Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} \sqrt{a+x^2}=\sqrt{a+y^2},\\ x^2+y^2=4|x|-4y+16 \end{cases}$
имеет ровно два решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (xy-3x+9)\cdot\sqrt{y-3x+9}=0,\\ y=4x+a \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (xy-4x+20)\cdot\sqrt{y-4x+20}=0,\\ y=5x+a \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} x^2+y^2=|1{,}6a|,\\ y=ax-a^2 \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} x^2+y^2=|2{,}7a|,\\ y=a(x-a) \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} \left(\dfrac{|x+4|+|x-4|}{2}-1\right)^2+\left(\dfrac{|y+1|+|y-1|}{2}-5\right)^2=25,\\ y=ax-8a \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} \left(\dfrac{|x-1|+|x+1|}{2}-7\right)^2+\left(\dfrac{|y-7|+|y+7|}{2}+1\right)^2=100,\\ y=ax+8 \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{8-2x-x^2}+2+a=a|x|$ имеет ровно один корень.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{3x+18-x^2}-2a=a|x|+1$ имеет ровно один корень.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$\sqrt{15-2x-x^2}=3a|x|+a-3ax-x$
имеет ровно один корень.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} (|x-1|+|x+1|-4)^2+(|y-1|+|y+1|-2)^2=4,\\ ay=x+5 \end{cases}$
имеет одно или два решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$(a-x)^2+4a+1=(2x+1)^2-8|x|$
имеет четыре различных корня.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$2a^2+3ax-2x^2-8a-6x+10|x|=0$
имеет четыре различных корня.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$\dfrac{\log_{0{,}4}(6x^2-13x+5ax-6a^2-13a+6)}{\sqrt{2x-3a+4}}=0$
имеет единственный корень.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение
$\dfrac{\log_{0{,}2}(6x^2+16ax+7x+8a^2+2a-2)}{\sqrt{4-3a-2x}}=0$
имеет единственный корень.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} y^2-x=4-2a,\\ y^4+x^2=a^2-3a+4 \end{cases}$
имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\begin{cases} y^2-x=2a+8,\\ y^4+x^2=a^2-5a-6 \end{cases}$
имеет ровно четыре различных решения.

У Петра Львовича есть коллекция монет. Если все его монеты разложить в одинаковые большие кляссеры*, то потребуется $k$ кляссеров, причём $7$ ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Если же их разложить в одинаковые маленькие кляссеры, то потребуется $k+3$ кляссеров и также $7$ ячеек в одном кляссере останутся пустыми. Известно, что в большом кляссере больше $160$, но меньше $170$ ячеек, а в маленьком — больше $100$, но меньше $120$ ячеек.
а) Может ли $k$ быть равно $4$?
б) Какое наименьшее количество монет может быть в коллекции у Петра Львовича?
в) Какое наибольшее количество монет может быть в коллекции у Петра Львовича?
* Кляссер — альбом (папка) для коллекционирования марок, монет.

Для набора $50$ различных целых чисел выполнено, что сумма любых трёх чисел из этого набора больше суммы любых пяти чисел из этого набора.
а) Может ли одним из этих чисел быть число $-300$?
б) Может ли одним из этих чисел быть число $300$?
в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел этого набора?

В трёхзначном числе $\overline{abc}$ (равно $100a+10b+c$) произведение его цифр $abc$ не равно $0$.
а) Может ли число $\overline{abc}$ быть в девять раз больше произведения $abc$?
б) Может ли число $\overline{abc}$ быть в два раза больше произведения $abc$?
в) Найдите наибольшее возможное отношение числа $\overline{abc}$ к произведению $abc$.

В трёхзначном числе $\overline{abc}$ (равно $100a+10b+c$) произведение его цифр $abc$ не равно $0$.
а) Может ли число $\overline{abc}$ быть в пять раз больше произведения $abc$?
б) Может ли число $\overline{abc}$ быть в $120$ раз больше произведения $abc$?
в) Найдите наименьшее возможное отношение числа $\overline{abc}$ к произведению $abc$.

На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно удвоенной сумме цифр первого, а третье равно утроенной сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна $2025$?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна $2026$?
в) Найдите количество четырёхзначных чисел, которые могут быть первым числом в тройке, при условии, что третье число равно $12$.

На доске написаны три различных натуральных числа. Второе число равно учетверённой сумме цифр первого, а третье равно учетверённой сумме цифр второго.
а) Может ли сумма этих чисел быть равна $2025$?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна $2026$?
в) Найдите количество четырёхзначных чисел, которые могут быть первым числом в тройке, при условии, что третье число равно $16$.

Коля записал на доске $20$ различных натуральных чисел, каждое из которых меньше $1000$. Петя записал на доске квадраты всех чисел, которые записал Коля. Получилось так, что среднее арифметическое любых трёх чисел, которые записал Петя, — целое число. Одно из чисел, записанных на доске, равно $625$.
а) Может ли на доске быть записано число $10816$?
б) Может ли на доске быть записано число $93636$?
в) Какое наибольшее количество пар одинаковых чисел может быть написано на доске?

Коля записал на доске $15$ различных натуральных чисел, каждое из которых меньше $5000$. Петя записал на доске квадраты всех чисел, которые записал Коля. Получилось так, что среднее арифметическое любых трёх чисел, которые записал Петя, — целое число. Одно из чисел, записанных на доске, равно $2401$.
а) Может ли на доске быть записано число $10816$?
б) Может ли на доске быть записано число $40401$?
в) Какое наибольшее количество пар одинаковых чисел может быть написано на доске?