а) Решите уравнение $\cos 2x+3\sin (-x)-2=0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{3\pi}{2};3\pi]$.

а) Так как функция $\\y=\sin x$ — нечётная, то $\sin (-x){=}{-\sin x}$. $\cos 2x-3\sin x-2=0$ Преобразуем $\\\cos2x$ по формуле косинуса двойного угла: $\cos 2x=1-2\sin^2x$. $1-2\sin^2x-3\sin x-2=0$ $\\-2\sin^2x-3\sin x-1=0\,\,\,\,\,\,|\cdot(-1)$ $\\ 2\sin^2x+3\sin x+1=0$ Введём замену $\\\sin x=t$. $\\2t^2+3t+1=0$ $\\t_1=-1$; $\\t_2=-\dfrac12$. Обратная подстановка: $\\\sin x=-1$, значит, $\\x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\,n\in Z$. $\\\sin x=-\dfrac12$, значит, $\\x=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,k\in Z$ или $\\x=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi m, \, m\in Z$. б) Отберём корни на промежутке $\left[\dfrac{3\pi}{2};3\pi\right]$ с помощью тригонометрической окружности. Получим числа: $2\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{11\pi}{6}$ и $\\ \dfrac{3\pi}{2}$. Ответ: а) $-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n, n\in Z$; $-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k,\,k\in Z$; $-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi m, \, m\in Z$. б) $\dfrac{3\pi}{2}$; $\\\dfrac{11\pi}{6}$.

В основании четырехугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$. На ребрах $SA$, $SB$, $SC$ и $SD$ отмечены точки $L$, $K$, $N$ и $M$ соответственно так, что четырехугольник $KLMN$ — трапеция с основанием $KL=3$ и $MN=2$. Известно, что $SK:KB=3:1$. а) Докажите, что плоскость $KLM$ пересекает ребра $SC$ и $SD$ в их серединах. б) Найдите высоту $SH$ пирамиды, если точка пересечения диагоналей пирамиды совпадает с точкой $H$, площадь основания равна $24$, а площадь сечения $KLMN=10$.

а) $LK\in ABS\\ LK||MN\\ MN||ABS\\ MN\in SDC$ Из всего этого следует, что $LK||MN||общей~прямой~плоскостей~SDC~и~SAB\\ AB\in ABS\\ DC||AB\\ DC||ABS\\ DC\in SDC$ Из всего этого следует, что $AB||DC||общей~прямой~плоскостей~SDC~и~SAB$ Из всего вышесказанного: $LK||MN||AB||DC||общей~прямой~плоскостей~SDC~и~SAB$ Треугольники $SLK$ и $SAB$ подобны по двум углам (угол $S$ общий, углы $SLK$ и $SAB$ равны как соответственные): $\frac{LK}{AB}=\frac{SK}{SB}=\frac{3}{4}$ Значит, $AB=4=DC=2MN$. И еще $MN||DC$, а значит, что $MN$ – средняя линия, пересекает стороны $SD$ и $SC$ в их серединах. б) Из подобия треугольников $SLK$ и $SAB$: $AB=4\\ BC=\frac{S_{основания}}{AB}=\frac{24}{4}=6=TR$ Пусть $PE$ пересекает $TR$ в точке $D_1$. По теореме Менелая для $STR$ и секущей $PE$: $\frac{SE}{ER}\cdot\frac{RD_1}{DT}\cdot\frac{TP}{PS}=1\\ 1\cdot\frac{RD_1}{DT}\cdot\frac{1}{3}=1\\ \frac{RD_1}{DT}=\frac{3}{1}$ Отсюда $D_1T=3$. Пусть $EW\bot TR$ и $PQ\bot TR$ $\begin{cases} EW||SH\\ SE=ER \end{cases} \Rightarrow EW-средняя~линия~и~WH=WR=\frac{TR}{4}=\frac{3}{2}\\ \frac{TP}{TS}=\frac{1}{4}=\frac{TQ}{TH},TH=\frac{3}{4}\\ D_1Q=3+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\\ QR=HR+HQ=\frac{6}{2}+\frac{6}{2}-\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\\ \Delta D_1PQ\sim\Delta D_1EW~по~двум~углам~(\angle{D_1}~общий, \angle{D_1QP}=\angle{D_1WE}= {90}^{\circ})\\ \frac{D_1P}{PE}=\frac{D_1Q}{QM}=\frac{15}{4}:\frac{15}{4}=\frac{1}{1}$ По теореме Пифагора для $\triangle{EWD_1}$: $EW^2=D_1E^2-D_1W^2=(4+4)^2-\left(9-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{31}{4}\\ EW=\frac{\sqrt{31}}{2}\\ SH=2EW=\sqrt{31}$ Ответ: $\sqrt{31}$

Решите неравенство: $5^x-\dfrac{600}{5^x-1}\geq 0$.

Замена: $5^x=t$ $t-\frac{600}{t-1}\geq 0\\ \frac{t^2-t-600}{t-1}\geq 0\\ \frac{(t-25)(t+24)}{t-1}\geq 0$ $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} t\geq -24\\ \begin{cases} t 0$, то: $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l} x< 0\\ x\geq 2 \end{array} \right.$ Ответ: $x\in (-\infty;0)\cup [2;+\infty)$.

Открытый Банк заданий ЕГЭ по профильной математике, стр. 3 с ответами и решениями

Каталог заданий

Найдите нужные задания по ЕГЭ, профильной математике, номеру или теме. Любое задание можно открыть в каталоге или решить в тренажёре.

Я готовлюсь к

Список задач

id 159501 балл
Гипербола (обратная пропорциональность)
На рисунке изображены графики функций видов $f(x)=\frac{k}{x}$ и $g(x)=ax+b$ , пересекающиеся в точках $A$ и $B$ . Найдите абсциссу точки $B$ .
id 148001 балл
Степенные функции
Найдите точку минимума функции $y=x^\frac{3}{2}-21x+11$
id 120282 балла
Тригонометрические уравнения
а) Решите уравнение $\cos 2x+3\sin (-x)-2=0$ .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{3\pi}{2};3\pi]$ .
id 2993 балла
Пирамида (2 часть)
В основании четырехугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ . На ребрах $SA$ , $SB$ , $SC$ и $SD$ отмечены точки $L$ , $K$ , $N$ и $M$ соответственно так, что четырехугольник $KLMN$ — трапеция с основанием $KL=3$ и $MN=2$ . Известно, что $SK:KB=3:1$ .
а) Докажите, что плоскость $KLM$ пересекает ребра $SC$ и $SD$ в их серединах.
б) Найдите высоту $SH$ пирамиды, если точка пересечения диагоналей пирамиды совпадает с точкой $H$ , площадь основания равна $24$ , а площадь сечения $KLMN=10$ .
id 121192 балла
Показательные неравенства
Решите неравенство: $5^x-\dfrac{600}{5^x-1}\geq 0$ .