Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}\dfrac{6x^2+y^2-x^2y+5xy-6y-30x}{\sqrt{y-2x+6}}=0,\\5x+y=3a\end{cases}$

имеет ровно одно решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}\dfrac{6x^2+2y^2-x^2y-4xy-12y+24x}{\sqrt{2y+2x+5}}=0,\\2x=y-a\end{cases}$

имеет ровно три решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$(4a-28)\cos x=a^2-11a+28$

имеет ровно два решения на отрезке $\left[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{4\pi}{3}\right]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$(2a+9)\sin x=a^2+10{,}5a+27$

имеет ровно два решения на отрезке $\left[-\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{2\pi}{3}\right]$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}(2y^2-yx-18y+6x+36)\sqrt{8-x}=0,\\\dfrac{2y-ax+8a-1}{y-1}=1\end{cases}$

имеет ровно два решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}(y^2-yx+y-3x-6)\sqrt{x+7}=0,\\\dfrac{5-ax-7a}{5-y}=1\end{cases}$

имеет ровно $2$ решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}x^2+y^2=a^2,\\x^2-|y|+3a=4\end{cases}$

имеет ровно четыре решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}x^2+y^2=4a^2,\\x^2-|y|+5a=21\end{cases}$

имеет ровно четыре решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$a(4^x-2)^2-(4^x-2)(2a^2-a+6)+6(2a-1)=0$

имеет ровно одно решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$a(3-3^x)^2+(3-3^x)(11a-3a^2-4)+4(3a-11)=0$

имеет ровно одно решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$(a+5)\sin^2x-2(a^2+5a)\sin x+6a^2+21a-45=0$

имеет хотя бы одно решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство

$ax^2-3>2(2-a)x-4a$

выполняется для всех $x\in(-2;-1)$.

При каких значениях параметра $a$ неравенство

$\log_{\frac{1}{a}}(\sqrt{x^2+ax+5}+1)\cdot\log_5(x^2+ax+6)+\log_a3\geq0$

имеет единственное решение?

При каких значениях параметра $a$ неравенство

$\log_a5+\log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{ax^2+2x+6}+1)\cdot\log_a(ax^2+2x+7)\leq0$

имеет единственное решение?

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}\dfrac{(y^2-xy+3x-y-6)\sqrt{x+2}}{\sqrt{7-x}}=0,\\x+y-a=0\end{cases}$

имеет ровно два различных решения.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}\dfrac{(y^2-xy-9y+5x+20)\sqrt{x+4}}{\sqrt{8-y}}=0,\\a=x+y\end{cases}$

имеет единственное решение.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$a\left(x-\dfrac{15}{x}\right)^2-3\left(x-\dfrac{15}{x}\right)-25a+16=0$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$a\left(7x-\dfrac{3}{x}\right)^2-7\left(7x-\dfrac{3}{x}\right)+21a+14=0$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при которых неравенство

$-9<\dfrac{3x^2-ax-6}{x^2-x+1}<6$

выполняется для любого $x$.

Найдите все значения параметра $b$, при которых неравенство

$-6<\dfrac{2x^2+bx-4}{x^2-x+1}<4$

выполняется при любых значениях $x$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$\sqrt{2-x}\bigl(\lg(4x^2-a^2)-\lg(2x-a)\bigr)=0$

имеет хотя бы один корень.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$\sqrt{x^2-2x-3}\cdot\ln(9x^2-a^2)=\sqrt{x^2-2x-3}\cdot\ln(3x+a)$

имеет ровно два корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$\dfrac{x^2+ax-a}{2x^3-3a^3-6ax^2+a^2x}=0$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$\dfrac{2x^2-ax-a}{x^3-3ax^2+4a^3}=0$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases}|x-1|-2|x-4|+3|x-5|=6,\\x^2-2(a+4)x+a^2+8a+15=0\end{cases}$

имеет ровно одно решение.