Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Высоты тупоугольного треугольника $ABC$ с тупым углом $ABC$ пересекаются в точке $H$. Угол $AHC=60^\circ$.

а) Докажите, что угол $ABC=120^\circ$.

б) Найдите $BH$, если $AB=10$, $BC=16$.

Дан остроугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle BAC=2\angle ABC$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Вокруг треугольника $AOC$ описана окружность, которая пересекает сторону $BC$ в точке $K$.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $KAC$ подобны.

б) Найдите $AB$, если $BC=10$ и $AC=6$.

Дан остроугольный треугольник $MPK$. Известно, что $\angle KMP=2\angle MPK$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $MPK$. Вокруг треугольника $MOP$ описана окружность, которая пересекает сторону $PK$ в точке $T$.

а) Докажите, что углы $KMT$ и $PMT$ равны.

б) Найдите $MP$, если $PK=5$ и $MK=3$.

Сумма оснований трапеции равна $61$, а её диагонали равны $11$ и $60$.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Сумма оснований трапеции равна $85$, а её диагонали равны $13$ и $84$.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Окружность с центром $O$, расположенном внутри прямоугольной трапеции $ABCD$, проходит через вершины $B$ и $C$ большей боковой стороны этой трапеции и касается боковой стороны $AD$ в точке $K$. При этом отрезок $AB$ пересекает окружность в точке $T$.

а) Докажите, что угол $KCB$ равен углу $AKB$.

б) Найдите $AB$, если перпендикуляр $KH$ к стороне $BC$ равен $10$, а $DC=25$.

Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ соответственно. Известно, что $AM:MC=AN:NB$. Прямые $BM$ и $CN$ пересекаются в точке $O$.

а) Докажите, что прямая $AO$ делит сторону $BC$ пополам.

б) Найдите отношение площади треугольника $NMO$ к площади треугольника $ABC$, если $AM:MC=1:3$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ и касается его высоты $AH$ в точке $K$. $KF$ — перпендикуляр к прямой $BC$. Длины отрезков $CH$, $HD$, $KF$ — последовательные натуральные числа в возрастающем порядке.

а) Докажите, что $AB=9$.

б) Найдите $AH$, если $AK:KH=1:2$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ и касается его высоты $AH$ в точке $K$. $KF$ — перпендикуляр к прямой $BC$. Длины отрезков $CH$, $HD$, $KF$ составляют возрастающую арифметическую прогрессию.

а) Докажите, что $CH:HD=4:5$.

б) Найдите радиус окружности, если $AK:KH=3:4$ и разность арифметической прогрессии равна $3$.

Точка $O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$, а $BH$ — высота этого треугольника.

а) Докажите, что биссектриса угла $B$ является биссектрисой угла $OBH$.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если высота, биссектриса и медиана, проведённые к стороне $AC$, равны $\dfrac{5\sqrt{7}}{4}$, $\dfrac{10}{3}$ и $\dfrac{\sqrt{46}}{2}$ соответственно.

Точка $O$ — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника $ABC$, а $BH$ — высота этого треугольника.

а) Докажите, что биссектриса угла $B$ является биссектрисой угла $OBH$.

б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $\angle B=90^\circ$, высота $BH=\dfrac{120}{13}$ и биссектриса $BL=\dfrac{120\sqrt{2}}{17}$.

В ромб $ABCD$ вписана окружность, которая делит его большую диагональ $AC$ на три части в отношении $AM:MN:NC=1:3:1$.

а) Докажите, что эта окружность делит меньшую диагональ $BD$ ромба в отношении $BF:FG:GD=1:8:1$.

б) Найдите площадь четырёхугольника $ABFM$, если радиус окружности равен $6$.

В ромб $ABCD$ вписана окружность с центром $O$, которая делит его большую диагональ $AC$ на три части в отношении $AM:MN:NC=4:5:4$.

а) Докажите, что эта окружность делит меньшую диагональ $BD$ ромба в отношении $BF:FG:GD=1:24:1$.

б) Найдите площадь четырёхугольника $BOMK$, если радиус окружности равен $5$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$(|x+a^2|+|x-1|)^2-5(|x+a^2|+|x-1|)+3a^2+3=0$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$(|x-a^2|+|x+1|)^2-9(|x-a^2|+|x+1|)+5a^2+5=0$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$\dfrac{8x^2-6ax+a^2}{a+3x-10}=0$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$\dfrac{3x^2-14ax-5a^2}{2x-3a+7}=0$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$|x^2+ax+1|+|x^2+ax+5|=4$

имеет хотя бы один корень.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$|3x^2-ax+2|+|3x^2-ax+8|=6$

имеет хотя бы один корень.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}y=ax+3a,\\x(x^2+y^2+4y-12)=|x|(2x^2+2y^2-4y)\end{cases}$

имеет ровно два решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}y=5a+ax,\\x(2x^2+2y^2+6y)=|x|(x^2+y^2-6y-27)\end{cases}$

имеет ровно два решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$x\sqrt{x+2a-1}=\sqrt{a(2x^2+(19a-2)x+30a^2-15a)}$

имеет ровно один корень на отрезке $[-2;3]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$2x\sqrt{x-a-1}=\sqrt{a(-5x^2+(11a+5)x-6a^2-6a)}$

имеет ровно один корень на отрезке $[-5;2]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}y(|x|-3)=6,\\2x-y+3a=0\end{cases}$

имеет ровно три решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}y(2-|x|)=4,\\x+2y-4a=0\end{cases}$

имеет ровно три решения.