Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

На рисунке изображён график дифференцируемой функции $y=f(x)$, определённой на интервале $(− 11; − 1)$. Найдите точку из отрезка $[− 7; − 2]$, в которой производная функции $f(x)$ равна 0.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону $\varphi =\omega t+\frac{\beta t^{2}}{2}$, где $t$ - время в минутах, $\omega =15^{\circ } /мин$ - начальная угловая скорость вращения катушки, а $\beta =6^{\circ } /мин^{2}$ - угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Определите время, прошедшее после начала работы лебедки, если известно, что за это время угол намотки $\varphi$ достиг $2250^{\circ }$. Ответ дайте в минутах.

Расстояние между городами $A$ и $B$ равно $420$ км. Из города $A$ в город $B$ выехал автомобиль, а через $1$ час следом за ним со скоростью $80$ км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе $C$ и повернул обратно. Когда он вернулся в $A$, автомобиль прибыл в $B$. Найдите расстояние от $A$ до $C$. Ответ дайте в километрах.

На рисунке изображен график функции вида $f(x)=ax^2+bx+c$, где числа $a$, $b$ и $c$ – целые. Найдите значение $f(5)$.

а) Решите уравнение: $2\cos^3x-\cos^2x+2\cos x-1=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi;\dfrac{7\pi}{2}\right]$.

Радиус основания конуса с вершиной $𝑆$ и центром основания $𝑂$ равен $5$, а его высота равна $\sqrt{51}$. Точка $𝑀$ - середина образующей $𝑆𝐴$ конуса, а точки $𝑁$ и $𝐵$ лежат на основании конуса, причем прямая $𝑀𝑁$ параллельна образующей конуса $𝑆𝐵$.
а) Докажите, что $\angle 𝐴𝑁𝑂$ - прямой.

б) Найдите угол между прямой $𝐵𝑀$ и плоскостью основания конуса, если $𝐴𝐵=8$.

Решите неравенство: $(4^{x^2-x-6}-1)\cdot\log_{0,25}(4^{x^2+2x+2}-3)\leq 0$.

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ треугольника $ABC$ и пересекает $AB$ и $AC$ в точках $C_1$ и $B_1$ соответственно.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ подобен треугольнику $AB_1C_1$.
б) Вычислите длину стороны $BC$ и радиус данной окружности, если $B_1C_1=5$, $\angle A=30^\circ$ и площадь треугольника $AB_1C_1$ в пять раз меньше площади четырехугольника $BCB_1C_1$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$|x^2-a^2|=|x-a|\sqrt{x^2-4ax+5a}$

имеет ровно два различных корня.

В школах №1 и №2 учащиеся писали тест. Из каждой школы тест писали по крайней мере два учащихся, а суммарно тест писал 51 учащийся. Каждый учащийся, писавший тест, набрал натуральное количество баллов. Оказалось, что в каждой школе средний балл был целым числом. После этого один из учащихся, писавших тест, перешел из школы №1 в школу №2, а средние баллы за тест были пересчитаны в обеих школах.

а)  Мог ли средний балл в школе №1 вырасти в два раза?

б)  Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Мог ли первоначальный балл в школе №2 равняться 1?

в)  Средний балл в школе №1 вырос на 10%, средний балл в школе №2 также вырос на 10%. Найдите наименьшее значение первоначального среднего балла в школе №2.

Угол $ACB$ равен $54^{\circ }$. Градусная мера дуги $AB$ окружности, не содержащей точек $D$ и $E$, равна $138^{\circ }$. Найдите угол $DAE$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\vec{a}(-1;3)$, $\vec{b}(4;1)$ и $\vec{c}(2;c_0)$. Найдите $c_0$, если $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=0$.

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна $2$, боковое ребро равно $5$. Найдите её объём.

В соревнованиях по толканию ядра участвуют $4$ спортсмена из Великобритании, $7$ из Франции, $9$ из Германии и $5$ из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Германии.

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из трёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна $\\0{,}3$. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в последнюю.

Найдите корень уравнения $5^{6+x}=5$.

Найдите значение выражения $\log_{0,04}5$.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены точки $-1$, $2$, $3$, $4$. В какой из этих точек значение производной наибольшая? В ответе укажите эту точку.

Зависимость объема спроса $q$ (единиц в месяц) на продукцию предприятия - монополиста от цены $p$ (тыс. руб.) задаётся формулой $q = 65 - 5$ p. Выручка предприятия за месяц $r$ (в тыс. руб.) вычисляется по формуле $r(p) = pq$. Определите наибольшую цену $p$, при которой месячная выручка $r(p)$ cоставит не менее $150$ тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

На изготовление $832$ деталей первый рабочий тратит на $6$ часов меньше, чем второй рабочий на изготовление $928$ таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на $3$ детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

На рисунке изображен график функции вида $f(x)=a^x$. Найдите значение $f(4)$.

а) Решите уравнение $\cos{x}\cdot \cos 2x=\sqrt{2}\sin^2x+\cos x$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[-\dfrac{5\pi}{2};-\pi\right]$.

Решите неравенство: $\dfrac{9^x+2\cdot 3^x-117}{3^x-27}\leq 1$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений
$\left\{ \begin{array}{l} ((x+5)^2+y^2-a^2)\ln (9-x^2-y^2)=0 \\ ((x+5)^2+y^2-a^2)(x+y-a+5)=0 \end{array} \right.$
имеет ровно два различных решения.

На доске написано трёхзначное число $A$. Серёжа зачёркивает одну цифру и получает двузначное число $B$, затем Коля записывает число $A$ и зачеркивает одну цифру (возможно ту же, что Серёжа) и получает число $C$.
а)  Может ли быть верным уравнение $A=B\cdot C$ если $A>140$.
б)  Может ли быть верным уравнение $A=B\cdot C$ если $440\leq A< 500$. 
в)  Найдите наибольшее число $A$ до $900$ для которого выполняется $A=B\cdot C$.