На доске было написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньше первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стерли. а) Пусть среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 7. Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14? б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13? в) Пусть среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 7. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

а) Пусть \(n\) – количество единиц. То \(30 – n\) – количество не единиц. Заметим, что сумма других чисел будет равна \(210 – n\). Следовательно, получим неравенство: \(\frac{210-n}{2(30-n)}>14\), возьмём пример \(n\), чтобы неравенство было верно, берем \(n = 24\). Тогда подходят числа: 24 единиц и 6 раз по 31. б) Здесь сумма всех чисел равна 810. Аналогично пункту (а), получаем два неравенства: \(\displaystyle \begin{cases} \frac{810-n}{2} >( 30-n) \cdot 12\\ \frac{810-n}{2} -90\\ 25n 0\), нужно наибольшее значение, где \(n\) - наибольшее. Так как \(n\ne 30\), начнем перебор с 29, так же возьмем переменную \(S\) - сумма не единиц: Пусть \(n = 29\): \(29 + S = 210\), \(S = 210 – 29 > 40\) – не подходит. Пусть \(n = 28\): \(28 + S = 210\), \(S = 210 – 28 > 80\) – не подходит. Пусть \(n = 27\): \(27 + S = 210\), \(S = 210 – 27 > 120\) – не подходит. Пусть \(n = 26\): \(26 + S = 210\), \(S = 210 – 26 > 160\) – не подходит. Пусть \(n = 25\): \(25 + S = 210\), \(S = 210 – 25 = 185 < 200\) - подходит. Сумма 5 чисел может быть, это 5 чисел по 37. Получаем, что 5 чисел по 37 и 25 чисел по 1. Получаем: \(\frac{210-25}{2\cdot 5}=18,5\). Ответ: а) да, б) нет, в) 18,5.

В течение \(n\) дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше \(6\). При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день. а) Может ли \(n\) быть больше \(5\)? б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше \(3\), а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше \(4\)? в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна \(6\). Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

а) Пусть в день с номером \(k\) записано \(n\) чисел \(3\) и \(12 - 2k\) чисел 1. Тогда сумма чисел в этот день равна \(12+k\). Таким образом, \(n\) может быть равным 6. б) Пусть \(n=4\), в первый день на доску записали число 2 и двенадцать чисел 3, во второй день - двенадцать чисел 4, в третий день - шесть чисел 4 и пять чисел 5, а в четвёртый день - десять чисел 5. Тогда сумма чисел в первый день равна 38, во второй - 48, в третий - 49, а в четвёртый - 50. Среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, равно \(2\frac{12}{13} 4\). в) Заметим, что в первый день на доску было записано не более 6 чисел. Значит, если \(n >5\), то в шестой день на доску было записано одно число. Но это невозможно, поскольку это число должно быть больше суммы чисел, записанных в первый день, равной 6. Таким образом, \(n\leqslant 5\). Если \(n =5\), то в пятый день на доску было записано не более двух чисел, а их сумма не превосходит 10. Значит, суммы чисел, записанных в четвёртый, третий и второй дни, не превосходят 9, 8 и 7 соответственно, а сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 40. Если \(n=4\), то в четвёртый день на доску было записано не более трёх чисел, а их сумма не превосходит 15. Значит, суммы чисел, записанных в третий и второй дни, не превосходят 14 и 13 соответственно, а сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 48. Если \(n=3\), то в третий день на доску было записано не более четырёх чисел, а их сумма не превосходит 20. Значит, сумма чисел, записанных во второй день, не превосходит 19, а сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 45. Если \(n=2\), то во второй день на доску было записано не более пяти чисел, а их сумма не превосходит 25. Значит, сумма всех записанных чисел в этом случае не превосходит 31. Если \(n=1\), то сумма всех записанных чисел равна 6. Таким образом, сумма всех записанных чисел не превосходит 48. Покажем, что сумма всех записанных чисел могла равняться 48. Пусть \(n=4\), и в первый день быта записаны числа 1, 1, 1, 1, 1, 1; во второй - 2, 2, 3, 3, 3; в третий - 3, 3, 4, 4; в четвёртый - 5, 5, 5. Тогда суммы записанных в эти дни чисел соответственно равны 6, 13, 14 и 15, то есть числа удовлетворяют условиям задачи, а их сумма равна 48. Ответ: а) да, б) да, в) 48.

