Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $Q$ и $R$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $AQ=8QA_1$, $A_1R=RB_1$. Через точки $Q$ и $R$ провели плоскость $\beta$, перпендикулярную грани $ABB_1A_1$.
а) Докажите, что плоскость $\beta$ проходит через вершину $C_1$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\beta$, если все рёбра призмы равны $18$.

Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, точка $M$ — середина ребра $CC_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B_1$, $A$ и $M$.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$ равна $8$ и $AB=3$.

Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, точка $M$ — середина ребра $CC_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B_1$, $A$ и $M$.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $\alpha$ является равнобедренным треугольником.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью $\alpha$ равна $10$ и $AB=4$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $8$, а боковое ребро — $8\sqrt{2}$. Через вершину $C$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная прямой $AS$ и пересекающая ребро $AS$ в точке $M$.
а) Докажите, что отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит высоту $SH$ пирамиды $SABCD$, равно $2:1$, считая от точки $S$.
б) Найдите расстояние между прямыми $SC$ и $BM$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $10$, а боковое ребро равно $10\sqrt{2}$. Через вершину $C$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная прямой $AS$ и пересекающая ребро $AS$ в точке $M$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит высоту $SH$ пирамиды $SABCD$ в отношении $2:1$, считая от вершины $S$.
б) Найдите угол между прямыми $SC$ и $BM$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ проведено сечение плоскостью $\alpha$ через точку $M$ на ребре $AS$ параллельно плоскости $SBD$. Все рёбра пирамиды равны между собой.
а) Докажите, что рёбра $AS$ и $SC$ перпендикулярны.
б) Найдите отношение $SM:MA$, если площадь основания пирамиды равна $2025$, а площадь сечения пирамиды плоскостью $\alpha$ равна $162$.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ проведено сечение плоскостью $\alpha$ через точку $M$ на ребре $AS$ параллельно плоскости $SBD$. Сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является прямоугольным треугольником.
а) Докажите, что $\angle ASB=60^\circ$.
б) Найдите отношение $SM:MA$, если объём пирамиды $SABCD$ равен $675$, а объём пирамиды, отсекаемой плоскостью $\alpha$ от пирамиды $SABCD$, равен $100$.

В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $AA_1$ взята точка $E$ так, что $AE=\dfrac{1}{4}$. На ребре $BC$ взята точка $F$ так, что $BF=\dfrac{2}{5}$. Через центр куба $O$ и точки $E$ и $F$ проведена плоскость $\alpha$.
а) Пусть $K$, $L$ и $M$ — точки пересечения плоскости $\alpha$ с прямыми $B_1C_1$, $BB_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Докажите, что $B_1K=\dfrac{6}{5}$, $B_1L=\dfrac{3}{2}$ и $B_1M=2$.
б) Найдите расстояние от вершины $B_1$ до плоскости $\alpha$.

В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $AA_1$ взята точка $E$ так, что $AE=\dfrac{1}{3}$. На ребре $BC$ взята точка $F$ так, что $BF=\dfrac{3}{5}$. Через центр куба $O$ и точки $E$ и $F$ проведена плоскость $\alpha$.
а) Пусть $K$, $L$ и $M$ — точки пересечения плоскости $\alpha$ с прямыми $B_1C_1$, $BB_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Докажите, что $B_1K=\dfrac{6}{5}$, $B_1L=2$ и $B_1M=1{,}5$.
б) Найдите расстояние от вершины $B_1$ до плоскости $\alpha$.

В правильном тетраэдре $DABC$ расположен другой правильный тетраэдр $OA_0B_0C_0$ так, что одна из его вершин совпадает с центром $O$ грани $ABC$, три другие вершины $A_0$, $B_0$ и $C_0$ лежат на апофемах $DA_1$, $DB_1$ и $DC_1$ боковых граней исходного тетраэдра соответственно.
а) Докажите, что отношение рёбер этих тетраэдров равно $3:1$.
б) Найдите объём усечённой пирамиды $A_1B_1C_1A_0B_0C_0$, если $AB=6$.

В правильном тетраэдре $DABC$ расположен другой правильный тетраэдр $OA_0B_0C_0$ так, что одна из его вершин совпадает с центром $O$ грани $ABC$, три другие вершины $A_0$, $B_0$ и $C_0$ лежат на рёбрах $DA$, $DB$ и $DC$ исходного тетраэдра соответственно.
а) Докажите, что отношение рёбер этих тетраэдров равно $2:1$.
б) Найдите объём четырёхугольной пирамиды $OBCC_0B_0$, если $AB=12$.

В пирамиде $SABCD$ с высотой $SA$ основанием является квадрат $ABCD$, точка $K$ — середина ребра $SB$. Прямая $DK$ пересекается с плоскостью $SAC$ в точке $N$.
а) Докажите, что прямая $a$, проходящая через точку $N$ параллельно прямой $SC$, делит ребро $SA$ в отношении $1:2$.
б) Найдите угол между прямыми $DK$ и $SC$, если $AB=2\sqrt{2}$, $SA=3$.

