Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Даны векторы $\\\vec{a}(7;-5)$, $\\\vec{b}(-1;7)$ и $\\\vec{c}(4;-3)$. Найдите длину вектора $\\\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}$.

На координатной плоскости изображены векторы $\\\vec{a}$ и $\\\vec{b}$. Найдите скалярное произведение $\\\vec{a}\cdot \vec{b}$.

Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $P=\sigma ST^{4}\frac{Вт}{м^{2} \cdot К^{4}}$, где $P$ - мощность излучения звезды (в ваттах), $\sigma =5,7\cdot 10^{−8}$ - постоянная, $S$ - площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а $T$ - температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $\frac{1}{18} \cdot 10^{21}~ м^{2}$, мощность ее излучения равна $4,104 \cdot 10^{27}$ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объем и давление связанны соотношением $p_{1} V_{1}^{1,4}=p_{2} V_{2}^{1,4}$, где $p_{1}$ и $p_{2}$ - давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, $V_{1}$ и $V_{2}$ - объем газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объем газа равен $294,4$ л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объема нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало $128$ атмосфер? Ответ дайте в литрах.

Сила тока в цепи $I$ (в A) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: $I=\frac{U}{R}$, где $U$ - напряжение в вольтах, $R$ - сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает $2,5$ А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в $220$ вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.