В июле \(2016\) года планируется взять кредит в банке в размере \(S\) тыс. рублей, где \(S\) — натуральное число, на \(3\) года. Условия его возврата таковы: − каждый январь долг увеличивается на \(15\%\) по сравнению с концом предыдущего года; − с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; − в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей. Месяц и год | Июль \(2016\) | Июль \(2017\) | Июль \(2018\) | Июль \(2019\) Долг (в тыс. рублей) | \(S\) | \(0,7S\) | \(0,4S\) | \(0\) Найдите наименьшее значение \(S\), при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

Пусть \(S\) - сумма долга \(r\%\) (увеличение долга в \(\%\)) \(r=15\) \(\cdot 1,15\) - начисление \(\%\) \(n\) - количество лет \(n=3\) \(X\) - выплата Спустя \(1\) год долг составит: \(S\cdot 1,15-x_1=0,7S\) то есть: \(x_1=0,45S\) Спустя \(2\) года долг составит: \(0,7S\cdot 1,15-x_2=0,4S,\) то есть: \(x_2=0,405S\) Спустя \(3\) года долг составит: \(0,4S\cdot 1,15-x_3=0,\) то есть: \(x_3=0,46S\) Необходимо, чтобы каждая выплата была целым числом: \(x_1=\frac{45S}{100}\\ x_1=\frac{9S}{20}\) | \(x_2=\frac{405S}{1000}\\ x_2=\frac{81S}{200}\) | \(x_3=\frac{46S}{100}\\ x_3=\frac{23S}{50}\) Значит, число \(S\) должно делиться на \(20\), \(200\) и \(50\). Наименьшее общее кратное этих чисел равно \(200\). Ответ: 200

Дана трапеция \(ABCD\) с боковой стороной \(AB\), которая перпендикулярна основаниям. Из точки \(A\) на сторону \(CD\) опущен перпендикуляр \(AH\). На стороне \(AB\) взята точка \(E\) так, что прямые \(CE\) И \(CD\) перпендикулярны. а) Докажите, что прямые \(BH\) и \(ED\) параллельны. б) Найдите отношение \(BH\) и \(ED\), если \(\angle BCD=135^\circ\).

а) Пусть \(AB\cap DC=S\), \(BH\cap EC=K\), \(ED\cap AH=L\). Пусть \(BC\) - меньшее основание. Продлим \(AB\) и \(CD\) до пересечения в точке \(S\). По условию \(EC\bot SD\) и \(AH\bot SD\), следовательно, \(EC||AH\) Рассмотрим \(\Delta SCE\), \(\Delta SBC\), \(\Delta SHA\), \(\Delta SAD\), они подобны по \(2\)-ум углам \(\angle S\) - общий и углы по \(90^\circ\), следовательно: \(\frac{SC}{SE}=\frac{SH}{SA}=\frac{SB}{SC}=\frac{SA}{SD}\) Возьмём отношение: \(\frac{SC}{SE}=\frac{SA}{SD}\Rightarrow SE=\frac{SD\cdot SC}{SA}\) Рассмотрим: \(\frac{SB}{SE}=SB\): \(\frac{SD\cdot SC}{SA}=\frac{SB\cdot SA}{SD\cdot SC}~(1)\) Выберем отношение \(\frac{SH}{SA}=\frac{SB}{SC}\Rightarrow SB=\frac{SH\cdot SC}{SA}\), подставим в \((1)\). \(\frac{SB\cdot SA}{SD\cdot SC}=\frac{SA}{SD\cdot SC}\cdot\frac{SH\cdot SC}{SA}=\frac{SH}{SD}, получили~\frac{SB}{SE}=\frac{SH}{SD}\) Тогда рассмотрим \(\Delta SBH\) и \(\Delta SED\), они подобны по отношению \(\frac{SB}{SE}=\frac{SH}{SD}\) и общему углу \(\angle S\). Значит, что \(\angle SHB=\angle SDE\) - эти углы соответственные при прямых \(BH\) и \(ED\), так как они равны, то \(BH||ED\), ч.т.д. б) \(\angle BCD=135^\circ\), тогда \(\angle SDA=45^\circ\). Получили, что \(\Delta SAD\) - равнобедренный. \(AH\) - высота и медиана, тогда \(SH=AH=DH\). Получим, что \(\frac{SH}{SD}=\frac{1}{2}\). Вспомним, что \(\Delta SBH\) и \(\Delta SED\) подобны. \(\frac{SB}{SE}=\frac{SH}{SD}=\frac{1}{2}, т.е. \frac{BH}{ED}=\frac{1}{2}\) Ответ: \(\frac{1}{2}\)

Найдите все значения \(a\), для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел \(x\) и \(y\), удовлетворяющая неравенству \(2|x-a|+7|x-3|\leq \sqrt{1-y^2}+5\)

Представим левую и правую части неравенства в виде отдельных функций. Правая часть уравнения: \(g(y)=\sqrt{1-y^2}+5\) Так как \(0\leq y^2\leq 1\), то \(5\leq g(y)\leq 6\). Левая часть уравнения: \(\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle f( x) =2|x-a|+7|x-3|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x-3\geq 0\\ f( x) =2|x-a|+7(x-3) \end{array} \right. \\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x-3< 0\\ f( x) =2|x-a|+7(3-x) \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x\geq 3\ \\ f( x) =2|x-a|+7x-21 \end{array} \right. \ ( 1)\\ \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x 0\), так как \(7x\pm 2x>0\)); - при \(x<3\) не зависимо от знака выражения \((x-a)\) \(f(x)\) будет монотонно убывать (\(f(x)\) - линейная функция и коэффициент при \(x<0\), так как \(-7x\pm 2x<0\)). Тогда \(x=3\) - точка минимума, а \(f(3)=2|3-a|\) - минимальное значение \(f(x)\). Отметим возможные значения функций \(f(x)\) и \(g(y)\) на числовой прямой: Таким образом, для того, чтобы существовала хотя бы одна пара чисел \(x\) и \(y\), удовлетворяющая неравенству \(f(x)\leq g(y)\), минимальное значение \(f(x)\) должно располагаться на числовой прямой левее точки \(6\). То есть \(2|3-a|\leq 6\Leftrightarrow |3-a|\leq 3\Leftrightarrow \displaystyle \begin{cases} 3-a\leq 3\\ 3-a\geq -3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a\geq 0\\ a\leq 6 \end{cases} \Leftrightarrow a\in [ 0;6]\) Значит, хотя бы одна пара чисел \(x\) и \(y\), удовлетворяющая исходному неравенству, существует при \(a\in [ 0;6]\). Ответ: \(a\in [ 0;6]\).

Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит \(11\), а сумма которых больше \(110\), всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше \(110\), но больше: а) \(99\); б) \(101\); в) \(100\).

а) Складываем числа с доски до тех пор, пока не будет больше 110, а потом убрать из набора последнее число. Так как сумма чисел получится больше 110, а каждое число не более 11, то сумма чисел без последнего числа всегда будет больше 99. б) Возьмём число 10,1 – 11 раз, сумма их равна 111,1 > 110, если мы возьмём 10 раз по 10,1, то получим 101, а оно не больше 101. Значит, не всегда, следовательно, нет. в) Складываем числа до тех пор, пока не будет больше 110. Если среди них есть число меньше или равно 10, то убираем его, если таких нет, то все числа будут находиться в промежутке от 10 до 11. И нужно взять 10 таких чисел, чтобы было больше 100 и меньше 110. Ответ: а) да, б) нет, в) да.