Ребро $AB$ основания $ABCD$ правильной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $2\sqrt{6}$, а высота $AA_1$ равна $2\sqrt{7}$. На рёбрах $AB$ и $C_1D_1$ отметили точки $N$ и $K$ соответственно так, что $N$ — середина ребра, а $C_1K:KD_1=1:2$. Через точки $N$ и $K$ параллельно прямой $BD$ провели плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что прямая $CA_1$ перпендикулярна плоскости $\alpha$.
б) Найдите объём пирамиды с вершиной в точке $C$ и основанием, которое образовано сечением призмы плоскостью $\alpha$.

В правильной пирамиде $SABCD$ с высотой $SO$ точка $K$ — середина ребра $SB$. Прямая $DK$ пересекается с плоскостью $SAC$ в точке $N$.
а) Докажите, что прямая $a$, проходящая через точку $N$ параллельно прямой $SC$, делит ребро $SA$ в отношении $1:2$.
б) Найдите расстояние между прямыми $DK$ и $SC$, если $AB=2$, $SO=3$.

В правильной пирамиде $SABCD$ с высотой $SO$ точка $K$ — середина ребра $SB$. Прямая $DK$ пересекается с плоскостью $SAC$ в точке $N$.
а) Докажите, что прямая $a$, проходящая через точку $N$ параллельно прямой $SC$, делит ребро $SA$ в отношении $1:2$.
б) Найдите расстояние между прямыми $DK$ и $SC$, если $AB=2\sqrt{3}$, $SO=9$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ высота $AA_1$ в $1{,}25$ раза больше стороны $AB$ основания $ABC$. Через прямую $A_1C_1$ перпендикулярно плоскости $ACB_1$ провели плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $BB_1$ в отношении $12:13$.
б) Найдите угол между плоскостями $BCC_1$ и $\alpha$.

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ высота $AA_1$ в $1{,}5$ раза больше стороны $AB$ основания $ABC$. Через прямую $A_1C_1$ перпендикулярно плоскости $ACB_1$ провели плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $BB_1$ в отношении $1:2$.
б) Найдите угол между плоскостями $BCC_1$ и $\alpha$.

В правильной пирамиде $SABCDEF$ высота $SO$ в $3$ раза больше стороны основания. На ребре $SC$ отметили такую точку $N$, что треугольник $BDN$ равносторонний.
а) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $SC$.
б) Найдите угол между плоскостями $AFN$ и $ABC$.

В правильной пирамиде $SABCDEF$ высота $SO$ в $3$ раза больше стороны основания. На ребре $SC$ отметили такую точку $N$, что треугольник $BDN$ равносторонний.
а) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $SC$.
б) Найдите угол между плоскостями $FDN$ и $ABC$.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $D$ и $E$ делят соответственно рёбра $AC$ и $SB$ так, что $AD:DC=SE:EB=1:2$. На продолжении ребра $SC$ за точку $S$ отмечена точка $O$. Прямые $OD$ и $OE$ пересекают рёбра $AS$ и $BC$ в точках $P$ и $F$ соответственно, причём $BF=FC$.
а) Докажите, что отрезки $DE$ и $PF$ пересекаются.
б) Найдите отношение $AP:PS$.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $D$ и $E$ делят соответственно рёбра $AC$ и $SB$ так, что $AD:DC=SE:EB=1:3$. На продолжении ребра $SC$ за точку $S$ отмечена точка $O$. Прямые $OD$ и $OE$ пересекают рёбра $AS$ и $BC$ в точках $P$ и $F$ соответственно, причём $CF=2FB$.
а) Докажите, что отрезки $DE$ и $PF$ пересекаются.
б) Найдите отношение $AP:AS$.

В правильной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ на ребре $CC_1$ отметили точку $K$ так, что $CK:KC_1=3:1$. Через точки $K$ и $D_1$ параллельно прямой $DF_1$ провели плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ пересекает ребро $B_1C_1$ в такой точке $N$, что $B_1N:NC_1=1:2$.
б) Найдите угол между плоскостями $EFF_1$ и $\alpha$, если $AB=\sqrt{10}$, $AA_1=4$.

В правильной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ на ребре $CC_1$ отметили точку $K$ так, что $CK:KC_1=4:1$. Через точки $K$ и $D_1$ параллельно прямой $DF_1$ провели плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ пересекает ребро $B_1C_1$ в его середине.
б) Найдите угол между плоскостями $AFF_1$ и $\alpha$, если $AB=4$, $AA_1=15$.

Основанием пирамиды $SABCD$ является квадрат $ABCD$, ребро $SA$ является высотой пирамиды. На рёбрах $BC$, $CD$ и $SC$ соответственно отмечены точки $K$, $N$ и $F$ так, что $BK:KC=CN:ND=1:2$, $CF:FS=2:7$.
а) Докажите, что плоскости $ABC$ и $FNK$ перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды $AFNK$, если $AB=AS=6$.

Основанием пирамиды $SABCD$ является квадрат $ABCD$, ребро $SA$ является высотой пирамиды. На рёбрах $BC$, $CD$ и $SC$ соответственно отмечены точки $K$, $N$ и $F$ так, что $BK:KC=CN:ND=3:1$, $CF:FS=3:13$.
а) Докажите, что прямая $AS$ параллельна плоскости $FNK$.
б) Найдите объём пирамиды $SFNK$, если $AB=AS=8$.