Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

а) Решите уравнение $\sin 5x-\sin x=\tg x(\cos 5x+\cos x)$.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\dfrac{5\pi}{2}\right]$.

а) Решите уравнение $\cos 2x-\cos x=\ctg x(\sin 2x+\sin x)$.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$.

а) Решите уравнение $\dfrac{16^{\sin 2x}-64^{\sin x}}{\sqrt{\sin x}}=0$.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{7\pi}{2};5\pi\right]$.

а) Решите уравнение $\dfrac{81^{\sin 2x}-243^{\sin x}}{\sqrt{5\sin x}}=0$.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$.

а) Решите уравнение $4\sin x\sin 2x\sin 3x-\sin 4x=0$.
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\dfrac{5\pi}{2}\right]$.

а) Решите уравнение $4\sin x\sin 2x\sin 3x+\sin 6x=0$.
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

а) Решите уравнение $4\cos^2 x-2\sin x\sin 2x+\cos x-3=0$.
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[-\dfrac{13\pi}{4};-\pi\right)$.

а) Решите уравнение $4\sin^2 x-2\cos x\sin 2x+3\sin x-1=0$.
б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left(-\dfrac{7\pi}{2};-\dfrac{5\pi}{6}\right)$.

а) Решите уравнение $2\sin^2 x-\sqrt{3}\sin x=-6\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)-3\sqrt{3}$.
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$.

а) Решите уравнение $2\cos^2 x+\sqrt{2}\cos x=6\cos(5\pi-x)-3\sqrt{2}$.
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

а) Решите уравнение $\sin^3 x-\sqrt{3}\sin^2 x\cdot\cos x-\sin x\cdot\cos^2 x+\sqrt{3}\cos^3 x=0$.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[0;\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

а) Решите уравнение $\sin^3 x-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin^2 x\cdot\cos x+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cos^3 x-\sin x\cdot\cos^2 x=0$.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{3\pi}{2};-\dfrac{\pi}{2}\right]$.

а) Решите уравнение $4\sin^3 x+12\cos^2 x+5\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)-12=0$.
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{5\pi}{2};-\pi\right]$.

а) Решите уравнение $4\cos^3 x-8\sin^2 x-3\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)+8=0$.
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{7\pi}{2};5\pi\right]$.

а) Решите уравнение $25^{\sin 2x}=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{\cos x}$.
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{3}\right]$.

а) Решите уравнение $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{\sin 2x}=8^{\cos x}$.
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{\pi}{3}\right]$.

а) Решите уравнение $1+\sin x-\cos x-\sin 2x+\cos 2x=0$.
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi;-\dfrac{3\pi}{2}\right]$.

а) Решите уравнение $\cos^2 x\cdot(\ctg x+1)=3\cos x\cdot(\sin x-\cos x)+3$.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{5\pi}{2};4\pi\right]$.

а) Решите уравнение $\sin^2 x\cos x+\sin x\cos^2 x=\cos 2x$.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\pi;0\right]$.

а) Решите уравнение $\sin^2 x\cos x-\sin x\cos^2 x=-3\cos 2x$.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\pi;0\right]$.

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ и пересекает ребро $SA$ в точке $K$. Сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является правильным треугольником площадью $9\sqrt{3}$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AC$.
б) В каком отношении точка $K$ делит ребро $SA$, считая от точки $S$, если объём пирамиды равен $\dfrac{128\sqrt{3}}{3}$?

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ и пересекает ребро $SA$ в точке $K$. Сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является правильным треугольником площадью $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AC$.
б) В каком отношении точка $K$ делит ребро $SA$, считая от точки $S$, если объём пирамиды равен $\dfrac{32\sqrt{6}}{3}$?

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $SA$ равно $7$. На ребре $AC$ отмечена точка $M$, а на продолжении ребра $BC$ за точку $C$ — точка $N$ так, что $CM=CN=2$.
а) Докажите, что сечение пирамиды $SABC$ плоскостью $SNM$ является равнобедренным треугольником.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABC$ плоскостью $SNM$.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна $9$, а боковое ребро $SA$ равно $10$. На ребре $AC$ отмечена точка $M$, а на продолжении ребра $BC$ за точку $C$ — точка $N$ так, что $CM=CN=3$.
а) Докажите, что сечение пирамиды $SABC$ плоскостью $SNM$ является равнобедренным треугольником.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABC$ плоскостью $SNM$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отмечены точки $K$ и $L$ на рёбрах $BB_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $BK=4KB_1$, $B_1L=LA_1$. Через точки $K$ и $L$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную грани $AA_1B_1B$.
а) Докажите, что плоскость проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны $10$.