Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

В правильной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона $AB$ основания $ABC$ равна $2\sqrt{2}$, а боковое ребро $AA_1$ равно $3\sqrt{2}$. На рёбрах $AA_1$, $BB_1$ и $A_1C_1$ соответственно отмечены точки $N$, $K$ и $P$ так, что $AN:NA_1=B_1K:KB=C_1P:PA_1=2:1$. Плоскость $KNP$ пересекает ребро $B_1C_1$ в точке $F$.
а) Докажите, что точка $F$ — середина ребра $B_1C_1$.
б) Найдите расстояние от точки $F$ до плоскости $CNK$.

В правильной пирамиде $SABC$ с вершиной $S$ на стороне основания $AC$ и боковом ребре $SB$ отметили соответственно точки $E$ и $N$ такие, что $AE:EC=SN:NB=1:2$. Через точки $E$ и $N$ параллельно прямой $AB$ провели плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что сечением пирамиды $SABC$ плоскостью $\alpha$ является равнобедренная трапеция.
б) Плоскость $\alpha$ разделила пирамиду $SABC$ на два многогранника. Найдите объём того из них, в котором одной из вершин является точка $A$, если $AB=6$, $AS=3\sqrt{3}$.

В правильной пирамиде $SABC$ на стороне $BC$ основания $ABC$ и боковом ребре $AS$ отметили соответственно точки $P$ и $K$ такие, что $BP:PC=AK:KS=2:1$. Через точки $P$ и $K$ параллельно прямой $AC$ провели плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что сечением пирамиды $SABC$ плоскостью $\alpha$ является равнобедренная трапеция.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $\alpha$ разделила пирамиду $SABC$.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K:KC_1=1:3$. Четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями $2$ и $4$.
а) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен $24$, а высота призмы равна $3$.

В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K:KC_1=2:3$. Четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями $4$ и $5$.
а) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC$.
б) Найдите площадь трапеции $AMKN$, если объём призмы равен $20$, а высота призмы равна $2$.

Основанием правильной треугольной пирамиды $PABC$ является треугольник $ABC$, $AP=1{,}3AB$. Через точку $A$ перпендикулярно апофеме грани $BCP$ проведена плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит апофему грани $BCP$ в отношении $119:25$, считая от точки $P$.
б) Найдите угол между прямой $AC$ и плоскостью $\alpha$.

Основанием правильной треугольной пирамиды $PABC$ является треугольник $ABC$, $AP:AB=3:4$. На апофеме грани $BCP$ отметили точку $K$, которая делит эту апофему в отношении $1:4$, считая от точки $P$. Через точки $A$ и $K$ параллельно прямой $BC$ проведена плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна апофеме грани $BCP$.
б) Найдите угол между прямой $AC$ и плоскостью $\alpha$.

На рёбрах $AB$ и $B_1C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $T$ и $K$ так, что $AT:TB=2:1$ и $B_1K=KC_1$. Через точки $K$ и $C$ параллельно прямой $TB_1$ проведена плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $AB$ является серединой отрезка $AT$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если $AB=42$, $AA_1=3\sqrt{7}$.

На рёбрах $AB$ и $A_1C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ отметили соответственно точки $T$ и $K$ так, что $AT:TB=1:2$ и $A_1K=KC_1$. Через точки $K$ и $C$ параллельно прямой $TA_1$ проведена плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $AB$ делит это ребро в отношении $2:1$, считая от точки $A$.
б) Найдите площадь сечения призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если $AB=6\sqrt{7}$, $AA_1=3$.

Основанием четырёхугольной пирамиды $SABCD$ является квадрат $ABCD$, ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания. Через середины рёбер $BC$ и $CD$ параллельно прямой $SC$ проведена плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что точка пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $AS$ делит это ребро в отношении $1:3$, считая от вершины $S$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AB=4$, $AS=3\sqrt{2}$.

