Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Груз массой $0{,}58$ кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $v = v_0 \sin \frac{2\pi t}{T},$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T = 6 \, \text{с}$ — период колебаний, $v_0 = 2 \, \text{м/с}$. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $E = \frac{mv^2}{2},$ где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через $4$ секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} \cdot 100\%,$ где $T_1$ — температура нагревателя (в кельвинах), $T_2$ — температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре $T_1$ нагревателя КПД этого двигателя будет $15 \%$, если температура холодильника $T_2 = 323 \, \text{К}$? Ответ дайте в кельвинах.

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой $\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} \cdot 100\%$ где $T_1$ — температура нагревателя (в кельвинах), $T_2$ — температура холодильника (в кельвинах). При какой температуре $T_1$ нагревателя КПД этого двигателя будет $25 \%$, если температура холодильника $T_2 = 336 \, \text{К}$? Ответ дайте в кельвинах.

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_\text{п} = 15^\circ\text{C}$, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды $m = 1{,}4 \, \text{кг/с}$. Проходя по трубе расстояние $x$, вода охлаждается от начальной температуры $T_\text{в} = 75^\circ\text{C}$ до температуры $T$, причём $x = \alpha \frac{cm}{\gamma} \log_2 \frac{T_\text{в} - T_\text{п}}{T - T_\text{п}},$ где $c = 4200 \frac{\text{Вт ⋅ с}}{\text{кг ⋅ °С}}$— теплоёмкость воды, $\quad \gamma = 63 \frac{\text{Вт}}{\text{м ⋅ °С}}$ — коэффициент теплообмена, а $\alpha = 1{,}8$ — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна $168$ м.

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_n = 25^\circ C$, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды $m = 0{,}5 \, \text{кг/с}$. Проходя по трубе расстояние $x$, вода охлаждается от начальной температуры $T_b = 81^\circ C$ до температуры $T$, причём $x = \alpha \frac{cm}{\gamma} \log_2 \frac{T_b - T_n}{T - T_n},$ где $c = 4200 \frac{\text{Вт} \cdot \text{с}}{\text{кг} \cdot ^\circ \text{C}}$ — теплоёмкость воды, $\gamma = 42 \frac{\text{Вт}}{\text{м} \cdot ^\circ \text{C}}$ — коэффициент теплообмена, $\alpha = 1{,}1$ — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна $110$ м.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a \, \text{км/ч}^2$. Скорость $v$ вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав $0{,}9$ километра, приобрести скорость $150$ км/ч. Ответ дайте в км/ч².

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 6250 \, \text{км/ч}^2$. Скорость $v$ вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $100 \, \text{км/ч}$.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $v = 2$ моля воздуха объёмом $V_1 = 18 \, \text{л}$, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = \alpha v T \log_2 \frac{V_1}{V_2},$ где $\alpha = 9{,}15 \, \frac{\text{Дж}}{\text{моль·К}}$ постоянная, а $T = 300 \, \text{К}$ — температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в $10980$ Дж.

Водолазный колокол, содержащий $v = 13$ молей воздуха при давлении $p_1 = 1{,}2$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = \alpha v T \log_2 \frac{p_2}{p_1},$ где $\alpha = 15$ Дж/моль·К — постоянная, $T = 300 \, \text{К}$ — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в $117000$ Дж.

Два тела массой $m = 10 \, \text{кг}$ каждое движутся с одинаковой скоростью $v = 8 \, \text{м/с}$ под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = mv^2 \sin^2 \alpha$, где $m$ — масса в килограммах, $v$ — скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом $2\alpha$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергия не менее $480$ джоулей.

Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу со скоростью $v = 3{,}6 \, \text{м/с}$ под острым углом $\alpha$ к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью $u = \frac{m}{m + M} v \cos \alpha \, (\text{м/с}),$ где $m = 75 \, \text{кг}$ — масса скейтбордиста со скейтом, а $M = 375 \, \text{кг}$ — масса платформы. Под каким максимальным углом $\alpha$ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до $0{,}3 \, \text{м/с}$?

