Банк заданий
ЕГЭ по профильной математике

На доске написано $n$ чисел $a_{i}( i=1,2,\dotsc ,n)$. Каждое из них не меньше 50 и не больше 150. Каждое из этих чисел уменьшают на $r_{i}\%$. При этом либо $r_{i} =2\%$, либо число $a_{i}$ уменьшается на 2, то есть становится равным $a_{i} -2$. Какие-то числа уменьшились на число 2, а какие-то - на 2 процента).
а) Может ли среднее арифметическое чисел $r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}$ быть равным 5?
б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел $r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}$ больше 2, при этом сумма чисел $a_{1} ,a_{2} ,\dotsc ,a_{n}$ уменьшилась более чем на $2n$?в) Пусть всего чисел 30, а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40.Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел $r_{1} ,r_{2} ,\dotsc ,r_{n}$.

В треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Внешний угол при вершине $B$ равен $124^\circ$. Найдите угол $C$. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\overrightarrow{a}(3;-3)$ и $\overrightarrow{b}(-6;-1)$. Найдите длину вектора $2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен $60$. Площадь одной его грани равна $12$. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся А. верно решит больше $9$ задач, равна $0,63$. Вероятность того, что А. верно решит больше $8$ задач, равна $0,75$. Найдите вероятность того, что $А$. верно решит ровно $9$ задач.

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна $\\0{,}4$. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Найдите корень уравнения $\sqrt{22-3x}=2$.

Найдите значение выражения $27\tg33^{\circ}\cdot \tg57^{\circ}-48$.

На рисунке изображен график $y = f'(x)$ - производной функции $f(x)$, определенной на интервале $\left(-18;6\right)$. Найдите количество точек минимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $\left[-13;1\right]$.

Мяч бросили под углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полета мяча (в секундах) определяется по формуле $t=\frac{2v_{0}\sin\alpha}{g}$. При каком наименьшем значении угла $\alpha$ (в градусах) время полета будет не меньше 3,2 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью $v_{0}=16$м/с? Считайте, что ускорение свободного падения $g=10~м/с^{2}$.

Смешали некоторое количество $19$ - процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством $17$ - процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

На рисунке изображены графики функций видов $f(x)=2x^2-2x+6$ и $g(x)=ax^2+bx+c$, пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

а) Решите уравнение: $2\log_{2}^{2}( 2\cos x) -9\log_{2}( 2\cos x) +4=0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -2\pi ;-\dfrac{\pi }{2}\right]$.

В основании правильной треугольной призмы $𝐴𝐵𝐶𝐴_{1} 𝐵_{1} 𝐶_{1}$ лежит треугольник $𝐴𝐵𝐶$. На прямой $𝐴𝐴_1$ отмечена точка $𝐷$ так, что $𝐴_{1}$ - середина $𝐴𝐷$. На прямой $𝐵_{1} 𝐶_{1}$ отмечена точка $𝐸$ так, что $𝐶_{1}$ - середина $𝐵_{1} 𝐸$.

а) Докажите, что прямые $𝐴_{1} 𝐵_{1}$ и $𝐷𝐸$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $𝐴𝐵$ и $𝐷𝐸$, если $𝐴𝐵=4$, а $𝐴𝐴_{1} =1$.

Решите неравенство $\dfrac{\log_8x}{\log_8\frac{x}{64}}\geq\dfrac{2}{\log_8x}+\dfrac{3}{\log_8^2x-\log_8x^2}$.

Прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ вписан в окружность. Биссектриса угла $A$ пересекает описанную окружность в точке $A_{1}$, биссектриса угла $B$ пересекает описанную окружность в точке $B_{1}$, биссектриса угла $C$ пересекает описанную окружность в точке $C_{1}$.
а) Докажите, что угол $A_{1} BB_{1} =45^{\circ }$.
б) Известно, что $AB=2\sqrt{3}$, $\angle A=60^{\circ }$. Найдите $B_{1} C_{1}$.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$|x+\frac{a^2}{x}+1|+|x+\frac{a^2}{x}-1|=2$

имеет хотя бы один корень.

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ }, AB=10, BC=8.$ Найдите $\cos A$.

Даны векторы $\vec{a}(14;-2)$ и $\vec{b}(5;-8)$. Найдите скалярное произведение $\vec{a}\cdot \vec{b}$.

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна $21$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Фабрика выпускает сумки. В среднем на $150$ качественных сумок приходится $14$ сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

В коробке $\\17$ синих, $\\22$ красных и $\\12$ жёлтых карандашей. Случайным образом выбирают два карандаша. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один жёлтый карандаши.

Найдите корень уравнения $\lg(x+11)=1$.

Найдите значение выражения $\dfrac{2^{4,2}\cdot 6^{7,2}}{12^{6,2}}$.