а) Решите уравнение: \(2\sin\left( x+\dfrac{\pi }{3}\right) +\cos{2x} =\sqrt{3}\cos x+1\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[ -3\pi ;-\dfrac{3\pi }{2}\right]\).

а) \(2\sin x\cos\dfrac{\pi }{3} +2\sin\dfrac{\pi }{3}\cos x+\cos 2x =\sqrt{3}\cos x+1\\ \sin x+\sqrt{3}\cos x+\cos 2x=\sqrt{3}\cos x+1\\ \sin x+1-2\sin^{2} x=1\\ \sin x-2\sin^{2} x=0\\ \sin x( 1-2\sin x) =0\\ \left[ \begin{array}{l l} \sin x=0\\ \sin x=\frac{1}{2} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l l}x=\pi n,n\in Z\\ x=\frac{\pi }{6} +2\pi k,\,k\in Z\\ x=\frac{5\pi }{6} +2\pi m,\, m\in Z\end{array} \right.\) б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку: \(\left[ -3\pi ;-\dfrac{3\pi }{2}\right]\). Получим числа: \(-3\pi; -2\pi; -\frac{11\pi}{6}\). Ответ: а) \(x=\pi n, n∈Z; \frac{\pi}{6}+2\pi k, k∈Z; \frac{5\pi}{6}+2\pi m, m∈Z\); б) \(-3\pi ; -2\pi ; -\frac{11\pi }{6}\).

а) Решите уравнение \(\tg^2x+5\tg x+6=0\). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\).

а) \(\tg^2x+5\tg x+6=0\) Укажем ограничение: \(x\ne\frac{\pi}{2}+\pi k,k\in Z\). Обозначим \(\tg x=t\). \(\displaystyle t^{2} +5t+6=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} t=-2\\ t=-3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} tgx=-2\\ tgx=-3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=arctg( -2) +\pi k\\ x=arctg( -3) +\pi k \end{array} \right. ,k\in Z\\ \displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l} x=-arctg\ 2+\pi k\\ x=-arctg\ 3+\pi k \end{array} \right. ,k\in Z\) б) Отберем корни на промежутке \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\) с помощью тригонометрической окружности: Нам подходят числа: \(-\pi-arctg2\\ -\pi-arctg3\) Ответ: а) {\(-arctg 2+\pi k;-arctg 3+\pi k:k\in Z\)}, б) \(-\pi-arctg 2;-\pi-arctg 3\).