Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Дан треугольник $BDC$, в котором $\angle CBD=2\angle BCD$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $BCD$. Около треугольника $BOD$ описана окружность, которая пересекает сторону $CD$ в точке $K$.

а) Докажите, что треугольники $BCD$ и $BKD$ подобны.

б) Найдите $BC$, если $CD=\sqrt{30}$ и $BD=5$.

Дан треугольник $KLM$, в котором $\angle LKM=2\angle KLM$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $KLM$. Около треугольника $KOM$ описана окружность, которая пересекает сторону $LM$ в точке $T$.

а) Докажите, что треугольники $KLM$ и $KTM$ подобны.

б) Найдите $KL$, если $LM=\sqrt{18}$ и $KM=4$.

В треугольнике $ABC$ проведены высота $CH$ и медиана $CM$, угол $ABC$ равен $30^\circ$. Точка $H$ лежит на отрезке $AM$. В треугольнике $BCM$ проведена высота $MP$. Прямые $MP$ и $CH$ пересекаются в точке $L$. Известно, что $CM$ — биссектриса угла $HCB$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $BLM$, если $AC=12$.

В треугольнике $ABC$ проведены высота $CH$ и медиана $CL$, угол $BAC$ равен $30^\circ$. Точка $H$ лежит на отрезке $BL$. В треугольнике $ACL$ проведена высота $LT$. Прямые $LT$ и $CH$ пересекаются в точке $K$. Известно, что $CL$ — биссектриса угла $HCA$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $AKL$, если $AC=10$.

Окружность с центром $O$ касается сторон угла с вершиной $L$ в точках $C$ и $D$. Отрезок $AD$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что $\angle CLD=2\angle ADC$.

б) Найдите расстояние от точки $L$ до прямой $CD$, если $AC=16$, $CD=44$.

Окружность с центром $O$ касается сторон угла с вершиной $P$ в точках $T$ и $Q$. Отрезок $RQ$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что $\angle TPQ=2\angle TQR$.

б) Найдите расстояние от точки $P$ до прямой $TQ$, если $TQ=28$, $TR=8$.

В равностороннем треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. На отрезке $MN$ отмечена точка $L$ так, что $ML:LN=2:3$. Прямая $AL$ пересекает сторону $BC$ в точке $F$.

а) Докажите, что прямая, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $AL$, пересекает отрезок $BF$ в его середине.

б) Найдите длину отрезка $AF$, если $AC=\sqrt{15}$.

В равностороннем треугольнике $BCD$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно. На отрезке $MN$ отмечена точка $L$ так, что $ML:LN=1:4$. Прямая $BL$ пересекает сторону $CD$ в точке $F$.

а) Докажите, что прямая, проходящая через точку $M$ параллельно прямой $BL$, пересекает отрезок $CF$ в его середине.

б) Найдите длину отрезка $BF$, если $CD=\sqrt{21}$.

В четырёхугольник $CDEF$ вписана окружность с центром в точке $O$. Эта окружность касается стороны $EF$ в точке $B$, $\angle DEF=90^\circ$, $\angle DCF=\angle BFC=60^\circ$.

а) Докажите, что точка $B$ лежит на прямой $CO$.

б) Найдите $EF$, если $BC=6\sqrt{3}$.

В четырёхугольник $ACDE$ вписана окружность с центром в точке $O$. Эта окружность касается стороны $DE$ в точке $F$, $\angle CDE=90^\circ$, $\angle CAE=\angle AED=60^\circ$.

а) Докажите, что точка $F$ лежит на прямой $AO$.

б) Найдите $DE$, если $AF=4\sqrt{3}$.

Дан параллелограмм $BCDE$, угол $CBE$ острый. Проведены высоты $CH$ и $CK$, точка $H$ лежит на стороне $BE$, а точка $K$ — на стороне $DE$. На стороне $BE$ отмечена точка $L$. Известно, что $CH=BL$ и $BC=CK$.

а) Докажите, что $CL=HK$.

б) Найдите площадь треугольника $BHK$, если $CH=BL=12$, $BC=CK=13$.

Дан параллелограмм $ABDF$, угол $BAF$ острый. Проведены высоты $BH$ и $BG$, точка $H$ лежит на стороне $AF$, а точка $G$ — на стороне $DF$. На стороне $AF$ отмечена точка $K$. Известно, что $BH=AK$ и $AB=BG$.

а) Докажите, что $BK=HG$.