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время $t$ падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $h = 5t^2$, где $h$ — расстояние в метрах, $t$ — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло $1{,}3$ с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на $0{,}2$ с? Ответ дайте в метрах.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле $h = 5t^2$, где $h$ — расстояние в метрах, $t$ — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло $0{,}9$ с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на $0{,}4$ с? Ответ дайте в метрах.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A = \rho g l^3$, где $\rho = 1000 \, \text{кг/м}^3$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 9{,}8 \, \text{Н/кг}$), а $l$ — длина ребра куба в метрах. Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше чем $893025$ Н? Ответ дайте в метрах.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: $F_A = \alpha \rho g r^3$, где $\alpha = 4{,}2$ — постоянная, $\rho = 1000 \, \text{кг/м}^3$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10 \, \text{Н/кг}$), $r$ — радиус аппарата в метрах. Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше чем $447216$ Н? Ответ дайте в метрах.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t) = H_0 - \sqrt{2gH_0} kt + \dfrac{g}{2} k^2 t^2$, где $t$ — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_0 = 5 \, \text{м}$ — начальная высота столба воды, $k = \dfrac{1}{700}$ — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10 \, \text{м/с}^2$). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t) = H_0 - \sqrt{2gH_0}kt + \dfrac{g}{2}k^2t^2$, где $t$ — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, $H_0 = 20 \, \text{м}$ — начальная высота столба воды, $k = \dfrac{1}{200}$ — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10 \, \text{м/с}^2$). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C = 5 \cdot 10^{-6} \, \text{Ф}$. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R = 7 \cdot 10^6 \, \text{Ом}$. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0 = 36 \, \text{кВ}$. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением $t = aRC \log_2 \frac{U_0}{U}$(с), где $a = 0,8$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло $84$ с. Ответ дайте в киловольтах.

В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора $C = 2 \cdot 10^{-6} \, \text{Ф}$. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением $R = 6 \cdot 10^6 \, \text{Ом}$. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U_0 = 10 \, \text{кВ}$. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением $t = aR C\log_2 \frac{U_0}{U}$ (с), где $a = 0{,}7$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло $16{,}8$ с. Ответ дайте в киловольтах.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T(t) = T_0 + bt + at^2$, где $t$ — время в минутах, $T_0 = 1400 \, \text{К}, \, a = -25 \, \text{К/мин}^2, \, b = 300 \, \text{К/мин}$. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше $1900$ К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $H(t) = at^2 + bt + H_0$, где $H_0 = 6{,}25 \, \text{м}$ — начальный уровень воды, $a = \frac{1}{49} \, \text{м/мин}^2$ и $b = -\frac{5}{7} \, \text{м/мин}$ — постоянные, $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому $P = \sigma ST^4$, где $P$ — мощность излучения звезды (в ваттах), $\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8} \, \text{Вт/м}^2 \cdot \text{К}^4$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\dfrac{1}{648} \cdot 10^{20} \, \text{м}^2$, а мощность её излучения равна $1{,}824 \cdot 10^{26} \, \text{Вт}$. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому $P = \sigma ST^4$, где $P$ — мощность излучения звезды (в ваттах), $\sigma = 5{,}7 \cdot 10^{-8} \, \frac{\text{Вт}}{\text{м}^2 \cdot \text{К}^4}$ — постоянная, $S$ — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\dfrac{1}{125} \cdot 10^{20} \, \text{м}^2$, а мощность её излучения равна $4{,}56 \cdot 10^{26} \, \text{Вт}$. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_0 \cos(\omega t + \varphi)$, где $t$ — время в секундах, амплитуда $U_0 = 2 \, \text{В}$, частота $\omega = 120^\circ/\text{с}$, фаза $\varphi = -45^\circ$. Датчик настроен так, что, если напряжение в нём не ниже чем $1$ В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_0 \sin(\omega t + \varphi)$, где $t$ — время в секундах, амплитуда $U_0 = 2 \, \text{В}$, частота $\omega = 120^\circ/\text{с}$, фаза $\varphi = 45^\circ$. Датчик настроен так, что, если напряжение в нём не ниже чем $1$ В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?