В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна \(0,3\) . Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна \(0,12\) . Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

\(A\) – событие «к концу дня в первом автомате закончится кофе», \(P(A)=0{,}3.\) \(B\) – событие «к концу дня во втором автомате закончится кофе», \(P(B)=0{,}3.\) \(A\cap B\) – событие «кофе закончится в обоих автоматах», \(P(A\cap B)=0{,}12.\) Найдём вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате: \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).\) Подставим известные значения: \(P(A\cup B)=0{,}3+0{,}3-0{,}12=0{,}48.\) Тогда вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, равна вероятности противоположного события: \(P=1-0{,}48=0{,}52.\) Ответ: \(0{,}52\).

Игральную кость бросили два раза. Известно, что \(1\) очко не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна четырем».

Всего возможных исходов при двух бросках: \(6\cdot6=36.\) Исключим исходы, в которых хотя бы один раз выпала единица: \(36-11=25\) исходов. Благоприятные исходы с суммой \(4\): \((2;2),(3;1),(1;3).\) Так как единица не выпала ни разу, остаётся: \((2;2).\) Всего \(1\) благоприятный исход. Тогда вероятность равна: \(P=\dfrac{1}{25}=0{,}04.\) Ответ: \(0{,}04\).

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна \(0{,}02\). Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна \(0{,}99\). Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна \(0{,}01\). Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Найдём вероятность того, что батарейка исправна: \(1-0{,}02=0{,}98.\) Батарейка будет забракована в двух случаях: 1) батарейка неисправна и система правильно её забракует: \(0{,}02\cdot0{,}99=0{,}0198;\) 2) батарейка исправна и система ошибочно её забракует: \(0{,}98\cdot0{,}01=0{,}0098.\) Тогда вероятность того, что батарейка будет забракована системой контроля, равна: \(P=0{,}0198+0{,}0098=0{,}0296.\) Ответ: \(0{,}0296\).

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы \(8\) очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает \(5\) очков, в случае ничьей — \(3\) очка, если проигрывает — \(0\) очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны \(0,2\).

Вероятность победы в одной игре: \(P(\text{победа})=0{,}2.\) Вероятность поражения в одной игре: \(P(\text{поражение})=0{,}2.\) Тогда вероятность ничьей: \(P(\text{ничья})=1-0{,}2-0{,}2=0{,}6.\) Команда выйдет в следующий круг, если наберёт не менее \(8\) очков. Это возможно в двух случаях: 1) две победы: \(0{,}2\cdot0{,}2=0{,}04;\) 2) одна победа и одна ничья: \(0{,}2\cdot0{,}6+0{,}6\cdot0{,}2=0{,}24.\) Тогда вероятность выхода в следующий круг равна: \(P=0{,}04+0{,}24=0{,}28.\) Ответ: \(0{,}28\).