из $21$ кг материала.
а) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление $50$ новых деталей будет достаточно $18$ кг материала, а на $51$ — уже нет?
б) Может ли новая деталь весить столько, что на изготовление $32$ новых деталей будет достаточно $18$ кг материала, а на $33$ — уже нет?
в) Найдите все такие числа $n$, что фабрика может выпускать $n$ новых деталей из $10$ кг материала, не нарушая условия $q<m$.

Найдите значение выражения $\dfrac{t^{-4}\cdot t^8}{t^2}$ при $t=7$.

Найдите значение выражения $(3c)^4:c^{10}\cdot c^5$ при $c=27$.

Найдите значение выражения $(36^5)^2:(6^6)^3$.

Найдите значение выражения $(5^7)^4:(125^4)^2$.

Найдите значение выражения $\sqrt{73^2-55^2}$.

Найдите значение выражения $\sqrt{109^2-91^2}$.

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{19\dfrac{3}{5}}-\sqrt{3\dfrac{3}{5}}\right):\sqrt{6\dfrac{2}{5}}$.

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{6\dfrac{9}{11}}+\sqrt{1\dfrac{1}{11}}\right):\sqrt{1\dfrac{16}{33}}$.

Найдите значение выражения $\log_{\frac{1}{17}}\sqrt{17}$.

Найдите значение выражения $\log_{\sqrt6}^{2}\left(\dfrac{1}{36}\right)$.

Найдите значение выражения $\dfrac{\log_7 245}{2+\log_7 5}$.

Найдите значение выражения $\dfrac{\log_2 320}{\log_2 10+5}$.

Найдите значение выражения $3^{5\sqrt{11}-4}\cdot3^{2-4\sqrt{11}}:3^{\sqrt{11}-3}$.

Найдите значение выражения $4^{3\sqrt5-4}:4^{\sqrt5-2}\cdot4^{1-2\sqrt5}$.

Найдите значение выражения $\dfrac{5\sqrt{9\sqrt m}}{m^{\frac{1}{6}}\cdot m^{\frac{1}{12}}}$ при $m>0$.

Найдите значение выражения $\dfrac{6\sqrt[3]{8n}}{n^{\frac{1}{12}}\cdot n^{\frac{1}{4}}}$ при $n>0$.

Найдите значение выражения $\dfrac{15-\sqrt{221}}{(\sqrt{13}-\sqrt{17})^2}$.

Найдите значение выражения $\dfrac{(\sqrt{15}+\sqrt7)^2}{11+\sqrt{105}}$.

Найдите значение выражения $3-x-\sqrt{x^2-8x+16}$ при $x\le4$.

Найдите значение выражения $\sqrt{(x-8)^2}+\sqrt{x^2-12x+36}$ при $6\le x\le8$.

Найдите значение выражения $\log_a(a^3b^4)$, если $\log_b a=\dfrac{1}{6}$.

Найдите значение выражения $\left(6^{\log_7 3}\right)^{\log_3 7}$.

Найдите значение выражения $\left(4^{\log_5 3}\right)^{\log_4 5}$.

Найдите значение выражения $-8\sqrt2\sin(-135^\circ)\cos60^\circ$.