б) Найдите площадь треугольника $AHG$, если $BH=AK=15$, $AB=BG=17$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $C$. Вершины $N$ и $M$ равнобедренного прямоугольного треугольника $MCN$ с прямым углом $C$ лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая $CN$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $L$. Прямая $CM$ вторично пересекает большую окружность в точке $K$.

а) Докажите, что $ML$ и $NK$ параллельны.

б) Найдите $CN$, если радиусы окружностей равны $6$ и $14$.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $C$. Вершины $A$ и $B$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ лежат на меньшей и большей окружностях соответственно. Прямая $CB$ вторично пересекает меньшую окружность в точке $N$. Прямая $CA$ вторично пересекает большую окружность в точке $M$.

а) Докажите, что $AN$ и $BM$ параллельны.

б) Найдите $BC$, если радиусы окружностей равны $9$ и $12$.

Точка $L$ — середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$. На её стороне $AB$ взята точка $F$ так, что прямые $CF$ и $AL$ параллельны. Отрезки $CF$ и $BL$ пересекаются в точке $O$.

а) Докажите, что $CO=OF$.

б) Найдите отношение оснований трапеции $BC:AD$, если площадь треугольника $BFC$ составляет $\dfrac{16}{49}$ площади всей трапеции $ABCD$.

Точка $M$ — середина боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$. На её стороне $CD$ взята точка $L$ так, что прямые $DM$ и $BL$ параллельны. Отрезки $CM$ и $BL$ пересекаются в точке $O$.

а) Докажите, что $BO=OL$.

б) Найдите отношение оснований трапеции $BC:AD$, если площадь треугольника $BCL$ составляет $\dfrac{25}{64}$ площади всей трапеции $ABCD$.

Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно трапеции $ABCD$. Окружность, проходящая через точки $B$ и $C$, пересекает отрезки $MB$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.

а) Докажите, что $M$, $P$, $Q$ и $N$ лежат на одной окружности.

б) Найдите длину отрезка $QN$, если $BC=4$, $AD=22$, $AB=26$, $CD=28$, а угол $CPD$ — прямой.

Прямая, проходящая через середину $H$ гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$, перпендикулярна $CH$ и пересекает катет $AC$ в точке $L$. При этом $AL:LC=1:2$.

а) Докажите, что $\angle BAC=30^\circ$.

б) Прямые $HL$ и $BC$ пересекаются в точке $T$, а прямые $AT$ и $BL$ — в точке $G$. Найдите $AG$, если $BC=4\sqrt{3}$.

Прямая, проходящая через середину $L$ гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$, перпендикулярна $CL$ и пересекает катет $AC$ в точке $F$. При этом $AF:FC=1:2$.

а) Докажите, что $\angle BAC=30^\circ$.

б) Прямые $FL$ и $BC$ пересекаются в точке $D$, а прямые $AD$ и $BF$ — в точке $K$. Найдите $AK$, если $BC=6\sqrt{3}$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.

б) Найдите отрезок $B_1C_1$, если $\angle A=60^\circ$, радиус окружности равен $7$, а площадь четырёхугольника $BCB_1C_1$ в три раза больше площади треугольника $AB_1C_1$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.

б) Найдите радиус окружности, если $\angle A=60^\circ$, отрезок $B_1C_1=6$, а площадь треугольника $AB_1C_1$ в три раза меньше площади четырёхугольника $BCB_1C_1$.

Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно трапеции $ABCD$. Окружность, проходящая через точки $B$ и $C$, пересекает отрезки $MB$ и $CN$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.

а) Докажите, что $M$, $P$, $Q$ и $N$ лежат на одной окружности.

б) Найдите длину отрезка $QN$, если $BC=4$, $AD=28$, $AB=32$, $CD=48$, а угол $CPD$ — прямой.

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из угла при основании, делит противоположную сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен основанию.

а) Докажите, что эта биссектриса равна основанию треугольника.

б) Найдите боковую сторону треугольника, если его основание равно $12$.

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из угла при основании, делит противоположную сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен основанию.

а) Докажите, что биссектриса делит сторону треугольника в отношении $2:(\sqrt{5}-1)$.

б) Найдите основание треугольника, если его боковая сторона равна $12$.

Высоты тупоугольного треугольника $ABC$ с тупым углом $ABC$ пересекаются в точке $H$. Угол $AHC=60^\circ$.

а) Докажите, что угол $ABC=120^\circ$.

б) Найдите $BH$, если $AB=10\sqrt{3}$, $BC=8\sqrt{3}$.