Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отмечены точки $K$ и $L$ на рёбрах $BB_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $BK=6KB_1$, $B_1L=LA_1$. Через точки $K$ и $L$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $AA_1B_1B$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны $14$.

Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с основанием $ABCD$. Плоскость $\alpha$ проходит через ребро $BC$ и пересекает рёбра $SA$ и $SD$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Известно, что $BC=BK=CL=4KL$.
а) Докажите, что $SK:KA=SL:LD=1:3$.
б) Найдите косинус угла между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания пирамиды.

Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с основанием $ABCD$. Плоскость $\alpha$ проходит через ребро $AB$ и пересекает рёбра $SC$ и $SD$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Известно, что $AB=BK=AM=3KM$.
а) Докажите, что $SK:KC=SM:MD=1:2$.
б) Найдите косинус угла между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания пирамиды.

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ и пересекает ребро $SA$ в точке $P$. Сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является правильным треугольником площадью $\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AC$.
б) В каком отношении точка $P$ делит ребро $SA$, считая от точки $S$, если объём пирамиды равен $\dfrac{256\sqrt{6}}{3}$?

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ и пересекает ребро $SA$ в точке $P$. Сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является правильным треугольником площадью $8\sqrt{3}$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AC$.
б) В каком отношении точка $P$ делит ребро $SA$, считая от точки $S$, если объём пирамиды равен $\dfrac{500\sqrt{6}}{3}$?

Дана правильная призма $ABCA_1B_1C_1$. Точка $L$ лежит на ребре $AB$ и делит его в отношении $AL:LB=3:2$. Точка $G$ лежит на ребре $BC$ и делит его в отношении $BG:GC=4:1$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $G$ и $L$ и пересекает рёбра $B_1C_1$ и $A_1B_1$ в точках $T$ и $P$ соответственно. Известно, что $B_1T:TC_1=3:2$.
а) Докажите, что $GL\perp AB$.
б) Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания призмы, если все рёбра призмы равны.

Дана правильная призма $ABCA_1B_1C_1$. Точка $L$ лежит на ребре $AB$ и делит его в отношении $AL:LB=8:1$. Точка $G$ лежит на ребре $BC$ и делит его в отношении $BG:GC=2:7$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $G$ и $L$ и пересекает рёбра $B_1C_1$ и $A_1B_1$ в точках $T$ и $P$ соответственно. Известно, что $B_1T:TC_1=7:2$.
а) Докажите, что $GL\perp AB$.
б) Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания призмы, если все рёбра призмы равны.

Через вершину $P$ прямого кругового конуса проведена плоскость, которая пересекает основание в точках $C$ и $D$. Высота $PO$ конуса равна $5\sqrt{3}$, дуга $CD$ равна $90^\circ$, а хорда $CD$ равна $10$.
а) Докажите, что угол между плоскостью $PCD$ и плоскостью основания конуса равен $60^\circ$.
б) Определите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

Через вершину $R$ прямого кругового конуса проведена плоскость, которая пересекает основание в точках $M$ и $N$. Высота $RO$ конуса равна $6\sqrt{3}$, дуга $MN$ равна $90^\circ$, а хорда $MN$ равна $12$.
а) Докажите, что угол между плоскостью $RMN$ и плоскостью основания конуса равен $60^\circ$.
б) Определите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона $AB=8$, а боковое ребро $AA_1$ равно $4$. На рёбрах $BC$ и $C_1D_1$ отмечены точки $F$ и $G$ соответственно, причём $BF=C_1G=3$. Плоскость $\alpha$ параллельна прямой $BD$ и содержит точки $F$ и $G$.
а) Докажите, что прямая $A_1C$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка $A_1$, а основание — сечение данной призмы плоскостью $\alpha$.

В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона $AB=9$, а боковое ребро $AA_1$ равно $3$. На рёбрах $BC$ и $C_1D_1$ отмечены точки $F$ и $G$ соответственно, причём $BF=C_1G=4$. Плоскость $\alpha$ параллельна прямой $BD$ и содержит точки $F$ и $G$.
а) Докажите, что прямая $A_1C$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.
б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка $A_1$, а основание — сечение данной призмы плоскостью $\alpha$.

На ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $E$ так, что $A_1E:EA=4:1$, на ребре $BB_1$ — точка $F$ так, что $B_1F:FB=2:3$. Известно, что $AB=6$, $AD=8$, $AA_1=10$.
а) Докажите, что плоскость $EFD_1$ делит ребро $B_1C_1$ на равные отрезки.
б) Найдите угол между плоскостью $EFD_1$ и плоскостью $AA_1B_1$.

На ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ взята точка $E$ так, что $A_1E:EA=2:1$, на ребре $BB_1$ — точка $F$ так, что $B_1F:FB=1:2$, а точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$. Известно, что $AB=9$, $AD=10$, $AA_1=15$.
а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через вершину $D_1$.
б) Найдите угол между плоскостью $EFT$ и плоскостью $BB_1C_1$.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ взяты точки $M$, $K$ и $N$ соответственно. Причём $B_1K:KC_1=1:4$, а $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями $2$ и $5$.
а) Докажите, что $N$ — середина $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен $144$, а её высота равна $3$.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ взяты точки $M$, $K$ и $N$ соответственно. Причём $B_1K:KC_1=1:7$, а $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями $3$ и $12$.
а) Докажите, что $N$ — середина $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен $126$, а её высота равна $7$.

Дан правильный треугольник $ABC$. Точка $D$, не лежащая в плоскости треугольника, взята таким образом, что $\cos\angle DAC=\cos\angle DAB=0{,}3$.
а) Докажите, что прямые $DA$ и $BC$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $DA$ и $BC$, если $AB=3$.

Дан правильный треугольник $ABC$. Точка $D$, не лежащая в плоскости треугольника, взята таким образом, что $\cos\angle DAC=\cos\angle DAB=0{,}4$.
а) Докажите, что прямые $DA$ и $BC$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $DA$ и $BC$, если $AB=4$.

В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $AB=6$. Боковое ребро пирамиды равно $8$. На ребре $AD$ отмечена точка $T$ так, что $AT:TD=1:3$. Через точку $T$ проведена плоскость, параллельная прямым $AC$ и $BD$.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.

В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $AB=12$. Боковое ребро пирамиды равно $18$. На ребре $AD$ отмечена точка $T$ так, что $AT:TD=1:5$. Через точку $T$ проведена плоскость, параллельная прямым $AC$ и $BD$.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.

В тетраэдре $DABC$ точка $M$ лежит на ребре $AB$, причём $AM=\dfrac{1}{3}AB$, точка $N$ — середина медианы $AF$ грани $ABC$, а точка $K$ — середина медианы $AL$ грани $ADB$. Через точки $M$, $K$ и $N$ проведена плоскость.
а) Докажите, что точка $C$ принадлежит плоскости $MKN$.
б) В каком отношении эта плоскость делит объём тетраэдра?

Через точку, делящую ребро правильного тетраэдра в отношении $1:4$, проведена плоскость, перпендикулярная к этому ребру.
а) Докажите, что плоскость сечения делит одно из рёбер в отношении $2:3$.
б) В каком отношении эта плоскость делит объём тетраэдра?

В правильной треугольной пирамиде $DABC$ с основанием $ABC$ сторона основания равна $7\sqrt{3}$, а высота пирамиды равна $24$. На рёбрах $AB$, $AC$, $AD$ соответственно отмечены точки $M$, $N$, $K$ так, что $AM=AN=2\sqrt{3}$ и $AK=\dfrac{50}{7}$.
а) Докажите, что плоскости $MNK$ и $DBC$ параллельны.
б) Найдите расстояние от точки $K$ до плоскости $DBC$.

В правильной треугольной пирамиде $DABC$ с основанием $ABC$ сторона основания равна $5\sqrt{3}$, а высота пирамиды равна $12$. На рёбрах $AB$, $AC$, $AD$ соответственно отмечены точки $M$, $N$ и $K$ так, что $AM=AN=2\sqrt{3}$ и $AK=5{,}2$.
а) Докажите, что плоскости $MNK$ и $DBC$ параллельны.
б) Найдите расстояние от точки $K$ до плоскости $DBC$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $P$ и $S$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $AP=4PA_1$, $A_1S=SB_1$. Через точки $P$ и $S$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную грани $ABB_1A_1$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны $15$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $Q$ и $R$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $AQ=8QA_1$, $A_1R=RB_1$. Через точки $Q$ и $R$ провели плоскость $\beta$, перпендикулярную грани $ABB_1A_1$.
а) Докажите, что плоскость $\beta$ проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\beta$, если все рёбра призмы равны $18$.