Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0=295$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $f$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $f(v)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}$ (Гц), где $c$ - скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на $5$ Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c=300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Найдите длину вектора $2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$.

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{c}$. Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.

Длины векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равны $3$ и $5$, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(14;-2)$ и $\overrightarrow{b}(5;-8)$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$.