Основанием четырёхугольной пирамиды $SABCD$ является квадрат $ABCD$, ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания и равно $6$. На ребре $SA$ отмечена точка $K$ такая, что $KS=1{,}5$. Через точку $K$ и середины рёбер $BC$ и $CD$ проведена плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна прямой $CS$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AB=4\sqrt{2}$.

Основанием четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $\angle BAD=90^\circ$, а основания $AB$ и $CD$ соответственно равны $c$ и $b$.
а) Докажите, что если $c=4b$, то объёмы многогранников, на которые призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$ делит плоскость $CDA_1$, относятся как $3:2$.
б) Объёмы многогранников $DA_1D_1CB_1C_1$ и $ADA_1BCB_1$, на которые призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$ делит плоскость $CDA_1$, соответственно равны $30$ и $20$. Найдите высоту призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если $CD=5$, а $AD=4$.

Основанием четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является прямоугольная трапеция $ABCD$, в которой $\angle BAD=90^\circ$, а основания $AB$ и $CD$ соответственно равны $c$ и $b$.
а) Докажите, что если $c=2b$, то объёмы многогранников, на которые призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$ делит плоскость $CDA_1$, относятся как $5:4$.
б) Объёмы многогранников $DA_1D_1CB_1C_1$ и $ADA_1BCB_1$, на которые призму $ABCDA_1B_1C_1D_1$ делит плоскость $CDA_1$, соответственно равны $50$ и $40$. Найдите высоту призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$, если $CD=3$, а $AD=2$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO$.
а) Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AD=9$, $BC=7$, $SO=6$, а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD$.

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO$.
а) Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ является трапецией.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AD=8{,}5$, $BC=7{,}5$, $SO=6{,}5$, а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD$.

В прямой пятиугольной призме $ABCDEA_1B_1C_1D_1E_1$ высота $AA_1$ равна $3\sqrt{5}$, $BC=CD=6$, а четырёхугольник $ABDE$ — прямоугольник со сторонами $AB=5$ и $AE=4\sqrt{5}$.
а) Докажите, что плоскости $CA_1E_1$ и $AED_1$ перпендикулярны.
б) Найдите объём многогранника $CAED_1B_1$.

В прямой пятиугольной призме $ABCDEA_1B_1C_1D_1E_1$ высота равна $2\sqrt{3}$, треугольник $BCD$ — правильный, со стороной $6$, а четырёхугольник $ABDE$ — равнобедренная трапеция со сторонами $AB=DE=2$, $BD=6$ и $AE=4$.
а) Докажите, что плоскости $CA_1E_1$ и $AED_1$ перпендикулярны.
б) Найдите объём многогранника $CAED_1B_1$.

В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром $\sqrt{13}$ и стороной основания $6$ вписан шар. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ и шар пересекаются более чем в одной точке.
б) Найдите площадь сечения шара плоскостью $\alpha$.

В правильную треугольную пирамиду с боковым ребром $4$ и стороной основания $2\sqrt{3}$ вписан шар. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ и шар не имеют общих точек.
б) Найдите расстояние от центра шара до плоскости $\alpha$.

Решите неравенство $\dfrac{4^x-3\cdot2^{x+1}+5}{\log_{\frac{1}{5}}^2(3^x-2)-\log_{\frac{1}{5}}(3^x-2)^2+1}\leq 0$.

Решите неравенство $\dfrac{27x^3+9x^2-3x-1}{16^{x^2}-4\cdot4^{x^2}+4}\geqslant0$.

Решите неравенство $2\log_4(x^2-4)-\log_{0{,}5}\dfrac{x-2}{x+2}\geq -3$.

Решите неравенство $\dfrac{\sqrt{4-x}}{2^{x^2-5}-17\cdot2^{0{,}5x^2-4{,}5}+1}\leq 0$.

Решите неравенство $\dfrac{\sqrt{x+5}}{2^{x^2-6}-9\cdot2^{0{,}5x^2-4{,}5}+1}\geq 0$.

Решите неравенство $\sqrt{x^2-7}<1+\dfrac{4}{5-\sqrt{x^2-7}}$.