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(\left|x+\dfrac{a^2}{x}+1\right|+\left|x+\dfrac{a^2}{x}-1\right|=2\) имеет хотя бы один корень.

Сделаем замену: \(x+\dfrac{a^{2}}{x} =t\). Получаем следующее уравнение \(|t+1|+|t-1|=2\). Посмотрим все возможные раскрытия: \(t+1+t-1=2~ здесь~ t=1 при ~t >1\\ t+1-t+1=2~ здесь~ t\in R~ при~ t\in [ -1;1]\\ -t-1-t+1=2~ здесь~t=-1~ при~ t< -1\) Если \(x+\frac{a^{2}}{x}\) будет лежать в следующих значениях \(-1\leq x+\dfrac{a^{2}}{x} \leq 1\), то мы получим корни. Теперь мы узнаем промежутки, в которых может лежать функция \(x+\dfrac{a^{2}}{x}\): \(x+\dfrac{a^{2}}{x} =k\\ \dfrac{x^{2} -kx+a^{2}}{x} =0\) Это может быть, когда \(\begin{cases} x^{2} -kx+a^{2} =0\\ x\neq 0 \end{cases}\\ D\geq 0\\ k^{2} -4a^{2} \geq 0\\ ( k-2a)( k+2a) \geq 0\) \(k\in ( -\infty ;-2|a|] \cup [ 2|a|;+\infty )\) Для того, чтобы уравнение имело хотя бы один корень, должно выполняться следующее условие: \(-1\leq -2|a|~или~ 1\geq 2|a|\) То есть, когда \(\frac{1}{2} \geq |a|\) это может происходить в промежутке \([ -\frac{1}{2} ;\frac{1}{2}]\). Ответ: \(-\frac{1}{2} \leq a\leq \frac{1}{2}\).

Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\begin{cases}((x+5)^2+y^2-a^2)\ln (9-x^2-y^2)=0\\((x+5)^2+y^2-a^2)(x+y-a+5)=0\\\end{cases}\) имеет ровно два различных решения.

Преобразуем \((x+5)^{2} +y^{2} -a^{2} =0\Rightarrow ( x+5)^{2} +y^{2} =a^{2}\) - мы получили уравнение окружности с центром в точке \((-5;0)\) и радиусом \(|a|\). Мы помним, что произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Пропишем ОДЗ: \(9-x^{2} -y^{2} >0\\ x^{2} +y^{2} < 3^{2}\) Изобразим полученную в ОДЗ окружность пунктирной линией. Например, возьмем \(a=1,( x+y)^{2} +y^{2} =a^{2}\) - данная окружность будет решением обоих уравнений. Получается \(a\) не может быть равно \(1\) или \(-1\). Все, что является частью \(( x+5)^{2} +y^{2} =a^{2}\) и лежит внутри ОДЗ - и есть решением системы уравнений и имеет бесконечное множество решений, это нам тоже не подходит. Следовательно, нам нужны такие радиусы, чтобы окружности \(( x+5)^{2} +y^{2} =a^{2}\) не попадали внутрь. ОДЗ. Получается \(r\leq 2;r\geq 8\), значит: \(\begin{cases} |a|\leq 2\\ |a|\geq 8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\in [ -2;2]\\ a\in ( -\infty ;8] \cup [ 8;+\infty ) \end{cases} \Leftrightarrow a\in ( -\infty ;8] \cup [ -2;2] \cup [ 8;+\infty )\) тогда: \(\begin{cases} \ln( 9-x^{2} -y^{2}) =0\\ x+y-a+5=0 \end{cases}\) Эта система должна иметь два различных решения: \(\begin{cases} 1=9-x^{2} -y^{2}\\ y=x+a-5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^{2} +y^{2} =8-это~ окружность~ с~центром~ ( 0;0)~ и~ радиусом~ \sqrt{8}\\ y=-x+a-5-это~ задает~ множество~ прямых~ с~ тангенсом~ угла~ наклона~ -1 \end{cases}\) Изобразим эту окружность (на рисунке выделена желтым). Решение будет между двумя касательными к этой окружности. Проведем радиус к касательной и опустим из этой точки перпендикуляр на ось \(x\). Мы знаем, что радиус равен \(\sqrt{8}\), значит мы можем найти точки касания: \(x^{2} +x^{2} =8\\ 2x^{2} =8\\ x^{2} =4\\ x=2\) Значит, координаты этой точки \((2;2)\), координаты второй точки касания \((-2;-2)\). Выразим из уравнения \(a\). Для этого подставим полученные значения в уравнение: \(a=x+y+5\Rightarrow a=2+2+5\Rightarrow a=9\\ a=-2-2+5\Rightarrow a=1\) Два решения - это два пересечения прямой окружности, которые будут получаться при \(a\in ( 1;9)\). Значит, \(a\in ( 1;9)\), но нужно учитывать полученные ранее ограничения. Получается, \(a\in ( 1;2] \cup [ 8;9)\). Ответ: \(a\in ( 1;2] \cup [ 8;9)\).

Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система уравнений \(\begin{cases}x^2+y^2-4(a+1)x-2ay+5a^2+8a+3=0\\y^2=x^2\\\end{cases}\) имеет ровно четыре различных решения.

Мы видим, что первое уравнение - уравнение окружности, второе уравнение дает пару прямых. Значит: \(\begin{cases} y=x~ должна~ пересекать~ окружность~ в ~двух~точках\\ y=-x~ тоже~ должна~ пересекать~ окружность ~в~ двух~ точках \end{cases}\) Подставим \(y=x\) в первое уравнение: \(x^{2} +x^{2} -4( a+1) x-3xa+5a^{2} +8a+3=0\) По условию выше дискриминант должен быть больше \(0\): \(2x^{2} -4ax-4x-2ax+5a^{2} +8a+3=0\\ 2x^{2} -x( 6a+4) +5a^{2} +8a+3=0\) Вычисляем дискриминант: \(( 6a+4)^{2} -40a^{2} -64a-24 >0\\ 36a^{2} +48a+16-40a^{2} -64a+24 >0\\ -4a^{2} -16a-8 >0\\ q^{2} +4a+2 0\\ 1+16a+4a^{2} -40a^{2} -64a-24 >0\\ -36a^{2} -48a-8 >0\\ 9a^{2} +12+2< 0\\ D=144-72=72=( 6\sqrt{2})^{2} \Leftrightarrow (\frac{-12-6\sqrt{2}}{18} ;\frac{-12+6\sqrt{2}}{18}) \Leftrightarrow (\frac{-2-\sqrt{2}}{3} ;\frac{-2+\sqrt{2}}{3})\) Проставим полученные значения на числовой прямой: Пересечение в промежутке \((\frac{-2-\sqrt{2}}{3} ;-2+\sqrt{2})\) Теперь проверим, лежит ли точка пересечения прямых на нашей окружности. Точкой пересечения прямых \(y=x\) и \(y=-x\) является \(( 0;0)\). Подставим вместо \(x\) и \(y~ 0\) в уравнение и получим: \(0+0-0+0+5a^{2} +8a+3\neq 0\\ D=64-60=4\\ a_{1} =\frac{-8+2}{10} =-0,6\\ a_{2} =\frac{-8-2}{10} =-1\) Полученные корни мы должны исключить из промежутка. Ответ: \((\frac{-2-\sqrt{2}}{3} ;-1) \cup ( -1;-0,6) \cup ( -0,6;-2 + \sqrt{2})\)